求数列通项公式的十一种方法 一、累加法 1.适用于: a ? a ? f (n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 n?1 n 2.若 a ? a ? f (n) (n ? 2),则 n?1 n a ? a ? f (1) 2 1 a ? a ? f (2) 3 2 ? ? a ? a ? f (n) n?1 n n 两边分别相加得 a ? a ? f (n) n?1 1 ? k ?1 例 1 已知数列{a }满足 a ? a ? 2n ?1,a ?1,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n 解:由 a ? a ? 2n ?1得 a ? a ? 2n ?1则 n?1 n n?1 n a ? (a ? a ) ? (a ? a ) ??? (a ? a ) ? (a ? a ) ? a n n n?1 n?1 n?2 3 2 2 1 1 ? [2(n ?1) ?1]?[2(n ? 2) ?1]??? (2? 2 ?1) ? (2?1?1) ?1 ? 2[(n ?1) ? (n ? 2) ??? 2 ?1]? (n ?1) ?1 (n ?1)n ? 2 ? (n ?1) ?1 2 ? (n ?1)(n ?1) ?1 2 ? n 2 所以数列{a }的通项公式为 a ? n 。 n n n 例 2 已知数列{a }满足 a ? a ? 2?3 ?1,a ? 3,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n n n 解法一:由 a ? a ? 2?3 ?1得 a ? a ? 2?3 ?1则 n?1 n n?1 na ? (a ? a ) ? (a ? a ) ??? (a ? a ) ? (a ? a ) ? a n n n?1 n?1 n?2 3 2 2 1 1 n?1 n?2 2 1 ? (2?3 ?1) ? (2?3 ?1) ??? (2?3 ?1) ? (2?3 ?1) ? 3 n?1 n?2 2 1 ? 2(3 ? 3 ??? 3 ? 3 ) ? (n ?1) ? 3 n?1 3(1? 3 ) ? 2 ? (n ?1) ? 3 1? 3 n ? 3 ? 3? n ?1? 3 n ? 3 ? n ?1 n 所以 a ? 3 ? n ?1. n a a 2 1 n n?1 n?1 n 解法二: a ? 3a ? 2?3 ?1两边除以3 ,得 ? ? ? , n?1 n n?1 n n?1 3 3 3 3 a a 2 1 n?1 n 则 ? ? ? ,故 n?1 n n?1 3 3 3 3 a a a a a a a a a a n n n?1 n?1 n?2 n?2 n?3 2 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? n n n?2 n?2 n?3 2 1 3 3 a a 3 3 3 3 3 3 n?1 n?1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? n n?1 n?2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2(n ?1) 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ? ? ??? ) ?1 n n n?1 n?2 2 3 3 3 3 3 3 1 n?1 (1? 3 ) n a 2(n ?1) 2n 1 1 n 3 因此 ? ? ?1 ? ? ? , n n 3 3 1? 3 3 2 2?3 2 1 1 n n 则 a ? ? n?3 ? ?3 ? . n 3 2 2
练 习 1. 已 知 数 列 a 的 首 项 为 1 , 且 a ? a ? 2n(n ? N )写 出 数 列 a 的 通 项 公 式 . ? ? ? ? n n?1 n n 2 答案: n ? n ?1 1 练 习 2. 已 知 数 列 {a }满 足 a ? 3, a ? a ? (n ? 2), 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . n 1 n n?1 n(n ?1) 1 答案:裂项求和 a ? 2 ? n n 评注:已知 a ? a , a ? a ? f (n),其中 f(n)可以是关于 n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通 1 n?1 n a n 项 . ①若 f(n)是关于 n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n的分式函数,累加后可裂项求和。 1 n 例 3.已知数列{a }中, a ? 0且 S ? (a ? ) ,求数列{a }的通项公式. n n n n n 2 a n 1 n 1 n 解:由已知 S ? (a ? )得 S ? (S ? S ? ) , n n n n n?1 2 a 2 S ? S n n n?1 2 2 2 2 化简有 S ? S ? n ,由类型(1)有 S ? S ? 2 ? 3 ??? n , n n?1 n 1 n(n ?1) 2n(n ?1) 2 又 S ? a 得 a ?1,所以 S ? ,又 a ? 0 , s ? , 1 1 1 n n n 2 2 2n(n ?1) ? 2n(n ?1) 则 a ? n 2 此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法 1.适用于: a ? f (n)a ----------这是广义的等比数列 n?1 n 累乘法是最基本的二个方法之二。 a a a a n?1 2 3 n?1 2.若 ? f (n),则 ? f (1), ? f (2), ??, ? f (n) a a a a n 1 2 n n a n?1 两边分别相乘得, ? a ? f (k) 1 ? a k ?1 1 n 例 4 已知数列{a }满足 a ? 