2024年中考数学二轮复习微专题（四） 全等三角形的六种基本模型模型一 平移型?模型剖析 如图1，把 沿直线 平移，所得 与 称
为平移型全等三角形.解题时，常利用平行线的性质，获得对应角相等；利用在平移方向上相等的线段加（减）公共线段的方法，获得对应边相等.
图1模型应用1.（2022·淮安）如图2，已知点 , , , 在一条直线上，且 ， ， ．求证： ．??证明
： ， ．在 和 中， ， ．图22.如图3，已知点 ， ， ， 在同
一条直线上， ， ， .求证： .?证明： ， ，即AB=CD. ， .在 和 中，
， ， ， .?图3模型二 对称型模型剖析 如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的
部分能够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.这类全等三角形通常有两种情况：图4图5
（1）有公共边（如图4）；（2）有公共顶点（如图5）.解题时，常利用公共角、对顶角、垂直等条件，获得对应角相等；利用公共边、中点、
线段的和差关系等，获得对应边相等.（1）有公共边：（2）有公共顶点：图4图5模型应用3.（2022·兰州）小军制作的燕子风筝骨架图
如图6所示， ， ， ， ，求 的度数．??解： ， ，即 .在 和 中，
．图6模型三 旋转型模型剖析 如图7，将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，这两个三角形称为旋转型全
等三角形.解题时，常利用对顶角相等、角的和差关系等隐含条件.图7模型应用4.（2023·宜宾）如图8，已知 ， ， .求证
： ．??证明： ， ，即 ， .又 ， 图85.（2023·陕西）如图
9，在 中， ， ．过点 作 ，垂足为点 ，延长 至点 ，使 .在边 上截取 ，连接 ．求证：
.?图9证明：在 中， ， ， ． , ． . ．在 和 中， ，
．?图9模型四 “一线三等角”型?模型剖析 如图10，三个等角顶点在同一直线上 ，这两个三角形称为“一线三
等角”型全等三角形（等角可以是锐角、直角、钝角.若等角为直角，则称为“一线三垂直”型）.解题时，常利用三角形的内角和定理及外角性质
、“等角的余角相等”的性质将角进行转化.图10?【拓展】“一线三垂直”型 一线：如图11，经过直角顶点的直线 ； 三垂直：直角
三角形的两边互相垂直 ，过直角三角形的两边上一点分别向直线作垂线 ，利用“同角的余角相等”找等角 .图11模型应用6.
（2022·铜仁）如图12，点 在 上， ， ， ， ．求证： ．?图12证明： ， ， ，
. ， . .在 和 中， .?图127.（2023·聊城）如图13，在四边形
中，点 是边 上一点，且 ， .?（1）求证： .?图13?证明： ， ， .在 和
中， .（2）若 ， 时，求 的面积．?解： ， ， 为等边三角形.
.过点 作 于点 ， . ．?图13模型五 半角模型模型剖析 当一个角包含着这个角的半角时
，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，从而得到线段或角之间的数
量关系.半角模型常有如下三种类型. 1.等边三角形含半角（如图14， ， ）?图14? 结论： ， . 2.等腰直角
三角形含半角（如图15， ， ）?图15? 结论： ， . 3.正方形含半角（如图16）图16 结论： ， .
?模型应用8.如图17， 是边长为1的等边三角形， ， ，点 ， 分别在 ， 上，且 .求 的周长.?
图17?提示：如图16，延长 至点 ，使 ，连接 是等边三角形， . ， ， .
. .在 和 中， ， ， ， ， 图16 ， ，
. . .在 和 中， ， ， ， 的周长 .?【答案】2图1
6模型六 对角互补模型模型剖析 对角互补模型，即四边形构成的几何图形中，相对的角互补.解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：
（1）过顶点作两垂线；（2）旋转法. 对角互补模型常有如下两种类型. 1.含 角的对角互补模型 如图18， ， 平分
.?图18? 作法1：分别过点 作 ， 的垂线. 作法2：将 绕点 逆时针旋转 得到 . 结论：图中两个阴
影三角形全等. 2.含 角的对角互补模型 如图19， ， 平分 .?图19? 作法1：分别过点 作 ， 的
垂线. 作法2：将 绕点 逆时针旋转 得到 . 结论：图中两个阴影三角形全等.模型应用9.如图20，在四边形 中，
， ， ，求四边形 的面积.?解：如图17，过点 作 ，交 的延长线于点 .因为 ，所以 .又
，所以 .又因为 ，所以 .在 和 中，因为 ， ， ，所以 .?图20图17所以 ，即 是等腰直
角三角形.所以 .因为 ，所以四边形 的面积为 .?图17学习至此，请完成微专题练习（四） （第261页）微专题练习（
四）全等三角形的六种基本模型模型一 平移型?1.（2022·宜宾）如图1，已知点 ， ， ， 在同一直线上， ，
， ．求证： ．图1证明： ， ．在 和 中， ，即 ．?图1模型二 对称型2.（20
23·云南）如图2， 是 的中点， ， .求证： .??证明： 是 的中点， .在 和 中，
.图2模型三 旋转型3.如图3， ， ， ， .??（1）求证： .证明： ， ， .
.在 和 中， ， ， ， ?图3（2）求证： .??解：如图21，设 交 于点 ， 交
于点 ， .又 ， ， . . .图21图3模型四 “一线三等角”型
4.（2021·南充）如图4， ， 是 内部一条射线.若 ， 于点 ， 于点 .求证： .??证明：
， . ， ， . . .在 和 中， ， ， ，
.图4模型五 半角模型5.如图5，在平面直角坐标系中， 轴于点 ， 轴于点 ，点 ， .过点 作 分别
交线段 ， 于点 ， .??（1）当 时，求证： .图5证明： 轴， 轴， .又 ， 四
边形 是矩形. . ， ， ?? 四边形 是正方形. ， ， .在 和 中
， ， ， ， .图5?（2）如图6，当 ， 时，求 的值.解：如图22，将 绕点 顺时针
旋转 ，得到 ，则 ， ， . . .在 和 中， ， ， ，
， .?图6图22由（1）知四边形 是边长为4的正方形， .?图22模型六 对角互补模型
6.如图7，在菱形 中， ，点 ， 分别在边 ， 上， .请判断 的形状,并给出证明.?图7?解： 是等边三角形.证明如下：如图23，连接 四边形 是菱形，， ， , . 是等边三角 形. 图23 ， ， .又 ， .在 和 中, , , , .又 ， 是等边三角形.?图23 |
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