数学公式对数学命题的判断起着关键作用王晓明实践只有上升到理论，才能获得理性认识，算法是理论的实践，公式是实践的理论，公式结构流露出事物本质
特征。算法不等于公式，公式一定能够提供一种算法。古代三大算法（寻找素数的埃特拉斯特尼筛法，求方根的开方法，寻找最大公约数的欧几里得
算法）复杂问题只有用公式准确表现出来，才能看清问题的真相和实质。如果一个公式是错误的，它一定是模糊的。例如 错误公式特征： 1，自
称是科学的，但含糊不清，缺乏具体的度量衡。 2，无法使用操作定义(例如，外人也可以检验的通用变量、属于、或对象) 3，无法满足简约
原则，即当众多变量出现时，无法从最简约的方式求得答案。 4，使用暧昧模糊的语言，大量使用技术术语来使得文章看起来像是科学的。 5，
缺乏边界条件：严谨的科学公式在限定范围上定义清晰，明确指出预测现象在何时何地适用，何时何地不适用。正确的公式能够给数学内容以一种安
全感。什么是公式？公式是一种把资讯正确地准确地以符号表达方式。算法不等于公式，例如欧几里得辗转相除法就不是公式，公式一般都是可以提
供一种算法。什么是公式？一般理解，公式是变量的一个计算式，其中运算可以不必限于加减乘除。有人认为，公式必须具有封闭形式，即计算形式
不随变量取值的不同而变化，即不能含有省略号“....”，但是，这个可以商榷，许许多多的数学符号隐含有省略号，阶乘！，乘方，排列数，
组合数，求和式：，无一不隐含有省略号。公式的用途：，第一用于计算；第二用于证明；第三预测未知（例如预测反粒子的狄拉克方程，含义未知
数的公式叫做方程）可以判断问题的可证性，例如3x+1问题的公式可以看出陶哲轩的荒唐证明。第五，虽然不能用于计算和证明但是满足哲学上
的需要或者心理需要。在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问
题。第一节，素数普遍公式素数普遍公式的意义埃拉托赛尼筛法是一个相对独立的实践活动，而埃拉托赛尼的素数普遍公式是一种理论。（实践先于
理论，实践是理论的源泉）。如果实践是对的，行之有效的，那么他可以作为论据支持公式。公式的对与错，看他是否与方法吻合，（与经验事实相
吻合）。方法是公式的内容，公式是方法的理论。在理论的内容是真的前提下，公式是可靠的，一个公式能够产生出来，表明具有了相应的三大条件
：一，相应的观念和方法已经产生；二，相应的实践条件和手段已经具备；?三，科学劳动者能够正确无误地进行操作。方法只有借助公式才能获得
确定的含义，方法是构成公式的成分。公式是具有一定结构的整体，这是公式自身存在与发展的前提。公式是一种体系化和逻辑化了的认识，而体系
化规范化的方法是公式的灵魂。理论和公式的意义恰恰不在于他的形式，而在于他形成之后的运行。在于他作为某种因素而导出另外的结果。公式是
方法的收集，方法的反应。仅有方法，无法拓展新的实践和认识，生命力受到局限，只有借助于公式才能向更深层次参透，因为方法是一个层次，他
主要是描述性的，例如，埃拉托赛尼筛法是怎样寻找素数。而公式是理论认识，说明“为什么”，相对来说，他超过了个别。人以理论的方式，观念
地把握世界，人以“公式”的形式，观念地把握方法。就公式产生和存在的意义和使命而言，就是要朝着实践方向作认识总过程的再认识（再次飞跃
），以创造还未知的外部世界。总之，只有在一切解释皆真的公式，才能算普效的公式，或者逻辑真的公式。要判定一个公式是否可推演出，即是否
可证，这是纯形式的问题；要断言一个公式是否真，必须依赖公式以外的解释和模型------即这个公式和方法是否可以做等价转换。下面谈谈
素数普遍公式的一些具体作用：（一）素数普遍公式是素数定理（若N不能被不大于的任何素数整除，则N是素数）和埃拉托赛尼筛法的表现形式，
表明在一定条件下和范围内()主观和客观上的符合。因而是科学真理的一种表现形式。素数普遍公式提供了广泛的概念框架，并且概括出其中普遍
的不变关系。（二）素数普遍公式有助于科学概念和素数理论的形成。素数普遍公式是明确其他科学概念（例如哥德巴赫猜想）的一种有效手段。将
来许多科学概念的内涵都会通过素数普遍概念公式表现出来，在素数理论中，素数普遍公式起着极大的作用，他是核心和灵魂。（三）素数普遍公式
有解释和预见功能，由于素数普遍公式是从整体上解释素数性质的，所以常常是演绎推理模型中的大前提（全称），也是预见的先行条件。（四），
在数学论证中，数学证明的本质是用有限驾驭无穷，必须首先找出无穷对象的规律，用公式概括起来，既正面刻画后，才能去证明更深刻的问题。总
之，没有素数普遍公式，就不能去催促新的思想。例如有些人用复变函数把简单的素数理论弄的面目全非，违背了事物的真实性，造成了惊心动魄的
场面却解决不了实际问题。正如冯。诺伊曼指出的那样：“当一门数学离他的源泉越远，他就变的愈加娇柔造作。欧几里德是第一个提出素数普遍公
式的人，为此，人类这一步却跨越了两千年，这是值得深思的。希尔伯特对数学成果的评价，那些能把过去统一起来而同时又为未来的拓展开辟了广
阔的道路的概念和方法，应该算是最为深刻的概念和方法。素数普遍公式就是一种承上启下，继往开来的思想。 素数普遍公式和应用2000多年
前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，
就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始