2(n ?1)5 ? a,a ? 3,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n a n n n?1 解:因为 a ? 2(n ?1)5 ? a,a ? 3,所以 a ? 0,则 ? 2(n ?1)5 ,故 n?1 n 1 n a n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 a a a a n n?1 3 2 a ? ? ??? ? ?a n 1 a a a a n?1 n?2 2 1 n?1 n?2 2 1 ? [2(n ?1?1)5 ][2(n ? 2 ?1)5 ]???[2(2 ?1)?5 ][2(1?1)?5 ]?3 n?1 (n?1)?(n?2)???2?1 ? 2 [n(n ?1)???3? 2]?5 ?3 n(n?1) n?1 2 ? 3? 2 ?5 ? n! n(n?1) n?1 2 所以数列{a }的通项公式为 a ? 3? 2 ?5 ? n!. n n 2 2 a n n ?a ? 例 5.设 是首项为 1的正项数列,且 ?n ?1?a ? na ? a a ? 0( =1,2, 3,…),则它的通项公式是 n n?1 n n?1 n =________. 解:已知等式可化为: (a ? a )?(n ?1)a ? na ?? 0 n?1 n n?1 n
a n n?1 n? N ? ? a ? 0 ( ) (n+1) a ? na ? 0 , 即 ? n n?1 n a n ?1 n a n ?1 n n ? 2 ? 时, ? a n n?1 a a a n ?1 n ? 2 1 1 n n?1 2 ? a ? ? ??? ?a = ? ?? ?1 = . n 1 a a a n n ?1 2 n n?1 n?2 1 评注:本题是关于 a 和 a 的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到 a 与 a 的更为明 n n?1 n n?1 显的关系式,从而求出 a . n 练习.已知 a ? na ? n ?1,a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式. n?1 n 1 答案: a ? (n ?1)!?(a ?1) -1. n 1 评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 a ? na ? n ?1,转化为 n?1 n a ?1 ? n(a ?1),若令b ? a ?1,则问题进一步转化为b ? nb 形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式. n?1 n n n n?1 n 三、待定系数法 适用于 a ? qa ? f (n) n?1 n 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 1.形如 a ? ca ? d,(c ? 0 ,其中 a ? a )型 n?1 n 1 (1)若 c=1时,数列{ a }为等差数列; n (2)若 d=0时,数列{ a }为等比数列; n (3)若 c ? 1且d ? 0时,数列{ a }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. n 待定系数法:设 a ? ? ? c(a ? ?) , n?1 n 得 a ? ca ? (c ?1)? ,与题设 a ? ca ? d,比较系数得 n?1 n n?1 n d d d (c ?1)? ? d ,所以 ? ? ,(c ? 0)所以有: a ? ? c(a ? ) n n?1 c ?1 c ?1 c ?1 d ? d ? 因此数列 a ? 构成以 a ? 为首项,以 c为公比的等比数列, ? ? n 1 c ?1 c ?1 ? ? d d d d n?1 n?1 所以 a ? ? (a ? )?c 即: a ? (a ? )?c ? . n 1 n 1 c ?1 c ?1 c ?1 c ?1 d d d 规律:将递推关系 a ? ca ? d 化为 a ? ? c(a ? ) ,构造成公比为 c的等比数列{a ? }从而求得 n?1 n n?1 n n c ?1 c ?1 c ?1 d d n?1 通项公式 a ? ? c (a ? ) n?1 1 1? c c ?1 逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系 a ? ca ? d 中把 n 换成 n-1 有 a ? ca ? d ,两式相减有 n?1 n n n?1 n a ? a ? c(a ? a )从而化为公比为 c 的等比数列{a ? a },进而求得通项公式. a ? a ? c (a ? a ) ,再利用 n?1 n n n?1 n?1 n n?1 n 2 1 类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 例 6已知数列{a }中, a ?1,a ? 2a ?1(n ? 2),求数列 a 的通项公式。 ? ? n 1 n n?1 n 解法一:?a ? 2a ?1(n ? 2), ?a ?1 ? 2(a ?1) n n?1 n n?1 n n 又?a ?1 ? 2,? a ?1 是首项为 2,公比为 2 的等比数列 ?a ?1 ? 2 ,即 a ? 2 ?1 ? ? 1 n n n 解法二:?a ? 2a ?1(n ? 2), ?a ? 2a ?1 n n?1 n?1 n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 两式相减得 a ? a ? 2(a ? a )(n ? 2),故数列 a ? a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,再用累加 ? ? n?1 n n n?1 n?1 n 法的…… 1 1 {a } n 练习.