第三章 机械振动和机械波弹簧振子和简谐振动运动方程及其图像简单的非理想振动简谐振动的合成与分解简谐波波的叠加原理、波的干涉声波和超声波 教学
大纲要求１.掌握简谐振动的定义、振动方程、简谐振动的特征量以及简谐振动的能量。２.理解简谐运动的旋转矢量表示方法。３.掌握同一直线
、同频率的简谐运动的合成。４.掌握简谐波的一般概念及波动方程。５.了解影响波的能量的因素。６.理解惠更斯原理。７.了解波的叠加、声
波的一般概念。８.理解声强级的意义。９.了解声波的一般特性及其在生物医学领域的应用。10.了解多普勒效应及其产生原因，并能计算波源
和观测者在同一直线上运动时频率的变化。机械振动：物体在一定位置附近作周期性的往复运动。振动现象振动定义：任何一个物理量在某一定值附
近随时间作周期性变化都可以称为振动。第三章 机械振动和机械波§3-1 弹簧振子和简谐振动 最基本、最简单的振动是简谐振动。 比如
弹簧振子、单摆。 一切复杂的振动都可以看作若干简谐振动的合成。一、简谐振动的动力学特征 以弹簧振子为例讨论简谐振动的动力学特
征。弹簧振子 弹簧振子由一个轻弹簧、一个质量为m的物体块组成理想模型.弹簧的一端被固定不动,另一端与物体相连.假设弹簧的
质量很小, 物体块与地面的摩擦力忽略不计.当弹簧偏离平衡位置时,弹簧的恢复力与物体的位移成正比. §3-1 弹簧振子和简谐振动受力
方面运动方面质量方面弹性方面忽略一切摩擦,物体只受弹性力；物体视为平动刚体,看作一质点；弹簧质量忽略, 质量集中在物体上； 物体无
形变，弹性在弹簧上。弹簧振子是一理想模型§3-1 弹簧振子和简谐振动弹簧振子质点所受的沿位移方向的合外力与位移成正比且反向。（胡克
定律）特征方程 (动力学特征)凡是物体受的沿位移方向的合外力力跟位移成正比方向相反的运动，叫做简谐运动。此力称线性回复力。§3-1
弹簧振子和简谐振动二、简谐运动的运动学特征 1、简谐运动的运动方程运动学特征(微分方程)解出位移根据凡是以时间的正弦或余弦函数
表示位移的运动，叫做简谐运动。§3-1 弹簧振子和简谐振动上述微分方程称为简谐振动微分方程,其数学解描述了弹簧振子的位移与时间之间
的关系,称为简谐运动方程. 许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描述的运动其位移与时间的关系均可以用运动方程来
描述.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描述. 它们也统称谐振子. §3-1 弹簧振子和简谐振动 物体的加速度
与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦（正弦）规律变化。 简谐振动的运动学特征 简谐振动的判断根据力 根据加速度根据位移 §3-
1 弹簧振子和简谐振动 综上所述：2、速度、加速度 简谐运动方程指出了位移与时间的关系.对位移进行一次微分可以得到在该位移处的
速度, 进行两次微分可以得到在该点的加速度. 速度加速度§3-1 弹簧振子和简谐振动三、描述简谐运动的物理量 1、振幅A（ampl
itude） 按简谐运动方程x=Acos(?t+?),其中余弦函数的绝对值不可能大于1,因此物体的最大位移不可能大于A。振动物
体离开平衡位置最大位移的绝对值A,称为振幅。它是表示简谐振动强弱的物理量,由振动系统和初始条件共同决定。§3-1 弹簧振子和简谐振
动T（period） 振动质点完成一次全振动所需要的时间,按此定义有 x =Acos(?t+?)=Acos(?t+? +
2?) = Acos[?(t + 2? /?)+? ] T=2?/??（frequency）
振动质点在单位时间内完成全振动的次数,等于周期的倒数,用?表示,则有 ? =1/T=? / 2?§3-1 弹簧振子和简谐
振动2、周期T、频率? ?也叫做圆频率（angular frequency）,是频率的2? 倍,其量纲(rad/s)和角速度相
同。 角频率? (Angular frequency) 物体在2?秒内所作的全振动的次数。 弹簧振子：m ___ 振动质
点的质量,k ___ 劲度系数 ? 2=k/m§3-1 弹簧振子和简谐振动 单摆： k=mg/l (∵F=-mgx/l)
相（phase） ? =?t+? 决定简谐运动状态极为重要的物理量。在运动过程中每一时刻的运动状态都是通过相位反映出来的。
如：g __ 重力加速度, l __ 摆线长度3、相位、初相位和相差注意：周期和频率只和系统本身的性质有关，称为固有周期和固有频率
。§3-1 弹簧振子和简谐振动 当? t +? = 0时，x =A(最大)、v =0(最小)、
a =- ? 2A(负最大) 当? t +? =?/2时，x =0、v =-
? A、a =0 当? t +? =?时，x =-A、v =0、a =? 2A 当? t +? =3?/2时
，x =0、v =? A、a =0说明了相位不同振动物体的运动状态不同。初相?（initial phase） 式中? 是t
=0时的相,叫初相，决定t=0时刻振动质点的运动状态。§3-1 弹簧振子和简谐振动相差：即相位之差，可用于比较两个谐振动之间在振动
步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为： x1=A1cos(?t+?1) x2=A2cos(?t+?
