五类解三角形题型
解三角形问题一般分为五类 ：
类型 1 ： 三角形面积最值问题 ；
类型 2 ： 三角形周长定值及最值 ；
类型 3 ： 三角形涉及中线长问题 ；
类型 4 ： 三角形涉及角平分线问题 ；
类型 5 ： 三角形涉及长度最值问题 。
类型 1 ： 面积最值问题
技巧 ： 正规方法 ： 面积公式 + 基本不等式
1
2
S = a b sin C
c
2 2 2
2
① ? ? a +b = 2a b co s C + c ≥ 2a b ? a b ≤
2 2 2
? ?
2 ? 1 ? co s C
a +b ? c = 2a b co s C
1
2
S = a c sin B
b
2 2 2
2
?
② ? a +c = 2a c co s B + b ≥ 2a c ? a c ≤
2 2 2
? ?
2 ? 1 ? co s B
a +c ? b = 2a c co s B
1
2
S = b c sin A
a
2 2 2
2
③ ? ? b +c = 2b c co s A + a ≥ 2b c ? b c ≤
2 2 2
? ?
2 1 ? co s A
b + c ? a = 2b c co s A ?
秒杀方法 ：
在 ΔA BC 中 ， 已知 B = θ ， A C = x
2
A B + BC
?
m a x
则 ： S = ? sin B
ΔA BC m a x
8
2 2 x
其中 A B + BC = 2R ? m +n +2mn co s θ m ,n 分别是 BA 、 BC 的系数 2R =
?
m a x
sin θ
面积最值问题专项练习
2 2 2
1 △A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ,b,c ， c = 2 ? a co s C - b ， c +a = b + 3 a c ， b = 2 .
( 1) 求 A ；
π
( 2) 若 M ,N 在线段 BC 上且和 B ,C 都不重合 ， ∠M A N = ， 求 △ A M N 面积的取值范围.
3
1
?
?
?
?
?
?2 已知 △ A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 若 3 c sin B = a - b co s C .
( 1) 求 B ；
? ?? ? ??
( 2) 若 D C = A D ， BD = 2 ， 求 △A BC 的面积的最大值.
3 在 △ A BC 中 ， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边 ， 且 2a sin A = 2b - c sin B + c 2sin C - sin B ．
? ?
( 1) 求 A ；
( 2) 点 D 在边 BC 上 ， 且 BD = 3D C ， A D = 4 ， 求 △A BC 面积的最大值．
2 2 2
4 △A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 c = 2 a co s C - b ， c +a = b + 3 a c ， b = 2．
?
( 1) 求 A ；
π
( 2) 若 M 是直线 BC 外一点 ， ∠BM C = ， 求 △BM C 面积的最大值．
3
2
?
? ?5 在 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 对边分别为 a ， b ， c ， (sin A + sin B ) (a - b) = c(sin C - sin B ) ， D 为 BC 边
上一点 ， A D 平分 ∠BA C ,A D = 2．
( 1) 求角 A ；
( 2) 求 △A BC 面积的最小值．
? ? ? ? π
6 在① m = 2a - c,b ， n = co s C , co s B ， m ? n ； ② b sin A = a co s B - ； ③ a + b a - b =
? ? ? ?
?
6
a - c c 三个条件中任选一个 ， 补充在下面的问题中 ， 并解决该问题．在 △A BC 中 ， 内角 A,B ,C 的对边分
?
别是 a,b,c ， 且满足 ．注 ： 如果选择多个条件分别解答 ， 按第一个解答计分．
( 1) 求角 B ；
( 2) 若 b = 2 ， 求 △A BC 面积的最大值．
类型 2 ： 三角形周长定值及最值
类型一 ： 已知一角与两边乘积模型
第一步 ： 求两边乘积
第二步 ： 利用余弦定理求出两边之和
类型二 ： 已知一角与三角等量模型
第一步 ： 求三角各自的大小
第二步 ： 利用正弦定理求出三边的长度
3
?
?
? ? ? ?最值步骤如下 ：
第一步 ： 先表示出周长 l = a + b + c
第二步 ： 利用正弦定理 a = 2R sin A,b = 2R sin B ,c = 2R sin C 将边化为角
第三步 ： 多角化一角 + 辅助角公式 ， 转化为三角函数求最值
周长定值及最值问题专项练习
? ? ? ? ? ? ? ? ?
