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本文涉及的内容：
七上的数轴动点问题是一个测试棒。如果学生一直不会做这一类题，那么家长可能需要调整对其数学成绩的预期；而如果家长不能清晰明了地给孩子讲明白这一类题，那么他可能需要考虑放弃亲自指导学生的数学了。 但是话说回来，学习这一类题，首先是一个学习意志的问题——这类题不是学霸们的专享；其次是一个方法技能的问题——这类题有对应的、每个学生都可以学会的最优解题策略和方法。 本文注重实操，既讲解原理和方法，也介绍解题全过程的经验和诀窍（包括打草稿的方法），旨在让学生和家长都能学会这一类题。 当然，任何学习都离不开刻意练习，本文提供可编辑可打印的电子版下载，建议家长把文中例题单独打印出来供孩子学习使用。精选好题值得多琢磨多体会，方法也需要结合具体题目去学习和领悟。 数轴：本文所指的都是常见的向右为正方向的数轴（在这样放置的数轴上，越往右对应的数越大，越往左对应的数越小）。 数轴上点的表示 已知数轴上的点A，B，它们对应的数分别为a，b，我们可以简洁地表示它们之间的关系：
注意：因为A代表的是一个点，而a是一个数，所以不能写作“A＝a”，（我们也可以把a称为点A在数轴上的坐标或位置。） 数轴上线段的表示 我们通常用线段的两个端点来表示一条线段。 像“AB”这样，两个大写字母紧挨着写，既可以表示以A，B两点为端点的“线段AB”，也可以表示AB这条线段的长度； “AB＝5”的含义：以A，B两点为端点的线段AB的长度是5； 线段没有方向，BA和AB表示同一条线段； 数轴上的距离表示 数轴上两点的距离，就是以这两点为端点的线段的长度，它等于这两点在数轴上所对应的数的差值的绝对值，也即：
如果知道A，B两点在数轴上的相对位置，则可以去掉绝对值： ①点A在点B的左边（A左B右）：AB＝b－a， ②点A在点B的右边（A右B左）：AB＝a－b， 总之，数轴上两点距离＝右减左（大减小），如果不确定左右，就相减再加上绝对值。 数轴上的中点公式 线段的中点：把一条线段分为两条相等线段的点，是这条线段的中点。 如果点M，A，B都在数轴上，且点M是线段AB的中点，则我们可以利用中点公式（线段中点对应的数，等于线段两端点所对应数的平均数）；
无论点A和点B谁左谁右，线段AB的中点表达式都是一样的；（线段中点公式的证明很简单，留给读者自行探索。） 【注意】点M是线段AB的中点，意味着点M到点A的距离和点M到点B的距离相等，但是反过来：“到点A和点B距离相等的点”包含两种情况，①线段AB的中点；②若点A和点B重合，则任意一个点到它们的距离都相等。 数轴上点的运动表示 当点在数轴上运动的时候，它的位置（也即它所对应的数）就不固定了，但只要知道运动的起点、运动的方向、运动的速度和时间，我们就可以用一个代数式来表示这个动点的位置： 例如：数轴上，已知点A：－3，B：7，点P从点A出发，沿数轴以每秒2个长度单位的速度向右运动，与此同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左运动，若运动时间为t秒，则表示动点P，Q的位置只需三步：
两个动点在数轴上相遇，也即它们运动到了同一个位置，也即它们位置的表达式相等； 若P，Q两点相遇，则：－3＋2t＝7－3t，解得t＝2， 此时P：－3＋2t＝－3＋2×2＝1，Q：7－3t＝7－3×2＝1， 以上是数轴定点运动问题所需要掌握的原理、方法，解答这类题相关的经验、诀窍我将在例题讲解过程中介绍。 【例题精讲】 例1：【动点定值】武汉市东湖高新区2022－2023学年七年级上学期期中考试 已知数轴上有三个点分别为A，B，C，对应的数分别是a，b，c，满足|a＋4|＋(b－8)2＋(c－12)2＝0．规定：两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点B之间的距离表示为AB． (1)直接写出a，b，c的值：a＝________，b＝________，c＝________； (2)点A，C在数轴同时运动，它们的速度分别是3个单位/秒、2个单位/秒，设运动时间为t． ①点A向右运动t秒时对应的数为________（用含t的式子表示）； ②点A、C向右运动，当AB＝CB，求点A、C运动的时间t； ③当点A向左运动，点C向右运动．试问是否存在一个常数k使得kAB－BC不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【答案】
【打草稿】 （1）在数轴上（如果题目没给数轴则自己用直尺画数轴）标出各定点及对应的数，在各动点的出发位置标记运动方向、速度大小； （2）写出动点的位置，以及要用到的定点的位置； 【解题指要】 第（2）②问（草稿如图）：
AB＝CB，也即点A和点C到点B的距离相等，它包含两种情况：①当点B成为线段AC中点的时候；②当点A和点C重合的时候。如果一开始就根据AB＝CB的几何含义去分类讨论，要当心漏解。 而借助绝对值来表示两点距离，我们可以先避开分类讨论，甚至不用关心AB＝CB的几何含义，一直到需要去绝对值的时候再分类讨论，这样做更简便。 如何减少甚至避免分类讨论，以及如何优化分类讨论，是解这一类题需要重点关注的。 第（2）③问（草稿如图）：
