线性一阶微分方程组
在第3.3节、第4.9节和第7.6节中,我们遇到了常微分方程组,并能够使用系统消元或拉普拉斯变换来解决一些方程组。在本章中,我们仅关注线性一阶微分方程组。我们将看到,线性微分方程组的一般理论和解法与第4章中考虑的线性高阶方程类似。这些内容对于第10章中非线性一阶方程组的分析是基础。
初步理论——线性系统介绍: 回想一下,在第4.9节中,我们演示了如何解决形式为 这样的个未知数的个线性微分方程组。其中是微分算子的不同次数的多项式。在本章中,我们将研究一阶微分方程组的系统,这些系统是具有正常形式的特殊情况,即 这样的个一阶方程组称为一阶系统。 线性系统 当(2)式中的每个函数在依赖变量上是线性的时候,我们得到了一阶线性方程组的标准形式: 我们将形式为(3)的系统简称为线性系统。我们假设系数以及函数在一个公共区间上连续。当时,线性系统(3)被称为齐次的;否则,它是非齐次的。 线性系统的矩阵形式 如果和分别表示矩阵 那么,线性一阶微分方程组(3)可以写成: 或简写为 如果该系统是齐次的,其矩阵形式为 例1 矩阵表示的系统(a) 如果 ,则齐次线性系统的矩阵形式为 (b) 如果 ,则非齐次线性系统的矩阵形式为 定义 8.1.1 解向量在区间 上的解向量是任意的列矩阵 其每一项是满足区间上系统 (4) 的可微函数。 显然,(4) 的解向量等价于 个标量方程 ,在几何上可以解释为空间曲线的参数方程组。在重要的 的情况下,方程 表示 平面上的曲线。通常习惯将平面上的曲线称为轨迹,将 平面称为相平面。我们将在下一节回顾这些概念并加以说明。 例2 解的验证验证在区间上, 是 的解。 解:由和,我们可以看出
初值问题:设是区间中的一个数,且 其中是给定常数。则问题 是定义区间上的一个初值问题。 定理8.1.1 唯一解的存在性
齐次系统 在接下来的几个定义和定理中,我们只关注齐次系统。虽然没有明确说明,但我们总是假设和是在某个公共区间上关于的连续函数。 叠加原理 下面的结果是线性系统解的叠加原理。 定理8.1.2 叠加原理
根据定理8.1.2,对于齐次线性一阶微分方程组的任何解向量,它的常数倍也是一个解。 例3 使用叠加原理你应该通过验证以下两个向量 是方程组 的解。 根据叠加原理,线性组合 也是该方程组的解。 线性相关和线性无关 我们主要关注齐次方程组(5)的线性无关解。 定义8.1.2 线性相关/无关设 是齐次方程组(5)在区间 上的一组解向量。如果存在不全为零的常数 ,使得对于区间中的每个 , 则称该向量组在该区间上线性相关。如果该向量组在该区间上不是线性相关的,则称其为线性无关的。 当时的情况应该是清楚的;如果一个解向量 和是线性相关的,那么其中一个是另一个的常数倍,反之亦然。对于,如果我们能够将至少一个解向量表示为其余向量的线性组合,则解向量的集合是线性相关的。 WRONSKIAN( 朗斯基矩阵) 正如我们之前对单个常微分方程理论的考虑,我们可以引入Wronskian行列式的概念作为线性独立性的检验。我们在这里陈述以下定理,不给出证明。 定理 8.1.3 线性独立解的判据设 个解向量是齐次系统(5)在区间上的解。当且仅当Wronskian 对于区间中的每个成立时,解向量的集合在上线性无关。 可以证明,如果是(5)的解向量,则对于中的每个,要么 ,要么。因此,如果我们可以证明在中存在某个使得,那么对于每个,,因此解在该区间上线性无关。
例4 线性无关解在例2中,我们看到和是例题2的解。显然,和在区间上线性无关,因为两个向量都不是另一个的常数倍。此外,我们有 对于所有实数成立。 定义 8.1.3 基本解集
定理 8.1.4 存在基本解集
定理 8.1.5 通解——齐次系统设 是齐次系统(5)在区间 上的一个基本解集。那么系统在该区间上的通解为 其中 是任意常数。 例5 例题2的通解从例2中我们知道 和 是(6)在上的线性无关解。因此, 和 在该区间上形成了一组基本解集。该齐次系统在该区间上的通解为 例6 例题3的通解向量 是在例3中的解(。现在 对于所有实数。我们得出结论, , 和 在 上形成了一组基本解集。因此,在该区间上的齐次系统的通解是线性组合,即 非齐次系统 对于非齐次系统,定义在区间上的一个特解是任何一个不含任意参数的向量,其分量函数满足系统(4)。 定理8.1.6 通解——非齐次系统设是非齐次系统(4)在区间上的一个特解,表示相应齐次系统(5)在同一区间上的一般解。那么非齐次系统在该区间上的一般解为。 相应齐次系统(5)的一般解被称为非齐次系统(4)的补解。 例7 非齐次系统的通解向量 是非齐次系统的一个特解,该系统表示为 在区间 上成立。(验证一下)根据例5,在相同区间上,方程 的齐次解或通解为 。因此,根据定理8.1.6,非齐次系统(11) 的通解为 在区间 上成立。 |
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