7 在锐角三角形 △A BC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， C D 为 C A 在 C B 方向上的投影向量 ， 且
? ? ?
满足 2c sin B = 5 C D .
?
( 1) 求 co s C 的值 ；
( 2) 若 b = 3 ， a = 3c co s B ， 求 △A BC 的周长.
8 如图 ， 在梯形 A BC D 中 ， A B ? C D ， ∠D = 60 °．
( 1) 若 A C = 3 ， 求 △A C D 周长的最大值 ；
(2) 若 C D = 2A B ， ∠BC D = 75 ° ， 求 t a n ∠D A C 的值．
4
?3
9 已知 △ A BC 的面积为 S ， 角 A,B ,C 所对的边为 a,b,c．点 O 为 △A BC 的内心 ， b = 2 3 且 S =
4
2 2 2
( a +c -b ) ．
( 1) 求 B 的大小 ；
( 2) 求 △A O C 的周长的取值范围．
sin A - sin B sin C
10 在锐角 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c ， 已知 = ．
a + b
3 a - c
( 1) 求角 B 的值 ；
( 2) 若 a = 2 ， 求 △A BC 的周长的取值范围．
11 在 △ A BC 中 ， 角 A,B ,C 的对边分别是 a,b,c ， a - c a + c + b b - a = 0．
? ? ?
( 1) 求 C ；
3
( 2) 若 c = 3 ， △A BC 的面积是 ， 求 △A BC 的周长．
2
5
? ? ?类型 3 ： 三角形涉及中线长问题
① 中线长定理 ： ( 两次余弦定理推导可得 ) + ( 一次大三角形一次中线所在三角形 + 同余弦值 )
如 ： 在 ΔA BC 与 ΔA BD 同用 co s B 求 A D
2 2
A B +A C 2 2
= A D +C D
2
②中线长常用方法
co s ∠A D B + co s ∠A D C = 0
③已知 A B + A C ， 求 A D 的范围
∵ A B + A C 为定值 ， 故满足椭圆的第一定义
∴ 半短轴 ≤ A D ＜半长轴
三角形涉及中线长问题专项练习
12 在 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 b = 7 ， c = 5.
7
( 1) 若 sin B = ， 求 co s C 的值 ；
8
(2) 若 BC 边上的中线长为 21 ， 求 a 的值.
613 在 △ A BC 中 ， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 已知 a = 2 ,b = 5 ,c = 1．
( 1) 求 sin A,sin B ,sin C 中的最大值 ；
( 2) 求 A C 边上的中线长．
14 在 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且满足 3 b sin A = a co s B + a .
( 1) 求角 B 的值 ；
( 2) 若 c = 8 ， △A BC 的面积为 20 3 ， 求 BC 边上中线 A D 的长.
15 如图 ， 在 △A BC 中 ， 内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c．已知 b = 3 ， c = 6 ， sin 2 C = sin B ， 且 A D
为 BC 边上的中线 ， A E 为 ∠BA C 的角平分线．
( 1) 求 co s C 及线段 BC 的长 ；
( 2) 求 △A D E 的面积．
72π
16 在 △ A BC 中 ， ∠A = ， A C = 2 3 ， 点 D 在 A B 上 ， C D = 3 2 .
3
( 1) 若 C D 为中线 ， 求 △A BC 的面积 ；
(2) 若 C D 平分 ∠A C B ， 求 BC 的长.
B + C 1
17 在① 3 b = a ? sin C + 3 co s C ； ② a sin C = c sin ； ③ a co s C + c = b ， 这三个条件中任选一
2 2
个 ， 补充在下面问题中 ， 然后解答补充完整的题目 . 在 △A BC 中 ， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c. 已知
.
( 1) 求角 A ；
( 2) 若 b = 1 ， c = 3 ， 求 BC 边上的中线 A D 的长.
注 ： 若选择多个条件分别进行解答 ， 则按第一个解答进行计分 .
