高考数学考前知识点
【集合部分】
1、集合相关观念
（1）集合性质：确定性、互异性、无序性
n n n
（2） n个元素集合有 2 个子集，有 2 ?1个真子集，有 2 ? 2个非空真子集
（3）空集是任何一个集合的子集，是一切非空集合的真子集
A
（4）交集“?”；并集“?”；补集“ C ”
U
交：A? B ? {x | x ? A,且x ? B} 并：A? B ? {x | x ? A或x ? B} 补：C A ? {x ?U,且x ? A}
U
【函数、导数】
1、函数的单调性
（1）设 x、x ?[a,b], x ? x 那么
1 2 1 2
f (x ) ? f (x ) ? 0 ? f (x)在[a,b]上是增函数； f (x ) ? f (x ) ? 0 ? f (x)在[a,b]上是减函数.
1 2 1 2
（2）设函数 y ? f (x)在某个区间内可导，
? ?
若 f (x) ? 0，则 f (x)为增函数；若 f (x) ? 0，则 f (x)为减函数.
2、函数的奇偶性（1）定义：对于定义域内任意的 x ，若 f (?x) ? f (x) ，则 f (x) 是偶函数；若 f (?x) ? ? f (x)，则
f (x) 是奇函数。
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。
奇函数 f (x)在原点有定义，则 f (0) ? 0
3、函数的周期性：若 f (x ? T ) ? f (x)，则 T叫做这个函数的一个周期。（差为定值想周期）
（1）三角函数的最小正周期：
?
2?
； y ? tan?x :T ?
y ? Asin(?x ? ?), y ? Acos(?x ? ?) : T ?
| ? | | ? |
4、两个函数图象的对称性（和为定值想对称）
（1）如果函数 y ? f ?x?对于一切 x ? R，都有 f ?a ? x? ? f ?a ? x?，那么函数 y ? f ?x?的图象关于直线 x ? a
对称? y ? f x ? a 是偶函数；
? ?
a ? b
（2）若都有 f ?a ? x? ? f ?b ? x?，那么函数 y ? f ?x?的图象关于直线 对称；
x ?
2
5、极值、最值（极值点处的导数值为零，最值只在极值点处或端点处）
? ?
求函数 y ? f x 的极值的方法是：解方程 f x ? 0．当 f x ? 0时：
? ? ? ? ? ?
0
? ?
(1) 如果在 x 附近的左侧 f x ? 0，右侧 f x ? 0，那么 f x 是极大值；
? ? ? ? ? ?
0 0
? ?
(2) 如果在 x 附近的左侧 f x ? 0，右侧 f x ? 0，那么 f x 是极小值．
? ? ? ? ? ?
0 0
6、图象变换问题
（1）平移变换：ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (x ? a)， (a ? 0)———左“+”右“－”；
ⅱ) y ? f (x) ? y ? f (x) ? k,(k ? 0) ———上“+”下“－”；
（2）对称变换：
x轴
(0,0)
?? ?
ⅰ) y ? f (x) ?? ?? y ? ? f (?x)；ⅱ) y ? f (x) y ? ? f (x)；
y?x
y轴
?? ? ?? ? ?
ⅲ) y ? f (x) y ? f (?x)；ⅳ) y ? f (x) x ? f (y)；
（3）翻折变换：
ⅰ) y ? f (x) ? y ? f (| x |)———（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ f (x) 在 y 左侧图象去掉）；
ⅱ) y ? f (x) ? y ?| f (x) |———（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| f (x) |在 x 下面无图象）；
（4）伸缩变换
1
ⅰ） y ? f (x) ? y ? f (?x)， （? ? 0)———纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍；
?