已知数列 中, a ? 2,a ? a ? ,求通项 a 。 1 n?1 n n 2 2 1 n?1 答案: a ? ( ) ?1 n 2 n ? 2.形如: a ? p ? a ? q (其中 q是常数,且 n 0,1) n?1 n n ①若 p=1时,即: a ? a ? q ,累加即可. n?1 n n ②若 p ? 1时,即: a ? p ? a ? q , n?1 n n?1 求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 p .目的是把所求数列构造成等差数列 a a 1 p a 1 p n n n?1 n n 即 ? ? ?( ) ,令b ? ,则b ? b ? ?( ) ,然后类型 1,累加求通项. n n?1 n n?1 n n p q p q p p q n?1 ii.两边同除以 q . 目的是把所求数列构造成等差数列。 a p a 1 n?1 n 即: ? ? ? , n?1 n q q q q a p 1 n 令b ? ,则可化为b ? ?b ? .然后转化为类型 5来解, n n?1 n n q q q iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列 n?1 n ? 设 a ?? ?q ? p(a ? ? ? p ) .通过比较系数,求出 ,转化为等比数列求通项. n?1 n ? 注意:应用待定系数法时,要求 p q,否则待定系数法会失效。 n?1 例 7已知数列{a }满足 a ? 2a ? 4?3 ,a ?1,求数列 a 的通项公式。 ? ? n n?1 n 1 n n n?1 解法一(待定系数法):设 a ? ? 3 ? ? (a ? ? ?3 ),比较系数得 ? ? ?4,? ? 2, n?1 1 2 n 1 2 n?1 1?1 则数列 a ? 4?3 是首项为 a ? 4?3 ? ?5,公比为 2的等比数列, ? ? n 1 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 n?1 n?1 n?1 n?1 a ? 4?3 ? ?5?2 a ? 4?3 ? 5?2 n n 所以 ,即 a 2 a 4 n?1 n?1 n?1 n 解法二(两边同除以 q ): 两边同时除以3 得: ? ? ? ,下面解法略 n?1 n 2 3 3 3 3 a a 4 3 n?1 n?1 n n?1 n 解法三(两边同除以 p ): 两边同时除以 2 得: ? ? ?( ) ,下面解法略 n?1 n 2 2 3 2 n?1 练习.设 a 为常数,且 a ? 3 ? 2a (n? N). 0 n n?1 1 n n?1 n n n n 证明对任意 ≥1, a ? [3 ? (?1) ? 2 ]? (?1) ? 2 a ; n 0 5 3.形如 a ? pa ? kn ? b (其中 k,b是常数,且 k ? 0 ) n?1 n 方法 1:逐项相减法(阶差法) 方法 2:待定系数法 通过凑配可转化为 (a ? xn ? y) ? p(a ? x(n ?1) ? y) ; n n?1 解题基本步骤: 1、确定 f (n) =kn+b 2、设等比数列b ? (a ? xn ? y),公比为 p n n 3、列出关系式 (a ? xn ? y) ? p(a ? x(n ?1) ? y) ,即b ? pb n n?1 n n?1 4、比较系数求 x,y 5、解得数列 (a ? xn ? y)的通项公式 n 6、解得数列 a 的通项公式 ? ? n 例 8 在数列{a }中, a ?1,a ? 3a ? 2n,求通项 a .(逐项相减法) n 1 n?1 n n ? 解: , a ? 3a ? 2n, ① n?1 n ? n ? 2时, a ? 3a ? 2(n ?1), n n?1 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 a ? a ? 3(a ? a ) ? 2 b ? a ? a b ? 3b ? 2 n?1 n n n?1 n n?1 n n n?1 两式相减得 .令 ,则 n?1 n?1 b ? 5 ? 3 ? 2 a ? a ? 5 ? 3 ?1 n n?1 n 利用类型 5的方法知 即 ② 5 1 5 1 n?1 n?1 再由累加法可得 a ? ?3 ? n ? . 亦可联立①②解出 a ? ?3 ? n ? . n n 2 2 2 2 3 例 9. 在数列{ a }中, a ? ,2a ? a ? 6n ? 3,求通项 a .(待定系数法) n 1 n n?1 n 2 解:原递推式可化为 2(a ? xn ? y) ? a ? x(n ?1) ? ? y n n?1 比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 2b ? b n n?1 9 1 9 1 n?1 ? ? 所以 b 是一个等比数列,首项b ? a ? 6n ? 9 ? ,公比为 . ?b ? ( ) n 1 1 n 2 2 2 2 1 n 即: a ? 6n ? 9 ? 9?( ) n 2 1 n 故 a ? 9?( ) ? 6n ? 9 . n 2 2 a ? 0 4.形如 a ? pa ? a ? n ? b ?n ? c (其中 a,b,c是常数,且 ) n?1 n 基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。 2 例 10 已知数列{a }满足 a ? 2a ? 3n ? 4n ? 5,a ?1,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n 2 2 解:设 a ? x(n ?1) ? y(n ?1) ? z ? 2(a ? xn ? yn ? z) n?1 n 比较系数得 x ? 3, y ?10, z ?18, 2 2 所以 a ? 3(n ?1) ?10(n ?1) ?18 ? 2(a ? 3n ?10n ?18) n?1 n 2 2 由 a ? 3?1 ?10?1?18 ?1? 