4.2.1 指数函数的概念高一上学期 上一章我们学习了函数的概念和基本性质，并通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法
。今天，我们继续来研究另一类很重要的基本初等函数——指数函数。首先我们来看几个情境实例。问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平
不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景
区门票价格，而B地则取消了景区门票．表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．观察表格中的数
据比较两地景区游客人次每 年的变化情况发现了怎样的变化规律？ 角度1：可以通过年增加量的数据看变化趋势.角度2：为了便于观察，可以
先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来.近似直线上升（线性增长）曲线越来越陡（非线性增长）探究：我们知道，年增加
量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试.做减法可以得
到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率.增加量和增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量像这样，增长率为常数的变化方
式，我们称为指数增长从2001年开始1年后，游客人次是2001年的 倍； 2年后，游客人次是2001年的 倍
； 3年后，游客人次是2001年的 倍； x年后，游客人次是2001年的 倍； ……设经过x年后
游客人次为2001年的y倍，则问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年
衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。Q1:该情境中有何变量关系？Q2:将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位
，完成表格.······Q3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式。我
们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，即，那么则.Q4：你能求出的值吗？像这样，衰减率为常数
的变化方式，我们称之为指数衰减。思考1:请同学类比于幂函数概念，说出这两个式子有什么特征？你能否用一个式子反映这些特征？（指数为自
变量，底数为常数） 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是思考：为什么要规定a>0且a≠1？注：(1)指数位置
是自变量； (2)底数； (3)只能有一项，且其系数必须为1；练习：若函数是指数函数，则=___________ .2
①⑤⑧例2.已知指数函数经过点，求，，的值.解：设且 ∴ ∴，即. ∴.练习：函
数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，对于任意实数x，y都有( ) A．f(xy)＝f(x)f(y)
B．f(xy)＝f(x)＋f(y) C．f(x＋y)＝f(x)f(y)
D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)C解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y).例3：(1)在
问题1中，平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A,B两地旅游收入
变化情况。(2)在问题2中,某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？比较这15年间A,B两地旅游收入变化
情况。比较这15年间A,B两地旅游收入变化情况。(2)在问题2中,某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几
？实际应用问题中指数函数模型的类型（1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到， 则：
.（2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到， 则：.把形如的函数称为指数型函数.1
.若指数增长型函数为y=100×1.01x(x∈N),则每次的增长率为_____.2.若指数衰减型函数为y=50×0.9x(x∈N
),则每次的减少率为_______.1%10%C倍增模型练习：在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？ |
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