ⅱ） y ? f (x) ? y ? Af (x)， （ A ? 0)———横坐标不变，纵坐标变为原来的 A倍；
7、函数零点的求法：
1 ⑴直接法（求 f (x) ? 0的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若 y ? f (x) 在[a,b]上满足 f (a)? f (b) ? 0，则 y ? f (x) 在 (a,b)内至少有一个零点。
8、基本运算
m n mn m m m
m n m?n m n m?n
（1）指数运算： a ?a ? a ； a ? a ? a ； (a ) ? a ； a b ? (ab)
M
n
（2）对数运算： log M ? log N ? log (MN)；log M ?log N ? log ； log M ? n log M ；
a a a a a a a a
N
log N n
log b n
m
a
log 1 ? 0； log a ?1； a ? b； log N ? ； log b ? log b；
m
a a a a
a
log a m
m
n '' n?1 1
1 1
'' ''
''
(x ) ? nx
（3）导数运算：① C ? 0（C为常数）② ；特别地， ( x) ? ，
( ) ? ?
2
2 x x x
1
''
x '' x ''
''
(cos x) ? ?sin x
③ (e ) ? e ④； (ln x) ? ⑤(sin x) ?cosx；
x
? ?
u u v ? uv
（4）导数的四则运算法则： ? ? ? ? ? ? ?
(u ? v) ? u ? v ;(uv) ? u v ? uv ;( ) ? ;
2
v
v
f ( x ? ? x ) ? f ( x )
（5）导数定义：f(x)在点 x 处的导数记作 0 0
0
y ? ? f ?( x ) ? lim
x ? x 0
0
? x ? 0
? x
（6）函数 y ? f (x)在点 x 处的导数的几何意义：函数 y ? f (x)在点 x 处的导数是曲线 y ? f (x)在 P(x , f (x ))
0 0 0 0
? ?
处的切线的斜率 k= f (x )，相应的切线方程是 y ? y ? f (x )(x ? x ).
0 0 0 0
原函数图象只看升降判增减；导函数图象只看上下定正负
2
9、二次函数：（1）解析式：①一般式： f (x) ? ax ? bx ? c ；
2
②顶点式： f (x) ? a(x ? h) ? k ， (h, k)为顶点；③零点式： f (x) ? a(x ? x )(x ? x ) （a≠0）.
1 2
2
2 b
? ?
b 4ac ? b
(2)二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。
x ? ?
?? ， ?
? ?
2a 2a 4a
? ?
(3)二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③判别式；④与坐标轴交点；⑤端点值
10、指数函数图象
x x
指数函数 a ?1， y ? a 0 ? a ?1， y ? a
图象
（1）定义域： R
（2）值域： (0,??)
（3）过点 (0,1)，即 x ? 0时 y ?1
性质
（4）在 R上是增函数 （4）在 R上是减函数
(5)x<0时,00 时,y>1 (5)x<0时,y>1; x>0 时,011、对数函数图象
a ?1 0 ? a ?1
x ?1
x ?1
y ?log x
a
图
象
(1,0)
(1,0)
y ?log x
a
（1）定义域： (0,??)
（2）值域： R
性
质 （3）过点 (1,0)，即当 x ? 1时， y ? 0
（4）在 (0, ??)上是减函数
（4）在（0，+∞）上是增函数
2 (5)0〈x<1 时 y<0; x>1 时 y>0 (5)0〈x<1 时 y>0; x>1 时 y<0
a
12、几种幂函数 y ? x 的图象（分清 a ? 0； a ? 0； 0 ? a ?1； a ?1； a ?1）
13、正弦、余弦、正切函数的性质：
y ? cos x
y ? tan x
y ? sin x
图象
?
{x | x ? ? k? , k ? Z}
定义域 R R
2
[-1,1] [-1,1]
值域 R
?
x ? 2k? , k ? Z时，y ? 1
x ? 2k? ? , k ? Z时，y ? 1 max
max
2
无
最值
x ? 2k? ? ? , k ? Z时，y ? ?1
min
?
x ? 2k? ? , k ? Z时，y ? ?1
min
2
周期性
T ? 2? T ? 2? T ? ?
奇 偶 奇
奇偶性
在 上单调递增
? ?
