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2023年 8月第一届“鱼塘杯”高考适应性练习
数 学
本试卷共 4页，22小题，满分 150分，考试用时 120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号（即 QQ 号后 6位）填写在答题卡上.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.最终请在“雨课堂”
直接选中您作答的选项.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.最终请逐题拍照上传至“雨课堂”的指定位置，要求字迹工整、清晰.
4. 请认准“鱼塘杯”高考适应性练习官方信息发布 QQ 群 778435509，后续阅卷申诉、奖金颁
发和获奖名单公示都在此群内进行.本联考活动最终解释权归鱼塘杯联考命题组所有.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
A ? x x x ? 4 x ? 5 ? 0
? ? ?? ? ?
1. 设集合 ，则集合 A的非空真子集的个数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
? ? ?
r ?
b ? 3, x a ? b ?a ? 0
2. 如果 a ? 1,2 ， ? ? .若 ，则 x的值是（ ）
? ? ? ?
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
2
2 2
AB
3. 已知线段 ，则平面上全体满足 AP ? BP 为定值 的点 P的轨迹是（ ）
AB
C ?
2
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线
z ? 2023
4. ? R . z
设 z ?C，满足 ，其中i为虚数单位则在复平面内， 表示的点的轨迹不经过的象限是
z ? i
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
13 k
5. k
已知二项式 1? 2x 的展开式中第 项系数最大，则 2 ? x 展开式的二项式系数和是（ ）
? ? ? ?
10 10 9 9
A. B. C. D.
2 3 2 3
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4 3
6. 如果sin ? ? ? ? ，sin? ? ，那么 cos ? 所有取值的和是（ ）
? ?
5 5
96 48 24 12
A. B. C. D.
25 25 25 25
10
f x f n ? 5n f x ? y ? f x ? f y ?10xy f i
7. 函数 ? ?满足：任意 ， ? ? .且 ? ? ? ? ? ? .则 ? ?的最小值是
n? N
?
i?1
（ ）
A. 1775 B. 1850 C. 1925 D. 2000
π
? ?
8. x, y ? 0, cos x ? y ? cos xsin x cos y ? sin y cos y sin x ? 0
已知 ，满足 ? ? ，则下列关系式一定成立
? ?
2
? ?
的
是（ ）
π π
x ? y ? 0 x ? y ? 0
A. B. C. 0 ? x ? y ? D. ? x ? y ? π
2 2
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 给定一组均为整数的样本.现在将这个样本同时加上 a ? Z，则下列说法正确的是（ ）
A. 平均数增大 a
B. 方差不变
a
C. 如果 是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
a
D. 如果 是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
2
a a ?1
10. 已知数列? ?满足： a ? a ? 2a ， ，则下列说法错误的是（ ）
n 1
n?1 n n
a ? 255 a ?1
A. B. ? ? 是等比数列
4 n
a
? ?
2n?2
n
b ? a ?1
C. 是递增数列 D. 若令 ，则b ? 2
? ?
n n
n
n
? ?
11. 已知四面体 ABCD， ， ， ，球 O 是四面体 ABCD
AC ? BD ? 5 AD ? BC ? 10 AB ? CD ? 13
的外接球，P，Q 分别是直线 AD，BC上一动点，则下列说法正确的是（ ）
9 130
A.
cos?ACB ?
130
B. PQ 2
的最小值为
C. 球 O 的表面积为14?
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D. ? O 3 ? BC
若球O 与球 球心相同，半径为 ，则球O 截直线 的长为
4 2
1
2
12. ? ? ? ? ? ?
已知 ?ABC内切圆半径为 ，现用斜二测画法画出其直观图?A B C ，其中?A B C 的面积是 ，
9
36
a,b,c
其中 分别为 ?ABC的三边边长，则下列说法正确的是（ ）
4 1 9
A. a ? b ?c 1 B. ?
? ? 的最大值是 的最小值是
a ? b c 2
1 1 1 1 1 1
C. ? ? ? 25 D. ? ? ?17
1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 现有一组数：22，17，69，34，29，66，58，40.这组数的上四分位数是______.
14. a a a a a a a ? a ? a a
设正实数 满足? ?，? ?， 是等比数列，其中? ?表示不超过 的最大整数，? ? ? ?，则
的值是______.
15. 小鱼忘记了四位的 iPad密码，他尝试了 5次：6197，5073，0359，3925，2530，每次都有两个数字是
正确的，可是位置都不对.那么他 iPad的密码是______.
16. 设 AB是?O的直径，取圆上在 AB不同侧的 P，Q 两点，连接 AP，AQ，BQ.设 AP交 BQ 于 F，设
1 1
tan? ? ?
?QAB ? ?
?PAB ? ? ， ，满足 ，这样的点 F的轨迹为双曲线，其离心率是
tan? tan ? ? ?
? ?
______.
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
q ? 1? p
17. 已知一组独立重复的试验，每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 ，将试验进行到出现 r
P X ? k
次成功为止，以随机变量 X表示所需试验次数，X的概率分布为 ? ? .
p ? 0.5 P X = 4
（1）若 ， ，求 ；
r ? 2
( )
（2）如果不要求第 r 次成功时停止这组试验，记前 k次成功的次数为随机变量 Y，证明：
P Y ? r
? ?
1? ? k
.
P X ? k
? ?
2
18 f x ? x ? 6x ? 2lnx .
设函数 ? ?
.
f x
（1）讨论 ? ?的单调区间；
f x ? f x ? 5 x ? x ? 7
（2）若 ? ? ? ? ，证明： .
1 2 1 2
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19. a a 0,1 n .
设数列? ?满足： 是区间? ?内小数部分不含偶数数字的 位小数的个数
n n
b b ? tan log a ? tan log a T b
（1）设数列? ?满足 ? ? ?? ? ? ??，且数列? ?为数列? ?前 n项之和组成的
n n 5 n 5 n?1 n n
T
数列，求数列? ?的通项公式；
n
S
5
n
?
S S 0,1
（2）若数列? ?满足： 是区间? ?内小数部分所有不含偶数数字的 n位小数的和，证明： .
n n
a 9
n
0,1
为了防止歧义，特别说明：本题中 n位小数指的是? ?内有 n位有和效数字的小数.
π 1 1
20. 设四面体 ABCD满足 ?BAC ? ,cos?CAD ? ， cos?DAB ? . ， AC ? 3， .
AB ? 2 AD ? 2
3 3 4
（1）设 G 是 的重心，求 AG ；
△BCD
的
2 ABCD BCD h .
（ ）求四面体 在底面 上 高
A?BCD
a
B 的 c
21. 设 ?ABC中， A、 、C所对 边分别为 、b、 ，且有 B ? 2C .
（1）若 a ? 2，证明：b ? c ?1；
2 2
2 .
（ ）若 ，比较 a ? 2c和 的大小关系，说明理由
b ? c ? 4c 4 b
A??1,0?
22. 在平面直角坐标系 xOy中， ，P在 y轴上运动，以 P为圆心，PO 为半径的圆与直线 AP交于
M M M M
， .设 ， 的轨迹为 ? .
1 2 1 2
（1）求 ?的方程；
2
2 C B B x B C l p.
（ ）考虑抛物线 ： y ? ?4x ? 4上任意一点 ， 不在 轴上，过 作 的切线 与 ?交点的集合为
???? ????
X ? p
证明：一定存在点 ，使得 .
OX ? XB ? 0
为了防止引发歧义，特别说明：本题的意思是在 l与 ?的所有交点中，一定存在一个 X，满足
???? ????
.
OX ? XB ? 0
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