类型 4 ： 三角形涉及角平分线问题
张角定理
如图 ， 在 ΔA BC 中 ， D 为 BC 边上一点 ， 连接 A D , 设 A D = l ， ∠BA D = α, ∠ C A D = β
sin ? α + β sin β
sin α
则一定有 = +
l b c
8
?
?三角形涉及角平分线问题专项练习
18 设 a ， b ， c 分别是 △ A BC 的内角 A ， B ， C 的对边 ， sin B - sin C b = a - c sin A + sin C ．
? ? ?
( 1) 求角 A 的大小 ；
( 2) 从下面两个问题中任选一个作答 ， 两个都作答则按第一个记分．
①设角 A 的角平分线交 BC 边于点 D ， 且 A D = 1 ， 求 △A BC 面积的最小值．
②设点 D 为 BC 边上的中点 ， 且 A D = 1 ， 求 △A BC 面积的最大值．
3 3
19 在锐角三角形 A BC 中 ， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 c sin B + b co s A + B = b.
?
3 3
( 1) 求角 C 的大小 ；
( 2) 若 c = 3 ， 角 A 与角 B 的内角平分线相交于点 D ， 求 △A BD 面积的取值范围.
20 已知 △A BC 的三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 满足 ? b co s C + c co s B sin B + 3 b co s A =
0 .
( 1) 求 A ；
( 2) 若 c = 2 ， a = 2 3 ， 角 B 的角平分线交边 A C 于点 D ， 求 BD 的长.
9
?
?
? ? ?21 已知 △A BC 的内角 A ,B ,C 的对应边分别为 a,b,c ， 且有 3 co s A ? c co s B + b co s C + a sin A = 0．
( 1) 求 A ；
2
( 2) 设 A D 是 △ A BC 的内角平分线 ， 边 b ， c 的长度是方程 x -6x + 4 = 0 的两根 ， 求线段 A D 的长度．
2 3
2 2 2
22 在① b sin B + c sin C = b sin C + a sin A ； ② co s C + sin B sin C = sin B + co s A ； ③ 2b =
?
3
2a co s C + c 这三个条件中任选一个 ， 补充在下面的问题中并作答 .
在 △A BC 中 ， 内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 △A BC 外接圆的半径为 1 ， 且 .
( 1) 求角 A ；
( 2) 若 A C = 2 ， A D 是 △A BC 的内角平分线 ， 求 A D 的长度.
注 ： 如果选择多个条件分别解答 ， 按第一个解答计分 .
类型 5 ： 三角形涉及长度最值问题
秒杀 ： 解三角形中最值或范围问题 ， 通常涉及与边长
常用处理思路 ： ① 余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案 ；
② 采用正弦定理边化角 ， 利用三角函数的范围求出最值或范围 ， 如果三角形为锐角三角形 ， 或其他的限制 ， 通
常采用这种方法 ；
③ 巧妙利用三角换元 ， 实现边化角 ， 进而转化为正弦或余弦函数求出最值
1 0
?
?三角形涉及长度最值问题专项练习
3
2 2 2
23 设 △ A BC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ， 已知 △A BC 的面积为 c -a -b ．
?
4
( 1) 求 C ；
A D
( 2) 延长 BC 至 D , 使 BD = 3BC ， 若 b = 2 ， 求 的最小值．
A B
1
2 2
24 在 △ A BC 中 ， 内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c ， 且 a -b = a c co s B - b c
2
( 1) 求 A ；
? ?? ? ? ?
( 2) 若 a = 6 ， 2BD = D C ， 求线段 A D 长的最大值.
π
25 锐角 △A BC 中 ， A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 sin C = 2co s A sin B + .
?
3
( 1) 求 A ；
( 2) 若 b + c = 6 ， 求 BC 边上的高 A D 长的最大值.
1 1
?
?26 在 △ A BC 中 ， 角 A,B ,C 的对边分别是 a ， b ， c ， a sin ? B + C = ? b - c sin B + c sin C .
( 1) 求 A ；
( 2) 若 D 在 BC 上 ， a = 2 ， 且 A D ⊥ BC ， 求 A D 的最大值.
3
2
27 记 △ A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 △A BC 的面积为 b ．
1 2
π sin B
( 1) 若 A = ， 求 ；
6
sin C
2 2
a +c
(2) 求 的最大值．
a c
1 2
? ? |
|