[2k? ? ,2k? ? ]
2 2
在 上单调递增
[2k? ?? ,2k? ]
单调性
? ?
在 上单调递增
(k? ? , k? ? )
在 上 单 调 递
? 3?
[2k? ? ,2k? ? ] 2 2
在[2k? ,2k? ?? ]上单调递减
k ? Z
2 2
减
? 对称轴方程： x ? k?
无对称轴
对称性 对称轴方程： x ? k? ?
? k?
2
对称中心
( , 0)
k ? Z 对称中心 (k? ? , 0)
对称中心 (k? , 0) 2
2
【三角函数、三角恒等变换与解三角形】
0
0
1、角度制与弧度制的互化：角度 ? 180 ? ? 弧度 ?? ?180 角度
uuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuu r
? 180
? ? ? 0 o ''
（1）? ? 180 ，1 ? ，1弧度 ? ( ) ? 57.3 ? 57 18
y
180 ?
l 1
sinα(+)
（2）圆心角弧度： ? ? ；扇形面积公式： S ? l ? R
R 2
2、三角函数定义:角? 终边上任一点（非原点）P (x, y),设| OP |? r
x
y x
y
则： 三角函数符号由才字（如右图）
sin? ? ,cos? ? ,
tan? ?
cosα(+)
tanα(+)
r r
x
，
3、诱导公式记忆规律:“奇变偶不变，符号看象限”
4、特殊角的三角函数值
sin x
2 2
5、同角三角函数的基本关系：
sin x ? cos x ? 1; ? tan x
cos x
6、两角和与差的正余弦，正切公式：
3 tan? ? tan ?
?
cos(? ??) ?cos?cos? ?sin?sin?
? sin(???)?sin?cos??cos?sin?
? tan(? ? ? ) ?
?
； ；
1? tan? tan ?
? ?
?
cos(? ??) ?cos?cos? ?sin?sin? sin(???)?sin?cos??cos?sin? ?
?
?
tan? ? tan ?
?
tan(? ? ? ) ?
?
1? tan? tan ?
?
2 tan?
tan 2? ?
sin 2? ? 2 sin? cos?
7、倍角公式： ； ；
2
1? tan ?
2 2 2 2
cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ?1 ? 1? 2 sin ?
；
1
1? cos 2? 1? cos 2?
2 2
sin? cos? ? sin 2?
?（降幂公式） cos ? ? ,sin ? ? ，
2 2 2
b
2 2
8、辅助角公式： a sin x ? b cos x ? a ? b sin(x ??)，其中 tan? ?
a
b ?
b ? b 3 ?
（ ； ； ）
? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ?
a 3 a 3 6 a 4
a b c
9、正弦定理 ? ? ? 2R（ 2R是 ?ABC外接圆直径）
sin A sin B sin C
边化角： a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B,c ? 2Rsin C
a b c
角化边：sin A ? ，sin B ? ，sin C ?
2R 2R 2R
2 2 2
2 2 2 2 2 2
11、余弦定理：在 ?A?C 中， a ? b ?c ?2bccosA，b ? a ?c ?2accos?， c ? a ? b ? 2abcosC ．
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ? c ? b
b ? c ? a a ? b ? c
推论： ， ，
cos ? ?
cos A ? cosC ?
2ac
2bc 2ab
1 1 1
12、三角形面积公式：
S ? absin C ? bcsin A ? acsin B
?ABC
2 2 2
【平面向量】
1、 平面向量的坐标运算:设 a= (x , y ), a= (x , y )，
1 1 2 2
① a+b= (x ? x , y ? y ).② a-b= (x ? x , y ? y ). ③ ? a= (?x,? y).
1 2 1 2 1 2 1 2
???? ???? ??? ?
uuu r
2 2
④设 A (x , y )，B (x , y ),则 AB ? OB?OA? (x ? x , y ? y )，
AB ? (x ? x ) ? (y ? y )
1 1 2 2 2 1 2 1
1 2 1 2
2、向量的三角形法则与平行四边形法则
???? ??? ? ????