2)相位 ? 1=?t+?1 ? 2=?t+?2则二者的相位差为： ?? =? 2－? 1 =(?t+
?2)－(?t+?1)=?2－?1 即为初相之差§3-1 弹簧振子和简谐振动 ?? = (?t+?2)－(?t
+?1)= ?2－?1 讨论：当?? = ?2－?1=±2k?(k=0.1.2.3 … )时,称为同相当?? = ?2－?1=±(
2k+1)?(k=0.1.2.3 … )时,称为反相§3-1 弹簧振子和简谐振动若?? >0时,称相位超前;即第二个振动超前第一个
振动??若?? <0时,称相位落后。即第二个振动落后第一个振动?? 注意：比较相位时要将方程换为相同函数表达式（比如同为正弦、余弦
）。§3-1 弹簧振子和简谐振动 相位差可以用来比较不同物理量变化的步调，对简谐运动,其x、v、a都随时间以相频率作同期性变化,所
以它们保持一定的相差,即相差恒定。 x=Acos(?t+?) v= - ?Asin(?t+?)=?Acos
(?t+?+?/2) a= - ?2Acos(?t+?)=?2Acos(?t+?+?)§3-1 弹簧振子和简谐振动
??v, x= (?t+?+?/2)-(?t+?)=?/2 ??a, v=?/2 ??a, x=? （反相
）速度的相位比位移的相位超前?/2，加速度的相位比速度的相位超前?/2，加速度的相位比位移的相位超前?。§3-1 弹簧振子和简谐振
动根据公式：§3-1 弹簧振子和简谐振动 常量A和?的确定§3-1 弹簧振子和简谐振动振幅、圆频率和初相位是决定振动具体位移大小和
速度大小的决定性参数,所以称为振动三要素. 单摆单摆的结构如图所示.它的受力可以用简谐振动方程描述.其运动可以用简谐运动方程表示,
是谐振子的一种.单摆设方程形式与弹簧振子振动方程一样,所以运动的数学描述也与弹簧振子相同.并将变量改变为x,则方程变化为简谐运动
方程的求解设弹簧振子如下图所示,用外力将物块拉到距平衡位置 x=6cm 处,然后撤掉外力,以撤掉外力的时刻为计时起点,求该振动的运
动方程.设物块质量m=0.02kg,弹簧劲度系数k=0.02?2N·m-1.§3-1 弹簧振子和简谐振动解：以x轴向右为正方向建立
坐标系,由题给定条件,系统的运动为一简谐运动,其运动方程为解出简谐运动三个要素就可以得到该系统的运动方程.由?定义有§3-1 弹簧
振子和简谐振动代入以上结果,求出该弹簧振子简谐运动方程为从已给条件知道,系统在撤去外力后的最大位移为6cm,而在系统运动过程中不再
有外力作用在系统,所以该简谐运动振幅为A=0.06m.从已知条件可知,在t=0时,x=6.0cm,即代入A=0.06,有cos?
=1, ? =0SI§3-1 弹簧振子和简谐振动例一作简谐振动的物体,其振幅为6cm,若t=0时刻,其位移为3cm,且向正方向运动
,则其初位相为?解:由可得解得由可知求解简谐运动方程的一般过程：根据题意确认振动过程为简谐运动. 建立适合求解的坐标系. 根据已给
条件求出振幅与圆频率. 根据初始位置和初始速度求出初相位. 将得到的各参数带入运动方程通解得到适合题意的特解. §3-1 弹簧振子
和简谐振动§3-2 简谐运动方程的图像表达1、简谐振动图像复摆运动方程: 均为时间的余弦或正弦函数，是周期性函数如果以位移
为横坐标,以质点在该位移处的速度为纵坐标绘图,这种图称为相图.相图反映了速度与位移的关系.这两种图形都是振动研究中常用的图形.注意
：曲线的闭合性说明了谐振子系统能量守恒. 2、 简谐振动的能量 以水平弹簧振子为例，来讨论振动系统的能量. 质量为m 的振子
在t 时刻的动能为系统的势能为系统的总能量为可解得解:联立二式可得所以例 已知一个1Kg的物体作周期为0.5s的谐振动,它的能量
为2π2 J,则其振幅为?3、 简谐振动的旋转矢量表示 简谐振动除了用运动学方程（振动方程）和位移时间曲线（振动曲线）来表示以外，还可以用旋转矢量表示. 这种几何图示法可以帮助我们形象直观理解简谐振动中的三要素.简谐振动的振幅上式恰好是沿ox 轴作简谐振动的物体在t 时刻相对于原点的位移. 所以简谐振动可以用旋转矢量表示.简谐振动圆频率A ←→ 振幅w ←→ 圆频率j ←→ 初相位 wt+j ←→ 相位预习要求：1、简谐振动的合成；简谐振动的分解；2、简谐波 作业：习题3-1~3-4小结：谢 谢！本次课结束 |
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