2021 年山 东 省 济南 市中 考数 学试 卷
一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 48 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，
只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。 ）
1 ． （ 4 分 ） 9 的 算 术 平 方 根 是 （ ）
A ． 3 B ． ﹣ 3 C ． ± 3 D ．
2 ． （ 4 分 ） 下 列 几 何 体 中 ， 其 俯 视 图 与 主 视 图 完 全 相 同 的 是 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
3 ． （ 4 分 ） 2 0 2 1 年 5 月 1 5 日 ， 我 国 “ 天 问 一 号 ” 探 测 器 在 火 星 成 功 着 陆 ． 火 星 具 有 和 地 球
相 近 的 环 境 ， 与 地 球 最 近 时 候 的 距 离 约 5 5 0 0 0 0 0 0 k m ． 将 数 字 5 5 0 0 0 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表
示 为 （ ）
8 7 6 6
A ． 0 . 5 5 × 1 0 B ． 5 . 5 × 1 0 C ． 5 . 5 × 1 0 D ． 5 5 × 1 0
4 ． （ 4 分 ） 如 图 ， A B ∥ C D ， ∠ A ＝ 3 0 ° ， D A 平 分 ∠ C D E ， 则 ∠ D E B 的 度 数 为 （ ）
A ． 4 5 ° B ． 6 0 ° C ． 7 5 ° D ． 8 0 °
5 ． （ 4 分 ） 以 下 是 我 国 部 分 博 物 馆 标 志 的 图 案 ， 其 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是
（ ）
A ． B ．
第 1页（共 8页）C ． D ．
6 ． （ 4 分 ） 实 数 a ， b 在 数 轴 上 的 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ）
A ． a + b ＞ 0 B ． ﹣ a ＞ b C ． a ﹣ b ＜ 0 D ． ﹣ b ＜ a
7 ． （ 4 分 ） 计 算 的 结 果 是 （ ）
A ． m + 1 B ． m ﹣ 1 C ． m ﹣ 2 D ． ﹣ m ﹣ 2
8 ． （ 4 分 ） 某 学 校 组 织 学 生 到 社 区 开 展 公 益 宣 传 活 动 ， 成 立 了 “ 垃 圾 分 类 ” “ 文 明 出 行 ” “ 低
碳 环 保 ” 三 个 宣 传 队 ， 如 果 小 华 和 小 丽 每 人 随 机 选 择 参 加 其 中 一 个 宣 传 队 ， 则 她 们 恰 好
选 到 同 一 个 宣 传 队 的 概 率 是 （ ）
A ． B ． C ． D ．
9 ． （ 4 分 ） 反 比 例 函 数 y ＝ （ k ≠ 0 ） 图 象 的 两 个 分 支 分 别 位 于 第 一 、 三 象 限 ， 则 一 次 函 数
y ＝ k x ﹣ k 的 图 象 大 致 是 （ ）
A ． B ． C ． D ．
1 0 ． （ 4 分 ） 无 人 机 低 空 遥 感 技 术 已 广 泛 应 用 于 农 作 物 监 测 ． 如 图 ， 某 农 业 特 色 品 牌 示 范 基
地 用 无 人 机 对 一 块 试 验 田 进 行 监 测 作 业 时 ， 在 距 地 面 高 度 为 1 3 5 m 的 A 处 测 得 试 验 田 右
侧 边 界 N 处 俯 角 为 4 3 ° ， 无 人 机 垂 直 下 降 4 0 m 至 B 处 ， 又 测 得 试 验 田 左 侧 边 界 M 处 俯
角 为 3 5 ° ， 则 M ， N 之 间 的 距 离 为 （ ） （ 参 考 数 据 ： t a n 4 3 ° ≈ 0 . 9 ， s i n 4 3 ° ≈ 0 . 7 ， c o s 3 5 °