31 ? 32 ? 0,得 a ? 3n ?10n ?18 ? 0 1 n 2 a ? 3(n ?1) ?10(n ?1) ?18 2 2 n?1 则 ? 2,故数列{a ? 3n ?10n ?18}为以 a ? 3?1 ?10?1?18 ?1? 31 ? 32为首项, n 1 2 a ? 3n ?10n ?18 n 2 n?1 n?4 2 以 2为公比的等比数列,因此 a ? 3n ?10n ?18 ? 32? 2 ,则 a ? 2 ? 3n ?10n ?18。 n n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 5.形如 a ? pa ? qa 时将 a 作为 f (n)求解 n?2 n?1 n n 分析:原递推式可化为 a ? ?a ? ( p ? ?)(a ? ?a ) 的形式,比较系数可求得 ? ,数列 a ? ?a 为等比数 ? ? n?2 n?1 n?1 n n?1 n 列。 例 11 已知数列{a }满足 a ? 5a ? 6a ,a ? ?1,a ? 2,求数列{a }的通项公式。 n n?2 n?1 n 1 2 n 解:设 a ? ?a ? (5 ? ?)(a ? ?a ) n?2 n?1 n?1 n 比较系数得 ? ? ?3或 ? ? ?2,不妨取 ? ? ?2,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同) 则 a ? 2a ? 3(a ? 2a ),则 a ? 2a 是首项为 4,公比为 3的等比数列 ? ? n?2 n?1 n?1 n n?1 n n?1 n?1 n?1 ?a ? 2a ? 4?3 ,所以 a ? 4?3 ? 5?2 n?1 n n 练习.数列{ a }中,若 a ? 8, a ? 2 ,且满足 a ? 4a ? 3a ? 0 ,求 a . n 1 2 n?2 n?1 n n n 答案: a ?11? 3 . n r 四、迭代法 a ? pa (其中 p,r 为常数)型 n?1 n 1 例 13.已知数列{a }的各项都是正数,且满足 : a ?1, a ? a (4 ? a ),n? N , n 0 n?1 n n 2 (1)证明 a ? a ? 2, n? N; (2)求数列{a }的通项公式 an. n n?1 n 1 1 2 2 解:(1)略(2) a ? a (4 ? a ) ? [?(a ? 2) ? 4],所以 2(a ? 2) ? ?(a ? 2) n?1 n n n n?1 n 2 2 1 1 1 1 1 2 1 n?1 n 2 2 2 2 2 1?2???2 2 令b ? a ? 2,则b ? ? b ? ? (? b ) ? ? ?( ) b ?? ? ?( ) b n n n n?1 n?2 n?1 n 2 2 2 2 2 2 1 n 1 n 2 ?1 2 ?1 又 bn=-1,所以b ? ?( ) ,即a ? 2 ? b ? 2 ? ( ) . n n n 2 2 1 2 方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法 3:设 c ? ?b ,则 c ? c ,转化为上面类型(1)来解 n n n n?1 2 r 五、对数变换法 适用于 a ? pa (其中 p,r 为常数)型 p>0, a ? 0 n?1 n n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 2 例 14. 设正项数列?a ?满足 a ?1, a ? 2a (n≥2).求数列?a ?的通项公式. n 1 n n?1 n a a a a a n n?1 n n?1 n ? ? 解:两边取对数得: log ?1? 2log , log ?1 ? 2(log ?1) ,设b ? log ?1,则b ? 2b b 是以 2 2 2 2 n 2 n n?1 n n?1 2 ?1 a n?1 n 1 n?1 n?1 a n?1 a ? 2 log ? 2 ? 1 n n 2 2 为公比的等比数列,b ? log ?1 ?1 b ?1? 2 ? 2 , log ?1 ? 2 , ,∴ 1 2 n 2 练习 数列?a ?中, a ?1, a ? 2 a (n≥2) ,求数列?a ?的通项公式. n 1 n n?1 n 2?n 2?2 答案: a ? 2 n n 5 例 15 已知数列{a }满足 a ? 2?3 ? a , a ? 7 ,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n n 5 解:因为 a ? 2?3 ? a ,a ? 7 ,所以 a ? 0,a ? 0 。 n?1 n 1 n n?1 两边取常用对数得 lg a ? 5lg a ? nlg3? lg 2 n?1 n 设 lg a ? x(n ?1) ? y ? 5(lg a ? xn ? y) (同类型四) n?1 n lg 3 lg3 lg 2 比较系数得, x ? , y ? ? 4 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 由 lg a ? ?1? ? ? lg 7 ? ?1? ? ? 0 ,得 lg a ? n ? ? ? 0 , 1 n 4 16 4 4 16 4 4 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 所以数列{lg a ? n ? ? }是以 lg 7 ? ? ? 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 n 4 16 4 4 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 n?1 lg a ? n ? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 n 4 16 4 4 16 4 lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 n?1 lg a ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n ? ? n 4 16 4 4 6 4 1 1 1 n 1 1 n?1 4 16 4 4 16 4 ? [lg(7?3 ?3 ? 2 )]5 ? lg(3 ?3 ?2 ) 1 1 1 1 n 1 n?1 5 4 16 4 4 16 4 ? lg(7?3 ?3 ?2 ) ? lg(3 ?3 ?2 ) n?1 5n?4n?1 5 ?1 5n?1 16 4 ? lg(7 ?3 ?2 ) n?1 5n?4n?1 5 ?1 n?1 5 16 4 则 a ? 7 ?3 ? 2 。 n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项 2a n 例 16 已知数列{a }满足 a ? ,a ?1,求数列{a }的通项公式。 n n?1 1 n a ? 2 n ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解:求倒数得 ? ? ,? ? ? ,? ? 为等差数列,首项 ?1,公差为 , ? ? a 2 a a a 2 a a a 2 n?1 n n?1 n ? n?1 n ? 1 1 1 2 ? ? (n ?1),?a ? n a 2 n ?1 n 七、换元法 适用于含根式的递推关系 1 例 17 已知数列{a }满足 a ? (1? 4a ? 1? 24a ),a ?1,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n n 1 n 16 1 2 解:令b ? 1? 24a ,则 a ? (b ?1) n n n n 24 1 1 1 1 2 2 代入 a ? (1? 4a ? 1? 24a ) 得 (b ?1) ? [1? 4 (b ?1) ? b ] n?1 n n n?1 n n 16 24 16 24 2 2 即 4b ? (b ? 3) n?1 n 1 3 1 因为b ? 1? 24a ? 0 , 则 2b ? b ? 3 ,即b ? b ? ,可化为b ? 3 ? (b ? 3) , n n n?1 n n?1 n n?1 n 2 2 2 1 所 以 {b ? 3}是 以 b ? 3 ? 1? 24a ? 3 ? 1? 24?1 ? 3 ? 2 为 首 项 , 以 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此 n 1 1 2 1 1 1 1 n?1 n?2 n?2 n?2 b ? 3 ? 2( ) ? ( ) ,则b ? ( ) ? 3 ,即 1? 24a ? ( ) ? 3 , n n n 2 2 2 2 2 1 1 1 n n 得 a ? ( ) ? ( ) ? 。 n 3 4 2 3 八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。 8(n ?1) 8 例 18 已知数列{a }满足 a ? a ? ,a ? ,求数列{a }的通项公式。 n n?1 n 1 n 2 2 (2n ?1) (2n ? 3) 9 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 8(n ?1) 8 解:由 a ? a ? 及 a ? ,得 n?1 n 1 2 2 (2n ?1) (2n ? 3) 9 8(1?1) 8 8? 2 24 a ? a ? ? ? ? 2 1 2 2 (2?1?1) (2?1? 3) 9 9? 25 25 8(2 ?1) 24 8?3 48 a ? a ? ? ? ? 3 2 2 2 (2? 2 ?1) (2? 2 ? 3) 25 25? 49 49 8(3?1) 48 8? 4 80 a ? a ? ? ? ? 4 3 2 2 (2?3?1) (2?3? 3) 49 49?81 81 2 (2n ?1) ?1 由此可猜测 a ? ,下面用数学归纳法证明这个结论。 n 2 (2n ?1) 2 (2?1?1) ?1 8 (1)当 n ?1时, a ? ? ,所以等式成立。 1 2 (2?1?1) 9 2 (2k ?1) ?1 (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 a ? ,则当 n ? k ?1时, k 2 (2k ?1) 2 2 8(k ?1) [(2k ?1) ?1](2k ? 3) ? 8(k ?1) a ? a ? ? k ?1 k 2 2 2 2 (2k ?1) (2k ? 3) (2k ?1) (2k ? 3) 2 2 2 2 (2k ?1) (2k ? 3) ? (2k ?1) (2k ? 3) ?1 ? ? 2 2 2 (2k ?1) (2k ? 3) (2k ? 3) 2 [2(k ?1) ?1] ?1 ? 2 [2(k ?1) ?1]
由此可知,当 n ? k ?1时等式也成立. 根据(1),(2)可知,等式对任何 n? N 都成立. 九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有 S ,又有 a n n S ,n ?1 ? 1 分析:把已知关系通过 a ? 转化为数列 a 或 S 的递推关系,然后采用相应的方法求解。 ? ? ? n n n S ? S ,n ? 2 ? n n?1 1 例 19 已知数列{a }的各项均为正数,且前 n项和 S 满足 S ? (a ?1)(a ? 2),且 a ,a ,a 成等比数列,求数列{a } n n n n n 2 4 9 n 6 的通项公式。 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 1 ? 解:∵对任意 n ? N 有 S ? (a ?1)(a ? 2) ⑴ n n n 6 1 ∴当 n=1时, S ? a ? (a ?1)(a ? 2),解得 a ?1或 a ? 2 1 1 1 1 1 1 6 1 当n≥2时, S ? (a ?1)(a ? 