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大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第18篇，今天我们继续来聊聊关于无穷小的问题。 其实无穷小或者无穷大并不是一个数，更不是零，而是一个趋势。 芝诺之所以提出的问题连自己都解释不清楚，甚至难倒了当时古希腊众多聪明的哲学家，是因为当时连概念都没搞清楚。 我们知道毕达哥拉斯，他坚信着一个理念：“万物皆数”。 在他眼中，整个世界就像是一个庞大的数学谜题，等待着智者的解答。
每一片叶子、每一滴水，甚至我们的命运，都隐藏着数字的秘密。 然而，赫拉克利特则提出了一个完全不同的观点：“万物皆流”。 他的这句名言，“一个人不能两次踏进同一条河流”，就是对他认为的不断运动和变化的世界的生动描述。 在赫拉克利特看来，世界不是静止的，而是永远处于一种“既存在又不存在”的动态之中。 与赫拉克利特截然相反的，则是巴门尼德。他的观点可以用“万物静止”来概括。 巴门尼德认为，这个世界只有一个绝对的“存在”，这是“一切皆一”的原理。 在这个观点下，变化和运动都是荒谬的，因为如果只有一个唯一的存在，那么一切都是固定不变的。 而芝诺，作为巴门尼德的忠实学生，他用一系列的悖论来证明运动是不可能的。 芝诺通过精妙的逻辑，试图证明世上的变化和运动都不过是我们的错觉。 他一直都反驳了毕达哥拉斯的“万物皆数”观点。 芝诺使用了“反证法”，即从对立的观点出发，展示其谬误，从而证明自己的观点是正确的。 那么接下来我们来聊聊他的四个著名的悖论： 悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。
如上图所示，要想从A到B，就先要经过它们的中点C，而要想到C，则要经过A和C的中点D……那么这样的中点谁也不知道什么时候是尾。 因此从A点出发的第一步其实都迈不出去。 悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟
阿喀琉斯是古希腊神话中著名的飞毛腿，但芝诺说如果他和乌龟赛跑，只要乌龟跑出去一段路程，他就永远追不上了。 假设快速的跑和一只缓慢的乌龟在一场比赛中竞赛。由于他跑得更快，他允许乌龟先行一段距离。 比赛开始后，他迅速跑到乌龟起跑点的位置。 但在他到达这个点的同时，乌龟也向前移动了一小段距离。 他继续前进，到达乌龟的新位置，但乌龟又再次向前移动了。 每次他到达乌龟之前的位置时，乌龟总是略微向前，看似永远领先一小步。 按照常识，这怎么可能？ 他的逻辑是这样的！ 假设他奔跑的速度是乌龟的10倍。如果乌龟先跑出10米。 等他追上了这10米，乌龟又跑出1米，等他追上这1米，乌龟又跑出0.1米……总之他和乌龟的距离在不断接近，却追不上。 这两个悖论其实本质上是一个。 我们如果从常识出发，觉得芝诺的观点不值一驳。 我们从家里出发到公司，一步就走过所谓的无数中点，如果他一步迈得大一点，不就一下子超越乌龟了吗？ 但是，如果我们朝着芝诺的逻辑来想的话，似乎也有道理，只是忽略了一些事实，因此要想驳倒他，不能绕过他的逻辑就有点难。 悖论三（飞箭不动悖论）：射出去的箭是静止的。
在芝诺的年代，运动最快的是射出去的箭。 但是芝诺却说它是不动的，因为在任何一个时刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是静止的。 时间是由每一刻组成，如果每一刻飞箭都是静止的，那么总的说来，飞箭就是不动的。 悖论四（基本空间和相对运动悖论）：2匹马跑的总距离等于1匹马跑的距离。
两匹马分别向左右方向跑，每匹马各自跑出极小的距离△后，它们彼此的距离应该增加2△ 我们站在中间，两匹马分别以相同的速度v往相反的方向奔腾。 在我们看来，单位时间里它们各自移动了一个单位Δ（Δ通常表示增量），显然一匹马跑出去的总距离就是很多Δ相加。 如果我们骑在马上，相互看来，对方在单位时间却移动了两个Δ长度，那么彼此距离应该是很多两倍的Δ相加。 那么，如果Δ非常非常小，小到无限接近于零，芝诺就干脆认为Δ=0，0乘以任何数还是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右两匹马跑出去的总距离怎么可能等于一匹马跑的距离呢？ 芝诺的错误就是把无穷小直接当做了0。 细心的朋友会发现，如果我们用无穷小的概念回答芝诺的第1、2和第4个悖论，由于第一个和第二个悖论其实是一回事，姑且我们本篇只讨论第2个，也就是阿喀琉斯和乌龟赛跑的例子。 在阿喀琉斯悖论中，其实就是把追赶的时间无限分小而已。 比如我们假设阿喀琉斯一秒钟跑10米，那么芝诺所分的每一份时间就是1秒、0.1秒、0.01秒，等等。如果我们把它们加起来，就是之前讲的等比级数。 S=1+0.1+0.01+0.001+…… 这样无限份的时间加起来是多少？ 假如每一份时间都存在一个最小的、具体的长度，可加起来又是无限大，这是矛盾所在。 但是，如果我们能定义一个被称为“无穷小”的量，且满足这样两个条件 1 .它不是零； 2 .它的绝对值小于任何一个你给定的数； 这个悖论就能够解决了。 无穷小，这个概念最后才填补了这个有关数字连续性的理论空白。 想象一下，我们画出一条数轴，数轴上的每一点都是连续连接的，正中间的那个点代表零。 但是，如果我问你：在数轴上，紧邻零点的那个点是什么数值呢？ 你可能会发现自己陷入了回答的困境。假设你回答说是 无论你提出什么具体数值，总有人能找到一个更接近零的数值，与你争辩。 这正是无穷小概念的诞生地点。无穷小被定义为无限接近零但不等于零的量。 从这个定义中我们可以看出，无穷小并非一个具体的数值，而是一个概念，一种趋势，与无穷大相似。 当我们开始接受数不仅仅是具体的值，还可以是一种趋势时，我们的思维便迈出了一大步。 我们对世界的观察方式也由静态的、点对点的观察转变为动态的、趋势性的理解。 弦论被视为迄今为止最有可能统一相对论和量子力学的理论。 与目前建立在基本粒子上的物理学模型不同，弦论不是关注具体的点，而是研究一系列的趋势。 这就像是无穷小的概念一样，它引导我们思考的不仅仅是现实的具体表现，而是背后的整体趋势和模式。 总结： 其实芝诺的错误在于把看似正确的逻辑，通常因为有概念的缺失而混淆！ 好，今天就先这样～ 科学羊🐏 2024/01/23 祝幸福~ 参考文献： [1].《吴军*数学通识》 感恩遇见，喜欢的话点个【在看】，有你们的支持是我最大的动力！ |
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