≈ 0 . 8 ， t a n 3 5 ° ≈ 0 . 7 ， 结 果 保 留 整 数 ）
第 2页（共 8页）A ． 1 8 8 m B ． 2 6 9 m C ． 2 8 6 m D ． 3 1 2 m
1 1 ． （ 4 分 ） 如 图 ， 在 △ A B C 中 ， ∠ A B C ＝ 9 0 ° ， ∠ C ＝ 3 0 ° ， 以 点 A 为 圆 心 ， 以 A B 的 长 为
半 径 作 弧 交 A C 于 点 D ， 连 接 B D ， 再 分 别 以 点 B ， D 为 圆 心 ， 大 于 B D 的 长 为 半 径 作 弧 ，
两 弧 交 于 点 P ， 作 射 线 A P 交 B C 于 点 E ， 连 接 D E ， 则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是 （ ）
A ． B E ＝ D E B ． D E 垂 直 平 分 线 段 A C
2
C ． D ． B D ＝ B C ? B E
1 2 ． （ 4 分 ） 新 定 义 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 对 于 点 P （ m ， n ） 和 点 P ′ （ m ， n ′ ） ， 若 满 足
m ≥ 0 时 ， n ′ ＝ n ﹣ 4 ； m ＜ 0 时 ， n ′ ＝ ﹣ n ， 则 称 点 P ′ （ m ， n ′ ） 是 点 P （ m ， n ） 的 限
变 点 ． 例 如 ： 点 P 1 （ 2 ， 5 ） 的 限 变 点 是 P 1 ′ （ 2 ， 1 ） ， 点 P 2 （ ﹣ 2 ， 3 ） 的 限 变 点 是 P 2 ′
2
（ ﹣ 2 ， ﹣ 3 ） ． 若 点 P （ m ， n ） 在 二 次 函 数 y ＝ ﹣ x + 4 x + 2 的 图 象 上 ， 则 当 ﹣ 1 ≤ m ≤ 3 时 ，
其 限 变 点 P ′ 的 纵 坐 标 n '' 的 取 值 范 围 是 （ ）
A ． ﹣ 2 ≤ n ′ ≤ 2 B ． 1 ≤ n ′ ≤ 3 C ． 1 ≤ n ′ ≤ 2 D ． ﹣ 2 ≤ n ′ ≤ 3
二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分 ， 直 接 填 写 答 案 ）
2
1 3 ． （ 4 分 ） 因 式 分 解 ： a ﹣ 9 ＝ ．
1 4 ． （ 4 分 ） 如 图 ， 在 两 个 同 心 圆 中 ， 四 条 直 径 把 大 圆 分 成 八 等 份 ， 若 将 飞 镖 随 机 投 掷 到 圆
面 上 ， 则 飞 镖 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 是 ．
1 5 ． （ 4 分 ） 如 图 ， 正 方 形 A M N P 的 边 A M 在 正 五 边 形 A B C D E 的 边 A B 上 ， 则 ∠ P A E
＝ ．
第 3页（共 8页）2
1 6 ． （ 4 分 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x + x ﹣ a ＝ 0 的 一 个 根 是 2 ， 则 另 一 个 根 是 ．
1 7 ． （ 4 分 ） 漏 刻 是 我 国 古 代 的 一 种 计 时 工 具 ． 据 史 书 记 载 ， 西 周 时 期 就 已 经 出 现 了 漏 刻 ，
这 是 中 国 古 代 人 民 对 函 数 思 想 的 创 造 性 应 用 ． 小 明 同 学 依 据 漏 刻 的 原 理 制 作 了 一 个 简 单
的 漏 刻 计 时 工 具 模 型 ， 研 究 中 发 现 水 位 h （ c m ） 是 时 间 t （ m i n ） 的 一 次 函 数 ， 如 表 是 小
明 记 录 的 部 分 数 据 ， 其 中 有 一 个 h 的 值 记 录 错 误 ， 请 排 除 后 利 用 正 确 的 数 据 确 定 当 h 为