⑴ AC ? CB ? AB（尾首接，首尾连）
???? ??? ? ????
⑵OB ? OA ? AB（同起点，后向前）
? ?
3、重要性质：设 a ? x ，y ， b ? x ，y
? ? ? ?
1 1 2 2
? ? ? ?
? ? ? ?
①证明垂直: ②证明平行:
a⊥b ?a?b ?0?x ?x ? y ? y ?0 a∥ b ? a ? ? b? x y ? x y ? 0
1 2 1 2 1 2 2 1
? ?
2
? ?
2 2 2 a? b x x ? y y
1 2 1 2
③求向量的模: ④求夹角：
a ?| a | ? x ? y
cos? ? ?
1 1
? ?
2 2 2 2
x ? y ? x ? y
| a | ? | b |
1 1 2 2
? ? ? ? ? ? ? ?
⑤ a ?b ? x x ? y y ； a ?b ? a ? b cos? （? 为 a与b的夹角）
1 2 1 2
【不等式】
1、均值不等式（一正二定三相等）（积定和最小，和定积最大）
2 2
（1）若 a，b? R，则 a ? b ? 2ab（当且仅当 a ? b时等号成立）
?
若 x， y ? R ，则 x ? y ? 2 xy （当且仅当 x ? y时等号成立）
2 2 2
(a ? b) a ? b
（2）若 a，b? R，则 （当且仅当 a ? b时等号成立）
ab ? ?
4 2
2、目标函数的类型：（判断 Ax ? By ? C ? 0（或 ? 0)，观察 B的符号与不等式开口的符号，同上异下，或代
y y ? b
点计算）①“截距”型： z ? Ax ? By; ②“斜率”型： z ? 或 z ? ;
x x ? a
4 2 2 2 2 2 2 2 2
③“距离”型： z ? x ? y 或 z ? x ? y ; z ? (x ? a) ? (y ? b) 或 z ? (x ? a) ? (y ? b) .
【数列】
1、数列的通项公式与前 n 项的和的关系
s , n ?1
?
1
a ? ( 数列{a }的前 n 项的和为 s ? a ? a ??? a )
?
n n n 1 2 n
s ? s , n ? 2
? n n?1
2、等差数列的有关性质
a ? a ? (n ?1)d a ?(n?m)d
（1）定义： a ? a ? d(常数) （2）通项公式： ＝
n 1 m
n?1 n
n(a ? a )
n(n ?1)
1 n
（3）前 n 项和公式：
S ? ? na ? d
n 1
2 2
（4）若 m ? n ? p ? q，那么 （5）等差中项：2A=a+b;
a ? a ? a ? a 2a ? a ? a
m n p q n n?1 n?1
?a ?
（6） 等差数列,则 S , S ? S , S ? S 仍成等差
n k 2k k 3k 2k
3、等比数列的有关性质
n?m
n?1
a
n ?1 a q
a ? a q
（1）定义： （2）通项公式： ＝
? q(常数 ) n 1 m
a
n
na q ? 1
?
1
（3）前 n 项和公式：
?
n
S ?
?a (1? q ) a ? a q
n
1 1 n
? q ? 1
?
1? q 1- q
?
2
2
m ? n ? p ? q a a ? a a a ? a a
（4）若 ，则 （5）等比中项：G = a b;
m n p q
n n?1 n?1
?a ? S , S ? S , S ? S
（6）等比数列 ,则 仍成等比数列 （q≠－1或 k为奇数）
n k 2k k 3k 2k
【立体几何】
1、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式（利用长方体与正方体模板）
2 2
圆柱侧面积= 2?rl，表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积=?rl，表面积=?rl ? ?r
1 1
（ 是底面积、 是高） （ 是锥体的底面积、 是锥体的高）.
