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人们在平均分物体数量时，会出现两种情况：正好平均分完和还有剩余。其中“正好分完”属于没有余数的除法（整除除法），“还有剩余”属于有余数的除法（有余除法）。在初步学习有余数除法时，不但要对比整除除法，建立它们之间的联系，而且要明晰有余数除法各部分之间的关系，为有余数除法的应用提供基础。因此，在初步学习有余数除法时必须要搞清楚的以下三个问题。 问题一：平均分物体时，没有被分完还是平均分吗？ 在学习平均分意义时已经知道，分得每份同样多才能是平均分。但是，像ΟΟΟΟ ΟΟΟΟ ΟΟΟΟ ΟΟ这种情况还是平均分吗？为什么？ 这时就要从分物体的操作开始探究：先进行恰好平均分完的操作活动，并用除法算式表示出来；再进行有剩余的平均分操作活动，并对比它们的异同，帮助学生用除法算式表示出来。通过对两类平均分进行对比，让学生理解余数是平均分后剩下的、不能再次进行平均分的数，但这也是因平均分而得到的结果，所以就被称为是有剩余的平均分。 这样除法就被分成两种：一种是恰好平均分完没有剩余（或余数为0），即能够整除的除法；一种是平均分完后有剩余（余数不为0），即有余数的除法。因此，不管是有余数平均分还是没有余数平均分，都属于平均分的范围，都可以用除法进行计算。经历这样的探究过程，不但对平均分有了系统的认知，而且形成了自然数除法的完整结构。 问题二：余数为什么一定要比除数小呢？ 系统认识平均分之后，接下来就要探索余数的变化规律，搞清楚有余数除法中各部分之间的数量关系。这时可以借助平均分小棒的活动进行探究：
余下的小棒根数有什么变化规律？为什么会从1到4循环出现？让学生体会当小棒的根数不能进行平均分时，就会产生余下的根数，而这个余下的根数一定比每份的根数少，不然又可以平均分了。反映在除法算式中，就是余数一定比除数小，接着发现并归纳出被除数、除数、商和余数之间的数量关系：除数×商+余数=被除数。 问题三：为什么要学习有余数除法？ 如，小明的妈妈买来了一些糖果，要平均分给小明和他的哥哥与姐姐，最后还剩下2块糖，小明的妈妈最少买了多少块糖；把一些糖果平均分给4名学生或7名学生都剩下3粒，那么这些糖果最少有多少粒；一列数3，1，2，3，1，2，3，1，2，……，这列数的前20个数的和是多少；等等。要解决这些问题除了利用乘加模型外，还可以通过构建有余数除法的模型进行解答。 另外，当余数为0时，此时的有余数除法就变成了整除除法，可以说整除除法是有余除法的特例。从这个角度来说，学习有余除法的过程就是一个从特殊到一般的过程，是对除法运算的一次扩充。 学习有余数除法，不但可以解决数学在生活中的实际应用问题，而且又是对除法运算的扩展，因此具有十分重要的作用。 |
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