数轴动点问题是刚入初中的学生最早遇到的代几综合题，考验学生数形结合的能力。动手画图，既是为了方便解题，也是为了锻炼能力和树立习惯。有的学生凭借自己在小学积攒的那点东西，宁愿在脑子里闷想也不愿提笔画图，这是万不可鼓励和提倡的！ 至于规范的答题格式，每个学校，甚至每个老师的要求都是宽严不一的，本文不作具体的建议。反倒是打草稿，更能体现一个人解题思维的过程，其重要性相比答题的规范性，有过之而无不及，不可不重视。 【查漏补缺】
例2：【动点定值】武汉市外校美加分校2023－2024学年七上10月考
【答案】
（3）（草稿如图）：
例3：【中点】2023－2024卓刀泉中学七（上）10月月考数学试卷 24．如图，在数轴上点A表示的数为－6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． (1)求点M、点N分别所对应的数(用含t的式子表示)； (2)若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； (3)若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ＋AM＝17时，求运动时间t．
【解题指要】
【零点分区法】以下用“零点分区法”分类讨论去绝对值 所谓“零点”，是指让两个绝对值分别为0的数。此处零点是13和6，这两个零点把时间划分为了三个区间：0≤t≤6，6＜t＜13，t≥13，分类讨论便以此为起点： ①当0≤t≤6时，去绝对值可得：13－t＋6－t＝17，解得t＝1； ②当6＜t＜13时，去绝对值可得：13－t＋t－6＝17，方程无解； ③当t≥13时，去绝对值可得：t－13＋t－6＝17，解得t＝18； 综上所述，当PQ＋AM＝17时，运动时间t为1s或18s． 例4：【中点】武汉市新洲区阳逻街2023—2024学年七上期中考 24．已知式子M＝(a＋4)x3＋8x2－2x＋7是关于x的二次三项式，且二次项系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b． (1)则a＝_____，b＝_____，A，B两点之间的距离为_____； (2)若有一动点P从数轴上点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，动点Q从数轴上点A处出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点P，Q分别从B，A两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距5个单位？ (3)在(2)的条件下，探索问题:若点M为BQ的中点，点N为AP的中点．当点P在线段AB上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系(写出过程)． 【答案】
【解题指要】（草稿如图）
例5：【往返运动】武汉市东西湖区2023—2024学年七上期中考 【探究与发现】： |a－b|表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离． 【理解与应用】 (1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，则数轴上点B表示的数是________； (2)若|x－8|＝2，则x＝________． 【拓展与延伸】在(1)的基础上，解决下列问题: (3)动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t (t>0)秒，求当t为多少秒时，A，P两点之间的距离为2； (4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以同样的速度返回，点P到达点C后，运动停止，设运动时间为t(t>0)秒，问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．
【答案】
【解题指要】 （3）（第一部分草稿如图）
本题运动有折返，涉及多个过程，分类讨论在所难免。 以下介绍一种借助时间轴有条理地开展分类讨论的方法。该方法在涉及多动点多过程的动点问题中通用性很好，而不单纯只在七年级有用，因为它本质上是一种思维方法。实际上，这个方法一直到高一物理的匀变速直线运动相遇追击问题还有很棒的应用。 【打草稿】 ①这个方法的核心是在题目已有的数轴之外，另画一条时间轴。 所谓时间轴，就是关于时间的数轴（通常只用时间轴的非负半轴），时间轴上的点所代表的数，对应运动中的时刻。 ②在时间轴上，标记动点运动过程中的“节点”，也就是运动状态发生改变的时刻（在本题中是动点Q调头的时刻）。如果有多个动点，一次只标记一个动点的节点，也就是每次先把一个动点的所有节点都标记完之后，再去标记下一个动点的（这对于减少思维工作量很重要！）。 所有动点的不同节点共同把时间轴交错划分成若干区间，对于同一个动点来说，同一个区间内，也即相邻两个节点之间，它的位置的表达式是一样的。 ③在各区间上标记动点的位置表达式。
第二部分草稿如图，正式答题如下：