S h S h
V ? Sh V ? Sh
柱体 锥体
3 3
4 2
3
球的半径是 R，则其体积 ,其表面积 S ? 4? R ．注意： S ? 2 2 ? S
V ? ? R
原图形 直观图
3
2、线线位置关系：平行、相交、异面。 面面位置关系：平行、相交。
线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
3、平行的判定与性质
（1）直线与平面平行的判定 （2）平面与平面平行的判定
判定定理：平面外一条直线与此平面内的 判定定理：一个平面内的两条相交直线与
一条直线平行，则该直线与此平面平行。 另一个平面平行，则这两个平面平行。
a ? ? ?
? a
O
b
b ? ?
a ? ?
? ?
a
?
?
? a ?b ? o ? ? P?
?
b ? ? ? a P?
?
?
a P?
b
? ?
（3）直线与平面平行的性质 （4）平面与平面平行的性质
?
a Pb
?
bP? ?
?
?
性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这 性质定理：如果两个平行平面同时与
条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 第三个平面相交，那么它们的交线平行
a P?
?
?
? ? P?
a ?
?
a ? ? ? a Pb
?
? a
? ?? ? a ? a Pb
? ?
?
b
? ? ? ? b ?
?
?
b
? ?? ? b ?
?
7、垂直的判定与性质
（5）直线与平面垂直的判定 （6）平面与平面垂直的判定
判定定理：一条直线与一个平面内的两条 判定定理：一个平面过另一个平面的一条
相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 垂线，则这两个平面互相垂直。
?
m
?
5 a ? ?
?
? m
m ? ?
b ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
a ?b ? o ? m ? ?
?
m ? ?
?
a
?
m ? a
?
O
b
?
m ? b ?
?
（7）直线与平面垂直的性质定理 （8）平面与平面垂直的性质定理
性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂
a 直于交线的直线与另一个平面垂直。
b
a ? ?
?
? ? ? ?
? a
? a Pb
?
?
?
b ? ? a ? ?
?
?
b
? a ? ?
?
? ? ? ? b
?
?
?
a ? b
?
【解析几何】
y ? y
?
? ?
2 1
1、斜率公式：① .（其中两点 P (x , y )、 P (x , y )）
k ?
? tan? ? ?
1 1 1 2 2 2
? ?
x ? x
2
? ?
2 1
/
②曲线 在点 P x , y 处的切线的斜率 .
y ? f x ? ? k ? f x
? ? ? ?
0 0 0
0
2、直线的五种方程﹙一般两点斜截距﹚
（1）点斜式 y ? y ? k(x ? x ) (直线l过点 P (x , y )，且斜率为 k )．
1 1 1 1 1
（2）斜截式 y ? kx ? b(b 为直线l在 y 轴上的截距).
（3）一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B不同时为 0).
3、两条直线的平行和垂直
（1）若l : y ? k x ? b ，l : y ? k x ? b ① ②
l || l ? k ? k ,b ? b ； l ? l ? k k ? ?1
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（2）)若l : A x ? B y ? C ? 0 ,l : A x ? B y ? C ? 0 ,且 A 、A 、B 、B 都不为零,
1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
⑴l / /l ? A B ? A B且B C ? B C ； ⑵l 和l 相交 ? A B ? A B ；
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1
⑶l 和l 重合 ? A B ? A B且B C ? B C ； ⑷ l ? l ? A A ? B B ? 0 .
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
注：①与直线l : Ax ? By ? C ? 0平行的直线可表示为 Ax ? By ? C ? 0；
1
②与直线l : Ax ? By ? C ? 0垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C ? 0；
1
4、距离公式
2 2
（1）平面两点间的距离公式： d ? (x ? x ) ? (y ? y ) (A (x , y )，B (x , y )).
A,B 2 1 2 1 1 1 2 2
| Ax ? By ? C |
0 0
（2）点到直线的距离： (点 P(x , y ) ,直线l： Ax ? By ? C ? 0
d ?