终未获成功。素数普遍公式公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要
在2---N中将不大于的素数的倍数全部划去即可”。（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于的任何素数整除，则N是一
个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的
公式：......(1)其中表示顺序素数2，3，5，,,,,。。若，则N是一个素数。可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：...
....（2）由于（2）的模两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在范围内有唯一解。例如k=1时，，解得N=3，5，7。
求得了（3，）区间的全部素数。k=2时，，解得N=7，13，19；.解得N=5，11，17，23。求得了（5，）区间的全部素数。K
=3时317; 3713; 431911; 4117; 472329求得了（7，）区间的全部素数。仿此下去可以一个不漏地求得
任意给定数以内的全部素数。参见百度百科【素数普遍公式】用于哥德巴赫猜想怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数(参见台尔曼公式)，即
n+X成为素数 ,n-X也是素数。根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r 。再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，...，m-1中一数同余（mod m）”。所以，任给一个自然数n (n>4)，都可
以唯一表示成：......(3)其中：其中表示顺序素数2，3，5，,,,,。e=0,1,2,....,。。问是否存在x：.....
.(4)并且：；。，....(5)这样解得如果的，则与都是素数。因为符合（1），（2）式。，这个就是哥德巴赫猜想。范例设n=20，
。。.构造x:构造x212739X的最小剩余同左同左同左同左同左同左四个解是：21，27，3，9。小于N-2的X有3和9，我们得知
，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且果，n+X与n-X是一对
素数。因为（n+X）+（n-X）=2n。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明（4）式必然有小于n-2的解，尽管我们现在不能
证明它。 埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。参见百度百科【台尔曼公式】孪生
素数猜想利用素数的判定法则 ，可以得到以下的结论：「若自然数与都不能被任何不大于的素数 整除，则与都是素数，称为孪生素数」。这是
因为一个自然数n是素数当且仅当它不能被任何小于等于的素数整除。就是：存在一组自然数，使得............(1)其中 表示从
小到大排列时的前k个素数：2，3，5，....。并且满足，。这样解得的自然数如果满足，则与是一对孪生素数。我们可以把（1）式的内容
等价转换成为同余方程组表示：........(2)由于（2）的模都是素数，因此两两互素，根据孙子定理，对于给定值，（2）式在范围内
有唯一一个小于的正整数解。范例例如k=1时，，解得。由于。所以可知3与3+2 ；5与5+2都是孪生素数。这样就求得了区间（3，）的
全部孪生素数对。又比如k=2时，列出方程，。解得。由于，所以11与11+2 ；17与17+2都是孪生素数。由于这已经是所有可能的，
值，所以这样就求得了区间（5，）的全部孪生素数对。K=311, 411729由于这已经是所有可能的值，所以这样就求得了区间(7,
)的全部孪生素数对。仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对 。结论孪生素数猜想就是在k值任意大时，（1）式（2）
式都有的解。问题已经转入初等数论范围。 参见百度百科【孪生素数公式】 角谷猜想即3x+1问题实践只有上升到理论，才能获得理性认识，
公式是实践的理论，公式结构流露出事物本质特征。复杂问题只有用公式表现出来，才能形成理论。3x+1问题是指一个奇数乘以3后加1，然后
将偶数析出，这个奇数再重复上述环节，直到结果为1。对于所有的奇数，能不能都是结果为1？，......（1）迭代公式。式中x都是表示
奇数，m是指把中的偶数全部析出。角谷猜想说这个迭代最后一定是等于1。（1）式也是一个三体问题，打开下面图片。一个点表示，一个点表示
，一个点表示。三个点在变化中会不会重复？其中一个点会不会无限扩大？打开图片看动态表示。举例：，代入公式（1）：。一步结束。代入公式
（1）：，两步结束。证明的难点在哪里？它要求：任何一个奇数迭代以后不能回到自身，就是不能发生循环。任何一个奇数迭代以后不能无限扩散
到无穷。有无穷多的层次第一种情况：一步到位的奇数有：5，21，85，341，1365，....。即：.....（2）。......