2) ⑵ n?1 n?1 n?1 6 ⑴-⑵整理得: (a ? a )(a ? a ? 3) ? 0 n n?1 n n?1 ∵{a }各项均为正数,∴ a ? a ? 3 n n n?1 2 当 a ?1时, a ? 3n ? 2,此时 a ? a a 成立 1 n 4 2 9 2 当 a ? 2时, a ? 3n ?1,此时 a ? a a 不成立,故 a ? 2舍去 1 n 4 2 9 1 所以 a ? 3n ? 2 n 1 2 练习。已知数列{a }中, a ? 0且 S ? (a ?1) ,求数列{a }的通项公式. n n n n n 2 2 2 答案: (a ?1) ? (a ?1) a ? 2n ?1 S ? S ? a n n?1 n n n ?1 n 2、对无穷递推数列 例 20 已知数列{a }满足 a ?1,a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2),求{a }的通项公式。 n 1 n 1 2 3 n?1 n 解:因为 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2) ① n 1 2 3 n?1 所以 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a ? na ② n?1 1 2 3 n?1 n 用②式-①式得 a ? a ? na . n?1 n n a n?1 则 a ? (n ?1)a (n ? 2) 故 ? n ?1(n ? 2) n?1 n a n a a a n! n n?1 3 所以 a ? ? ??? ?a ? [n(n ?1)???4?3]a ? a . ③ n 2 2 2 a a a 2 n?1 n?2 2 由 a ? a ? 2a ? 3a ??? (n ?1)a (n ? 2),取n ? 2得a ? a ? 2a ,则 a ? a ,又知 a ?1,则 a ?1,代入③ n 1 2 3 n?1 2 1 2 2 1 1 2 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 n! 得 a ?1?3?4?5???n ? 。 n 2 n! 所以,{a }的通项公式为 a ? . n n 2 十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比(差)数列的方法 不动点的定义:函数 f (x)的定义域为 D,若存在 f (x)x ? D,使 f (x ) ? x 成立,则称 x 为 f (x)的不动点或 0 0 0 0 称 (x , f (x ))为函数 f (x)的不动点。 0 0 分析:由 f (x) ? x求出不动点 x ,在递推公式两边同时减去 x ,在变形求解。 0 0 类型一:形如 a ? qa ? d n?1 n 例 21 已知数列{a }中, a ?1,a ? 2a ?1(n ? 2),求数列 a 的通项公式。 ? ? n 1 n n?1 n 解:递推关系是对应得递归函数为 f (x) ? 2x ?1,由 f (x) ? x得,不动点为-1 ∴ a ?1 ? 2(a ?1),…… n?1 n a ? a ? b n 类型二:形如 a ? n?1 c ? a ? d n a ? x ? b 分析:递归函数为 f (x) ? c ? x ? d a ? p a ? p n?1 n (1)若有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q,再将两式相除得 ? k ? , a ? q a ? q n?1 n n?1 a ? pc (a q ? pq)k ? (a p ? pq) 1 1 其中 k ? ,∴ a ? n n?1 a ? qc (a ? p)k ? (a ? q) 1 1 1 1 (2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用 1 除,得 ? ? k ,其中 a ? p a ? p n?1 n 2c k ? 。 a ? d 5a ? 4 n 例 22. 设数列{a }满足 a ? 2, a ? ,求数列{a }的通项公式. n 1 n?1 n 2a ? 7 n 分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数t,得: 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 7t ? 4 a ? n 5a ? 4 (2t ? 5)a ? 7t n n 2t ? 5 a ? t ? ? t ? ? (2t ? 5) , n?1 2a ? 7 2a ? 7 2a ? 7 n n n a ? t 7t ? 4 n 令t ? , 解之得 t=1,-2 代入 a ? t ? (2t ? 5) 得 n?1 2t ? 5 2a ? 7 n a ?1 a ? 2 n n a ?1 ? 3 , a ? 2 ? 9 , n?1 n?1 2a ? 7 2a ? 7 n n a ?1 1 a ?1 a ?1 a ?1 1 n?1 n n 1 相除得 ? ? ,即{ }是首项为 ? , a ? 2 3 a ? 2 a ? 2 a ? 2 4 n?1 n n 1 n?1 a ?1 1 1 4 ? 3 ? 2 n 1?n 公比为 的等比数列, = ? 3 , 解得 a ? . n n?1 3 a ? 2 4 4 ? 3 ?1 n 方法2:?, a ?1 n a ?1 ? 3 , n?1 2a ? 7 n 1 2a ? 7 2(a ?1) ? 9 2 3 n n 两边取倒数得 ? ? ? ? , a ?1 3(a ?1) 3(a ?1) 3 a ?1 n?1 n n n 1 2 令b ? ,则b ? ? 3b ,?,转化为累加法来求. n n n a ?1 3 n 21a ? 24 n 例 23 已知数列{a }满足 a ? ,a ? 4,求数列{a }的通项公式。 n n?1 1 n 4a ?1 n 21x ? 