【总结】 这个方法的精华在打草稿部分，要想真正领会这个方法的好，一定要亲自尝试。 最终答案中所出现的式子，和其他解法的可能没有太大区别，这提醒我们：评价一个方法的优劣，不是看它的答案所呈现的样子，而是看它是经历怎样的思维过程，凭借怎样的工具来获得最终答案的，以及这个过程是否具有通用性和迁移性，是否有利于减少出错和提高解题速度。 在后续例题中我们会看到，运动情况越是复杂，对分类讨论的条理性要求就越高，这个借助时间轴开展分类讨论的方法就越是有优势。 例6：【线段往返运动】武汉市七一华源2023－2024学年10月考 数轴上有，，三个点，分别表示有理数a、b、c，且满足：|a＋30|＋(b＋16)2＝－|c－4|，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） （1）有理数a＝_______，b＝_______，c＝_______． （2）当为何值时，点和点重合？ （3）在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由．
【答案】
【打草稿】 本题运动的是线段，而且有往返，但我们只需要盯紧线段端点，借助时间轴来分类讨论就可以了。 对于线段PQ，速度每秒2，首先是右端点Q从A：－30运动到C：4，用时17s，然后掉头，左端点P从2运动到A：－30，用时16s，运动结束，于是PQ这一组动点的就有两个节点：17和33． 对于MN这一组动点，只有33（结束运动）这一个节点。
【解题指要】 （2） 点Q从A运动到C，用时：[4－(－30)]÷2＝17， 掉头后，点P运动到A用时：[4－2－(－30)]÷2＝16， ①当0≤t≤17时，Q：－30＋2t，N：－16＋t， 若点Q和点N重合，－30＋2t＝－16＋t，解得t＝14； ②当17＜t≤33时，Q：4－2(t－17)，N：－16＋t， 若点Q和点N重合，4－2(t－17)＝－16＋t，解得t＝18； 综上所述，当t＝14或t＝18时，点Q和点N重合． 若线段和重合部分长度为1，则（结合作图即可判断）QM＝1且Q在M右边，或PN＝1且N在P右边， ①当0≤t≤17时，Q：－30＋2t，P：－32＋2t，N：－16＋t，M：－19＋t， 若QM＝1（Q在M右边），则(－30＋2t)－(－19＋t)＝1，解得t＝12， 此时P：－32＋2t＝－8， 若PN＝1（N在P右边），则(－16＋t)－(－32＋2t)＝1，解得t＝15， 此时P：－32＋2t＝－2，
例7：【线段往返运动】武汉市江岸区、东西湖区2022—2023学年七上期中考 24．如图，在数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子|a＋30|＋|b＋10|＋|c－14|＝0；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段MN（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段MN立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段MN再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． （1）求a，b，c的值； （2）当t＝______秒时，点P与点C重合，并求出此时线段MN上点N所表示的数； （3）记线段MN中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值．
【答案】
【解题指要】
例8：【折线数轴】武汉市外校教联体2023—2024学年七上期中考 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为－6，点B表示的数为5，点C表示的数为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位。动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则： (1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒； (2)若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？ (3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】
【解题指要】（草稿如图）
（3）（批量处理） ①当0≤t＜3时，P：－6＋2t，O：0，Q：9－t，B：5， 若PO＝QB，则0－(－6＋2t)＝(9－t)－5，解得t＝2， ②当3≤t＜4时，P：t－3，O：0，Q：9－t，B：5， 若PO＝QB，则t－3＝(9－t)－5，解得t＝3.5， ③当4≤t＜6.5时，P：t－3，O：0，Q：5－2(t－4)，B：5， 若PO＝QB，则t－3＝5－[5－2(t－4)]，解得t＝5， ④当6.5≤t＜8时，P：t－3，O：0，Q：－(t－6.5)，B：5， 若PO＝QB，则t－3＝5－[－(t－6.5)]，此方程无解， ⑤当8≤t＜12时，P：5＋2(t－8)，O：0，Q：－(t－6.5)，B：5， 若PO＝QB，则5＋2(t－8)＝5－[－(t－6.5)]，解得t＝9.5， 综上所述，满足条件的t的值为2或3.5或5或9.5． 第（3）问还有一个解题策略：先预先判断在哪些时间段会发生符合题目要求的情况，然后再具体计算。该策略在本题中显然没有优势，因为详尽的分类讨论虽然需要5次之多，但都是批量处理，不需要思考（况且事后我们发现，其中4种情况是避无可避的）。 然而在有些时候（例如第（2）问，以及后续例题中），预先判断确实可以避开一些不必要的分类讨论，所以方法、策略的选用要灵活，要有针对性。 