.（3）例如：。。.......。第二种情况需要两步完成迭代的公式：。....(4)两步到位的奇数即的有：3，13，53，113，
227，909，.....。......(5).式是（4）式反推的结果。例1，。。。，代入（5）式得出。，代入（4）式得出。第三种
情况对于任意n，可以通项公式(6)；.........(6)。（7）我们不能保证（7）式结果等于1。因为，公式中每一个都是一次迭代
，一共有n-1次迭代。有n阶变化率。这是不可能推导出来的。这是一个三体问题，无法证明会不会发散。角谷猜想就是要证明（6）式是否对于
一切奇数都成立。例如：。。。。...........。最近陶哲轩宣称证明角谷猜想，纯属无稽之谈，荒唐。参见中国科学院智慧火花【空气
压缩机就是角谷猜想的运行模式】。什么是3x+3猜想3X+3猜想，就是说无论X是什么奇数，如果是奇数就乘以3再加3，如果是偶数就除以
，直到最后都是3。......（1），其中是指把全部偶数析出。最后结果一定是：.......。（2）范例例如:。=7，7×3 +3
=24, 24÷8=3。=9，9×3+3=30，30÷2=15，15×3+3=48，48÷16=3（回到X=5的状态）。=11，1
1×3+3=36，析出4得9，9→15→3，回到X=5的状态。=13，13×3+3=42，21→33→51→39→15→3.(回到
X=5状态）。=15，回到x=5状态。=17，27→21→33→51→39→15→3。回到X=13状态。=19，19×3+3=60
，回到X=15状态。=21，回到X=13状态。=23，23×3+3=72,回到X=9状态。其中，=53用了43次迭代回到3：53—
—81——123——93——141——213——321——483——363——273——411——309——465——699——5
25——789——1185——1779——1335——501——753——1131——849——1275——957——1437——
2157——3237——4857——7287——2733——4101——6153——9231——1731——1299——975——
183——69——105——159——15——3.。=61用了40次迭代回到3：61——93——141——213——321——48
3——363——273——411——309——465——699——525——789——1185——1779——1335——501—
—753——1131——849——1275——957——1437——2157——3237——4857——7287——2733——4
101——6153——9231——1731——1299——975——183——69——105——159——15——3.开方公式古代
有三大算法，即寻找素数的埃特拉斯特尼算法（筛法），计算最大公约数的欧几里得算法，求方根的开方法。算法不等于公式，但是，公式一定能够
提供一种算法。前面我们给出了寻找素数的公式，现在我提供开方公式。这是一种反馈算法：........（1）例如开3次方，即求的方根.
.......（2）例如，A=5，k=3.公式：5介于至之间（1的3次方=1，2的3次方=8）可以取1.1，1.2，1.3，1.4
，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以，例如我们取2.0。按照公式：第一步：我们夺取一位数，即。输入值大于输出值，
负反馈；第二步：。输入值小于输出值，正反馈；取3位数，比前面多取一位数。第三步：。输入值大于输出值，负反馈；比前面多取一位数，1.709.第四步：输入值小于输出值，正反馈；计算次数与精确成正比。这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。开平方公式.......（3）即求的方根。例如，A=5：k=2.5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。第一步：第一步去调整值2.2。第二步：；取3位数2.23。第三步：。每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。文章发表在136期【数学传播】从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法。2 |
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