24 21x ? 24 2 解:令 x ? ,得 4x ? 20x ? 24 ? 0,则 x ? 2,x ? 3是函数 f (x) ? 的两个不动点 1 2 4x ?1 4x ?1 21a ? 24 n ? 2 a ? 2 4a ?1 21a ? 24 ? 2(4a ?1) 13a ? 26 13 a ? 2 n?1 n n n n n 因为 ? ? ? ? 21a ? 24 a ? 3 21a ? 24 ? 3(4a ?1) 9a ? 27 9 a ? 3 n n?1 n n n n ? 3 4a ?1 n ? ? a ? 2 a ? 2 4 ? 2 13 n 1 所以数列 是以 ? ? 2为首项,以 为公比的等比数列, ? ? a ? 3 a ? 3 4 ? 3 9 ? n ? 1 a ? 2 13 1 n?1 n 故 ? 2( ) ,则 a ? ? 3 n 13 a ? 3 9 n?1 n 2( ) ?1 9 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 a ? 2 n?1 练习 1:已知{a }满足 a ? 2,a ? (n ? 2),求{a }的通项 a n 1 n n n 2a ?1 n?1 n n 3 ? (?1) 答案:?a ? n n n 3 ? (?1) 2a ?1
n 练习 2 已知数列{a }满足 a ? 2,a ? (n? N ),求数列{a }的通项 a n 1 n?1 n n 4a ? 6 n 13? 5n 答案:?a ? n 10n ? 6 a ? a
n n?1 练习 3.已知数列 a }满足, a=1 a ? 2,a = ,n? N . ? n 1 ’ 2 n+2 2 ? 令b ? a ? a ,证明:{b }是等比数列;(Ⅱ)求 a }的通项公式。 ? ? ? n n?1 n n n 1 5 2 1 n?1 答案:(1) b 是以 1为首项, ? 为公比的等比数列。(2) a ? ? (? ) (n? N )。 ? ? n n 2 3 3 2 十一 特征方程法 形如 a ? pa ? qa ( p,q是常数)的数列 n?2 n?1 n 形如 a ? m ,a ? m ,a ? pa ? qa ( p,q是常数)的二阶递推数列都可用特征根法求得通项 a ,其特征方程为 1 1 2 2 n?2 n?1 n n 2 x ? px ? q…① n n 若①有二异根?, ? ,则可令 a ? c ? ? c ? (c ,c 是待定常数) n 1 2 1 2 n 若①有二重根? ? ? ,则可令 a ? (c ? nc )? (c ,c 是待定常数) n 1 2 1 2 再利用 a ? m ,a ? m ,可求得 c ,c ,进而求得 a 1 1 2 2 1 2 n
例 24 已知数列{a }满足 a ? 2,a ? 3,a ? 3a ? 2a (n? N ),求数列{a }的通项 a n 1 2 n?2 n?1 n n n 2 n n 解:其特征方程为 x ? 3x ? 2,解得 x ?1, x ? 2,令 a ? c ?1 ? c ?2 , 1 2 n 1 2 c ?1 ? 1 a ? c ? 2c ? 2 ? ? 1 1 2 n?1 由 ,得 , ?a ?1? 2 ? ? 1 n a ? c ? 4c ? 3 c ? ? 2 1 2 2 ? ? 2
例 25 已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a (n? N ),求数列{a }的通项 a n 1 2 n?2 n?1 n n n n 1 1 ? ? 2 解:其特征方程为 4x ? 4x ?1,解得 x ? x ? ,令 a ? c ? nc , ? ? 1 2 n 1 2 ? ? 2 2 ? ? 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 1 ? a ? (c ? c )? ?1 1 1 2 ? c ? ?4 ? 3n ? 2 ? 2 1 由 ,得 , ?a ? ? ? n n?1 1 c ? 6 2 ? 2 ? a ? (c ? 2c )? ? 2 2 1 2 ? ? 4
练习 1.已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a ?1(n? N ),求数列{a }的通项 n 1 2 n?2 n?1 n n
练习 2.已知数列{a }满足 a ?1,a ? 2,4a ? 4a ? a ? n ? 4(n? N ),求数列{a }的通项 n 1 2 n?2 n?1 n n 2 说明:(1)若方程 x ? px ? q有两不同的解 s , t, 则 a ? ta ? s(a ? ta ) , a ? sa ? t(a ? sa ) , n?1 n n n?1 n?1 n n n?1 n?1 n?1 由等比数列性质可得 a ? ta ? (a ? ta )s , a ? sa ? (a ? sa )t , n?1 n 2 1 n?1 n 2 1 ?a ? ta ? a ? sa n n 2 1 2 1 ?t ? s,由上两式消去 a 可得 a ? .s ? .t . n?1 n s?s ? t? t?s ? t? 2 (2)若方程 x ? px ? q有两相等的解 s ? t,则 2 n?1 a ? ta ? s?a ? ta ? ? s (a ? ta ) ?? ? s ?a ? ta ?, n?1 n n n?1 n?1 n?2 2 1 a a a a ? ta ? ? n?1 n n 2 1 ? ? ? ,即 是等差数列, ? ? n?1 n 2 n s s s s ? ? a a a ? sa n 1 2 1 由等差数列性质可知 ? ? , ? ? n ?1 . n 2 s s s ? a a ? sa a ? sa ? ? ? 1 2 1 2 1 n 所以 . a ? ? ? .n s ? ? n ? ? 2 2 s s s ? ? ? ? 25 2 a ? n 5 4 例 26、数列{a }满足 a ? ? ,且 a ? 求数列{a }的通项。 