例9：【折线数轴】武汉市武昌区2022－2023学年七上期末考 23．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示－12，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为LAC＝32．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴AO，BC上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒． （1）当t＝4秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？ （2）当M，N两点相遇时，求运动时间t的值． （3）若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．
【解题指要】
（3） P：6， （先预先判断，避开不必要的分类讨论） ①当0≤t＜6时，M在AO上，MP＞6，这一段时间MP＋NP≠6； ②当6≤t≤10时，M，N都在BO上，M：3(t－6)，N：12－(t－4)， MP＋NP＝6，则|6－3(t－6)|＋|12－(t－4)－6|＝|24－3t|＋|10－t|＝|24－3t|＋10－t＝6， 解得t＝7或t＝10； ③当t＞10时，M在BC上，MP＞6，这一段时间MP＋NP≠6； 综上所述，t＝7或t＝10． 例10：【折线数轴】武汉市武大外校2023—2024学年7上10月考 如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示m，点C表示40，我们称点A和点C在数轴上相距60个长度单位，用式子表示为AC＝60，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，运动到B点停止；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速，当P停止运动后Q也随之停止运动，设运动的时间为t秒，问： (1)BC＝__________(用含m的式子表示)； (2)若P、Q两点在数轴上点O至点B之间的D点相遇，D点表示10，求m； (3)在(2)的条件下，当PQ＝40时，求t．
【答案】
【解题指要】
例11：【往返＋变速】武汉市武珞路中学2023－2024学年七上期中考 24.在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a、b是方程|x－1|＝9的两个解(a＜b). 规定:两点间的距离可用这两点的字母表示，如点A与点B之间的距离表示为AB. (1)a＝_____，b＝_____，AB＝_____． (2)若在数轴上存在一点C，且AC＝2BC，求C点表示的数； (3)点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动，且每次返回（每次调头）的速度比前一次速度每秒增加3个单位长度，设运动时间为t秒.当点P，Q之间的距离为7个单位长度时，求t的值. 【解题指要】
当P运动到B右边且相距为7时（耗时12.5s），是一个临界状态，此后两点不可能相距为7.
例12：【自成一类的超难类型】武汉市武珞路中学2022－2023学年七上期中考
【答案】
【解题指要】 （2）
设M：m，∵2MA－MB＝35，∴2|m－2|－|m＋4|＝35， （零点分区法）解得m＝－27或m＝43， 点M在运动过程中每次掉头所对应的数依次为： 2，2－4＝－2，－2＋8＝6，6－16＝－10，－10＋32＝22，22－64＝－42； 所以点M先运动到－27所对应的位置， 此时M的总路程为：2＋4＋8＋16＋32＋[22－(－27)]＝111， 则运动时间：t＝111÷3＝37，也即满足条件的t的最小值为37。 （3）
因为m为正整数，所以要么1≤m≤4，要么m≥5， ①当1≤m≤4时，P总是在G右边，则： PG＝2＋4n－(－1＋mn)＝3＋4n－mn，GQ＝|－1＋mn－(－4＋5n)|＝|mn－5n＋3| ∵PG＋GQ＝4，∴3＋4n－mn＋|mn－5n＋3|＝4，整理得：|mn－5n＋3|＝mn－4n＋1， 1°若mn－5n＋3＝mn－4n＋1，则n＝2，此时mn－4n＋1＝2m－7≥0，∴m≥3．5， ∵1≤m≤4且m为整数，∴m＝4， 2°若mn－5n＋3＝－mn＋4n－1，整理得：(9－2m)n＝4， ∵m，n为正整数，∴9－2m为正奇数，∴9－2m＝1，∴m＝4，n＝4， ②当m≥5时，G总是在Q右边，则： PG＝|2＋4n－(－1＋mn)|＝|3＋4n－mn|，GQ＝－1＋mn－(－4＋5n)＝mn－5n＋3 ∵PG＋GQ＝4，∴|3＋4n－mn|＋mn－5n＋3＝4，整理得：|3＋4n－mn|＝5n＋1－mn， 1°若3＋4n－mn＝5n＋1－mn，则n＝2，此时5n＋1－mn＝11－2m≥0，∴m≤5．5， ∵m≥5且m为整数，∴m＝5， 2°若3＋4n－mn＝－5n－1＋mn，整理得：(2m－9)n＝4， ∵m，n为正整数，∴2m－9为正奇数，∴2m－9＝1，∴m＝5，n＝4，
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