0 0
2 2
A ? B
C ? C
1 2
（3）平行线 Ax ? By ? C ? 0和 Ax ? By ? C ? 0的距离公式
1 1 d ?
2 2
?
A B
5、圆的方程
2 2 2
（1）标准方程： (x ? a) ? (y ? b) ? r ，圆心 (a,b)；半径 r
2 2
2 2 2 2
D ? E ? 4F
D E
（2）一般方程： x ? y ? Dx? Ey? F ? 0( D ? E ?4F＞0)，圆心 ；半径
r ?
( , )
?2 ?2 2
2 2 2
6、直线与圆的位置关系：直线 Ax ? By ? C ? 0与圆 (x ? a) ? (y ? b) ? r
d ? r ? 相 离 ? ? ? 0; d ? r ? 相 切 ? ? ? 0;
Aa ? Bb ? C
2 2
d ? r ? 相 交 ? ? ? 0. 弦长= 2 r ? d ，其中 d ? .
2 2
A ? B
7、两圆位置关系：设两圆圆心分别为 O ，O ，半径分别为 r ，r ， O O ? d
1 2 1 2
1 2
① d ? r ? r ? 外 离 ? 4条 公 切 线 ; ② d ? r ? r ? 外 切 ? 3条 公 切 线
1 2 1 2
③ r ? r ? d ? r ? r ? 相 交 ? 2条 公 切 线 ; ④ d ? r ? r ?内 切 ? 1条 公 切 线 ;
1 2 1 2 1 2
6 ⑤ 0 ? d ? r ? r ?内 含 ? 无 公 切 线 .
1 2
2 2 2 2
注：①圆的切线方程：过圆 x ? y ? r 上的 P (x , y )点的切线方程为 x x ? y y ? r ;
0 0 0 0 0
②圆上的动点到圆外的点或直线的最长距离（ d ? r）或最短距离（ d ? r ）
8、椭圆的几何性质
9、双曲线的几何性质
3、抛物线的几何性质
7 ?
2 2 2
注：①直线与圆锥曲线相交的弦长公式： AB ?
(1? k )? ?(x ? x ) ? 4x x ? ? 1? k ?
1 2 1 2
? ?
?
a
②焦点三角形处理方法：定义+勾股定理+正余定理
p p
③过抛物线焦点的弦长
AB ? x ? ? x ? ? x ? x ? p
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2
b
x y x y
④若双曲线方程为 ?渐近线方程： .
y ? ? x
? ? 1 ? ? 0 ?
2 2 2 2
a b a b a
2 2
b
x y
x y
⑤若渐近线方程为 ? ?双曲线可设为 .
y ? ? x
? ? 0 ? ? ?
2 2
a
a b a b
【概率统计】
1、看图注意纵轴标识
频率 频率 频数
（1）频率分布直方图：（1）频率= ×组距 （2） 是长方形的高 （3）频率=
组距 组距 总数
（2）平均数=各长方形底边的中点坐标×各长方形的面积的和： x ? x p ? x p ? ... ? x p
1 1 2 2 n n
（3）众数在直方图中面积最大的长方形的中点的横坐标
（4）中位数在直方图中使左右两边面积相等处的点的横坐标
1
2 2 2
2
（5） 作用：衡量数据波动程度
方差：S ? ??x ? x ? ? ?x ? x? ?……? ?x ? x? ?
1 2 n
n
n
?
x y ? n x ? y
? i i
? n n
1 1
i?1
?b ?
2、回归方程 y ? ? a ?bx必过定点 (x, y) ，其中 x ? x , y ? y
?
n
? ?
i i
2
2
?
n n
x ? n x i?1 i?1
? i
?
i?1
?
?
a ? y ? b x
?
2
注：① R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
2
② R 越接近于 1，则回归效果越好。
2
n(ad ? bc)
2
卡方统计量：
k ? ,其中n ? a ? b ? c ? d
(a ? b)(c ? d)(a ? c)(b ? d)
2
随机变量 K 越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。
A包含的基本事件的个数 事件A的区域长度（面积或体积）
古典概型： ；几何概型：
P(A) ? P(A) ?