n 1 n?1 n 29 12 2a ? n 4 25 29 25 2 2 a ? a ? 2?a ? ? ? n n n 4 4 4 解: a ? ? ? a ? ? ? ? ……① n?1 n?1 29 29 2a ? 2a ? n n 4 4 29? ? 25 25 2 令 ? ? ,解得 ? ?1,? ? ,将它们代回①得, 1 2 4 4 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 2 25 ? ? 2 a ? ? n ? a ?1 ? ? 25 4 n ? ? a ?1 ? ……②, a ? ? ……③, n?1 n?1 29 29 4 2a ? 2a ? n n 4 4 2 25 25 25 25 ? ? a ? a ? a ? a ? n?1 n n?1 n ? ? 4 4 4 4 ③÷②,得 ? ,则 lg ? 2lg , ? ? a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 n?1 n n?1 n ? ? ? ? 25 ? ? a ? n ? ? 4 ∴数列 lg 成等比数列,首项为1,公比 q=2 ? ? a ?1 n ? ? ? ? n?1 25 25 25 2 a ? a ? ?10 n n n?1 4 n?1 4 2 4 所以 lg ? 2 ,则 ?10 ,?a ? n?1 n 2 a ?1 a ?1 10 ?1 n n 十二、四种基本数列 1.形如 a ? a ? f (n)型 等差数列的广义形式,见累加法。 n?1 n a n?1 2.形如 ? f (n)型 等比数列的广义形式,见累乘法。 a n 3.形如 a ? a ? f (n)型 n?1 n (1)若 a ? a ? d (d为常数),则数列{ a }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶 n?1 n n 数项来讨论; (2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a ? a ? f (n)型,通过累加来求出通项;或用逐差法(两 n?1 n 式相减)得 a ? a ? f (n) ? f (n ?1),,分奇偶项来分求通项. n?1 n?1 例 27. 数列{ a }满足 a ? 0, a ? a ? 2n,求数列{a }的通项公式. n n 1 n?1 n 分析 1:构造 转化为 a ? a ? f (n)型 n?1 n n 解法1:令b ? (?1) a , n n n?1 n n?1 n?1 则b ? b ? (?1) a ? (?1) a ? (?1) (a ? a ) ? (?1) ? 2n. n?1 n n?1 n n?1 n 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 n ? b ? b ? (?1) ? 2(n ?1) n n?1 ? n?1 b ? b ? (?1) ? 2(n ? 2) ? n?1 n?2 ? n ? 2时, ?? ? ? 2 b ? b ? (?1) ? 2 ?1 2 1 ? ? b ? ?a ? 0 1 1 ? n n?1 3 2 各式相加:b ? 2?(?1) (n ?1) ? (?1) (n ? 2) ?? ? (?1) ? 2 ? (?1) ?1? n n ? 2 n ?1 ? ? 当n为偶数时,b ? 2 (n ?1) ? (?1) ? ? n. 此时 a ? b ? n 当n为奇数时,b ? 2(? ) ? ?n ? 1 n n n n ? ? 2 2 ? ? ?n ?1, n为奇数, 此时b ? ?a ,所以 a ? n ?1.故 a ? ? n n n n n, n为偶数. ? 解法2:? a ? a ? 2n n?1 n ? n ? 2时, a ? a ? 2(n ?1),两式相减得: a ? a ? 2. n n?1 n?1 n?1 ? a , a , a ,?,构成以 a ,为首项,以2为公差的等差数列; 1 3 5 1 a , a , a ,?,构成以 a ,为首项,以2为公差的等差数列 2 4 6 2 ? a ? a ? (k ?1)d ? 2k ? 2 a ? a ? (k ?1)d ? 2k. 2k ?1 1 2k 2 ?n ?1, n为奇数, ? a ? 评注:结果要还原成n的表达式. ? n n, n为偶数. ? 例 28.(2005江西卷)已知数列{a }的前n项和S 满足 n n 1 3 n?1 S -S =3 (? ) (n ? 3),且S ?1, S ? ? ,求数列{a }的通项公式. n n-2 n 1 2 2 2 1 n?1 解:方法一:因为 S ? S ? a ? a 所以a ? a ? 3?(? ) (n ? 3), n n?2 n n?1 n n?1 2 以下同上例,略 1 ? n?1 4 ? 3? ( ) ,n为奇数, ? ? 2 答案 a ? ? n 1 n?1 ? ? 4 ? 3? ( ) ,n为偶数. ? ? 2 4.形如 a ? a ? f (n)型 n?1 n (1)若 a ? a ? p(p为常数),则数列{ a }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数 n?1 n n 项来讨论; 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 word版见:高考高中资料无水印无广告 word群 559164877 (2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a ?a ? f (n ?1),两式相除后,分奇偶项来分求通项. n n?1 1 n 例 29. 已知数列{a }满足 a ? 3, a ? a ? ( ) , (n? N ),求此数列的通项公式. n 1 n n?1 2 注:同上例类似,略. 原卷及解析见:新高考资料全科总群 732599440;高考数学高中数学探究群 562298495 |
|