8 c m 时 ， 对 应 的 时 间 t 为 m i n ．
t （ m i n ） … 1 2 3 5 …
h （ c m ） … 2 . 4 2 . 8 3 . 4 4 …
1 8 ． （ 4 分 ） 如 图 ， 一 个 由 8 个 正 方 形 组 成 的 “ C ” 模 板 恰 好 完 全 放 入 一 个 矩 形 框 内 ， 模 板 四
周 的 直 角 顶 点 M ， N ， O ， P ， Q 都 在 矩 形 A B C D 的 边 上 ， 若 8 个 小 正 方 形 的 面 积 均 为 1 ，
则 边 A B 的 长 为 ．
第 4页（共 8页）三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 9 个 小 题 ， 共 78 分. 答 应 写 出 文 字 说 明 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
1 9 ． （ 6 分 ） 计 算 ： ．
2 0 ． （ 6 分 ） 解 不 等 式 组 ： 并 写 出 它 的 所 有 整 数 解 ．
2 1 ． （ 6 分 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 菱 形 A B C D 中 ， E ， F 分 别 是 边 A D 和 C D 上 的 点 ， 且 ∠ A B E ＝
∠ C B F ． 求 证 ： D E ＝ D F ．
2 2 ． （ 8 分 ） 为 倡 导 绿 色 健 康 节 约 的 生 活 方 式 ， 某 社 区 开 展 “ 减 少 方 便 筷 使 用 ， 共 建 节 约 型
社 区 ” 活 动 ． 志 愿 者 随 机 抽 取 了 社 区 内 5 0 名 居 民 ， 对 其 5 月 份 方 便 筷 使 用 数 量 进 行 了 调
查 ， 并 对 数 据 进 行 了 统 计 整 理 ， 以 下 是 部 分 数 据 和 不 完 整 的 统 计 图 表 ：
方 便 筷 使 用 数 量 在 5 ≤ x ＜ 1 5 范 围 内 的 数 据 ：
5 ， 7 ， 1 2 ， 9 ， 1 0 ， 1 2 ， 8 ， 8 ， 1 0 ， 1 1 ， 6 ， 9 ， 1 3 ， 6 ， 1 2 ， 8 ， 7 ．
不 完 整 的 统 计 图 表 ：
方 便 筷 使 用 数 量 统 计 表
组 别 使 用 数 量 频 数
（ 双 ）
A 0 ≤ x ＜ 5 1 4
B 5 ≤ x ＜ 1 0
C 1 0 ≤ x ＜
第 5页（共 8页）1 5
D 1 5 ≤ x ＜ a
2 0
E x ≥ 2 0 1 0
合 计 5 0
请 结 合 以 上 信 息 回 答 下 列 问 题 ：
（ 1 ） 统 计 表 中 的 a ＝ ；
（ 2 ） 统 计 图 中 E 组 对 应 扇 形 的 圆 心 角 为 度 ；
（ 3 ） C 组 数 据 的 众 数 是 ； 调 查 的 5 0 名 居 民 5 月 份 使 用 方 便 筷 数 量 的 中 位 数
是 ；
（ 4 ） 根 据 调 查 结 果 ， 请 你 估 计 该 社 区 2 0 0 0 名 居 民 5 月 份 使 用 方 便 筷 数 量 不 少 于 1 5 双 的
人 数 ．
2 3 ． （ 8 分 ） 已 知 ： 如 图 ， A B 是⊙ O 的 直 径 ， C ， D 是⊙ O 上 两 点 ， 过 点 C 的 切 线 交 D A 的
延 长 线 于 点 E ， D E ⊥ C E ， 连 接 C D ， B C ．
（ 1 ） 求 证 ： ∠ D A B ＝ 2 ∠ A B C ；
（ 2 ） 若 t a n ∠ A D C ＝ ， B C ＝ 4 ， 求⊙ O 的 半 径 ．
第 6页（共 8页）2 4 ． （ 1 0 分 ） 端 午 节 吃 粽 子 是 中 华 民 族 的 传 统 习 俗 ． 某 超 市 节 前 购 进 了 甲 、 乙 两 种 畅 销 口 味