基本事件的总数 全部结果的区域长度（面积或体积）
【简易逻辑、复数】
1、逻辑联结词：或（ ?），且（ ?），非（ ?）
若 p ? q为真，当且仅当 p、q 均为真；若 p ? q为假，当且仅当 p、q 均为假；
若 ?p 为真，当且仅当 p 为假；
全称命题 p：?x ? M , p(x)； 全称命题 p 的否定 ? p： ?x ? M ,?p(x)。
特称命题 p： ?x ? M , p(x)； 特称命题 p 的否定 ? p：?x ? M ,?p(x)；
2、原命题：若 A，则 B；逆否命题：若 ?B，则 ?A
命题的否定（非 p ）：若 A，则 ?B（命题的否定条件不否，结论否）
逆命题：若 B，则 A；否命题：若 ?A，则 ?B（否命题是条件和结论全否）
3、充分与必要条件
①若 p ? q ，q? p，则 p 是 q 的充分不必要条件；②若 p ? q ，q? p，则 p 是 q 的必要不充分条件
③若 p ? q ，q? p，则 p 是 q 的充要条件；④若 p ? q ，q? p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件
2
4、复数部分：（1）i ? ?1，若 z ? a ? bi
2 2
① a为实部，b为虚部， z ? a ? b ，其共轭复数 z ? a ? bi
② z ? a ? bi且在复平面内对应的点的坐标为 (a,b)
（2）若 z ? a ? bi， z ? c ? di，
1 2
① z ? z ? (a ? c) ? (b ? d)i ； z ? z ? (a ? c) ? (b ? d)i
1 2 1 2
8 z
(a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad
1
② z ? z ? (ac ? bd) ? (ad ? bc)i ； ? ? ? i
1 2
2 2 2 2
z (c ? di)(c ? di) c ? d c ? d
2
二次函数知识梳理
2
函 数
二次函数 y ? ax ? bx ? c(a,b,c是常数，a ? 0)
a>0 a<0
y
y
图 象
0
x
x
0
开 口
抛物线开口向上，并向上无限延伸； 抛物线开口向下，并向下无限延伸；
2
对称轴 b b 4ac ? b
对称轴是 x= ? ， 顶点坐标是（ ? ， ）；
顶 点
2a 2a 4a
b b
在对称轴的左侧，即当 x< ? 时， 在对称轴的左侧，即当 x< ? 时，y 随 x
2a 2a
性
y随 x的增大而减小；在对称轴的右 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x>
增减性
b b
侧，即当 x> ? 时，y随 x的增大 ? 时，y随 x的增大而减小，
质
2a 2a
而增大，简记 左减右增； 简记 左增右减；
b b
抛物线有最低点，当 x= ? 时， 抛物线有最高点，当 x= ? 时，
2a 2a
最 值
2 2
4ac ? b 4ac ? b
y有最小值， y ? y有最大值， y ?
最小值 最大值
4a 4a
2
? ?b ?4ac
2 2 2
b - 4ac > 0时，有 2 个；b - 4ac =0时，有 1 个；b - 4ac < 0时，没有
管与 x轴交
点
2
? b ? 4ac
x
轴两交点
M M ? x ? x ? ?
1 2 1 2
距离
a a
图象平移 x管左右，左加右减； y管上下，上加下减
a开口方向
当 a ? 0 时，抛物线开口向上；当 a ? 0 时，抛物线开口向下
a,b合管对 b
对称轴 在 y 轴左边则 ab ? 0，在 y 轴的右侧则 ab ? 0，概括“左同右异”
x ? ?
2a
称轴
c管与 y轴
当 c ? 0时，交点在 x轴上方；当 c ? 0时，交点为原点；
当 c ? 0时，交点在 x轴下方
的交点
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