题目解答

（1）由题意得：\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{\frac{3}{{{a^2}}}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.

且a^{2}=b^{2}+c^{2}

，得\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}}\right.

，
所以椭圆C

的方程为\frac{{{x^2}}}{4}+{y^2}=1

.
(2)

证明：由椭圆方程可知，A\left(-2,0\right)

，B\left(2,0\right)

，
设M(x_{1}

，y_{1})

，则N(x_{1}

，-y_{1})

且\frac{{x_1^2}}{4}+y_1^2=1

；
则{k_1}=\frac{{{y_1}}}{{{x_1}+2}}

，{k_2}=\frac{{-{y_1}}}{{{x_1}-2}}

，则{k_1}⋅{k_2}=\frac{{-y_1^2}}{{x_1^2-4}}=\frac{{\frac{{x_1^2-4}}{4}}}{{x_1^2-4}}=\frac{1}{4}

，
所以k_{1}\cdot k_{2}

为定值\frac{1}{4}

.