的 粽 子 ． 已 知 购 进 甲 种 粽 子 的 金 额 是 1 2 0 0 元 ， 购 进 乙 种 粽 子 的 金 额 是 8 0 0 元 ， 购 进 甲 种
粽 子 的 数 量 比 乙 种 粽 子 的 数 量 少 5 0 个 ， 甲 种 粽 子 的 单 价 是 乙 种 粽 子 单 价 的 2 倍 ．
（ 1 ） 求 甲 、 乙 两 种 粽 子 的 单 价 分 别 是 多 少 元 ？
（ 2 ） 为 满 足 消 费 者 需 求 ， 该 超 市 准 备 再 次 购 进 甲 、 乙 两 种 粽 子 共 2 0 0 个 ， 若 总 金 额 不 超
过 1 1 5 0 元 ， 问 最 多 购 进 多 少 个 甲 种 粽 子 ？
2 5 ． （ 1 0 分 ） 如 图 ， 直 线 y ＝ 与 双 曲 线 y ＝ （ k ≠ 0 ） 交 于 A ， B 两 点 ， 点 A 的 坐 标 为 （ m ，
﹣ 3 ） ， 点 C 是 双 曲 线 第 一 象 限 分 支 上 的 一 点 ， 连 接 B C 并 延 长 交 x 轴 于 点 D ， 且 B C ＝ 2 C D ．
（ 1 ） 求 k 的 值 并 直 接 写 出 点 B 的 坐 标 ；
（ 2 ） 点 G 是 y 轴 上 的 动 点 ， 连 接 G B ， G C ， 求 G B + G C 的 最 小 值 ；
（ 3 ） P 是 坐 标 轴 上 的 点 ， Q 是 平 面 内 一 点 ， 是 否 存 在 点 P ， Q ， 使 得 四 边 形 A B P Q 是 矩
形 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ．
2 6 ． （ 1 2 分 ） 在 △ A B C 中 ， ∠ B A C ＝ 9 0 ° ， A B ＝ A C ， 点 D 在 边 B C 上 ， B D ＝ B C ， 将 线 段
D B 绕 点 D 顺 时 针 旋 转 至 D E ， 记 旋 转 角 为α ， 连 接 B E ， C E ， 以 C E 为 斜 边 在 其 一 侧 作 等
腰 直 角 三 角 形 C E F ， 连 接 A F ．
第 7页（共 8页）（ 1 ） 如 图 1 ， 当α ＝ 1 8 0 ° 时 ， 请 直 接 写 出 线 段 A F 与 线 段 B E 的 数 量 关 系 ；
（ 2 ） 当 0 ° ＜α ＜ 1 8 0 ° 时 ，
① 如 图 2 ， （ 1 ） 中 线 段 A F 与 线 段 B E 的 数 量 关 系 是 否 仍 然 成 立 ？ 请 说 明 理 由 ；
② 如 图 3 ， 当 B ， E ， F 三 点 共 线 时 ， 连 接 A E ， 判 断 四 边 形 A E C F 的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ．
2
2 7 ． （ 1 2 分 ） 抛 物 线 y ＝ a x + b x + 3 过 点 A （ ﹣ 1 ， 0 ） ， 点 B （ 3 ， 0 ） ， 顶 点 为 C ．
（ 1 ） 求 抛 物 线 的 表 达 式 及 点 C 的 坐 标 ；
（ 2 ） 如 图 1 ， 点 P 在 抛 物 线 上 ， 连 接 C P 并 延 长 交 x 轴 于 点 D ， 连 接 A C ， 若 △ D A C 是
以 A C 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 求 点 P 的 坐 标 ；
（ 3 ） 如 图 2 ， 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 点 E 是 线 段 A C 上 （ 与 点 A ， C 不 重 合 ） 的 动 点 ， 连 接
P E ， 作 ∠ P E F ＝ ∠ C A B ， 边 E F 交 x 轴 于 点 F ， 设 点 F 的 横 坐 标 为 m ， 求 m 的 取 值 范 围 ．
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