中 考 数 学 核 心 考 点 大 全
代数部分
考 点 一 ： 实 数 的 分 类
( 1 ) 按 定 义 分 ( 2 ) 按 大 小 分
整 数
正 数
有 理 数 （ 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数 ）
实 数 分 数 实 数 0
负 数
无 理 数 （ 无 限 不 循 环 小 数 ）
注 意 无 理 数 常 见 形 式 ：
3
（ 1 ） 开 方 开 不 尽 的 数 ， 如 7 , 2 等 ；
π
（ 2 圆 周 率 π 及 化 简 后 含 有 π 的 数 ， 如 + 8 等 ；
3
（ 3 ） 有 规 律 的 无 限 不 循 环 小 数 ， 如 0 . 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 … （ 相 邻 两 个 1 之 间 依 次 多 一 个 0 ） 等 ；
o
（ 4 ） 含 有 根 式 的 三 角 函 数 值 ， 如 s i n 6 0 等 ；
考 点 二 ： 实 数 的 相 关 概 念
1 . 自 然 数 （ 0 和 正 整 数 ） 、 奇 数 2 n - 1 、 偶 数 2 n 。
2 . 非 负 数 ： 正 实 数 和 零 （ 表 示 为 ： x ≥ 0 ）
( 1 ) 常 见 的 非 负 数 有 :
( 2 ) 性 质 ： 若 干 个 非 负 数 的 和 为 0 ， 则 每 个 非 负 数 均 为 0 。
3 . 数 轴 ： 规 定 了 原 点 、 单 位 长 度 和 正 方 向 的 直 线 叫 做 数 轴 .
注 意 数 轴 上 所 有 的 点 与 全 体 实 数 一 一 对 应
4 . 数 轴 上 表 示 数 的 点 与 原 点 的 距 离 ， 记 作 。
绝 对 值 ： a | a |
? a ( a ? 0 )
?
例 如 ： 3 ? ? = ? ? 3 3 ? 2 = 2 - 3
a ? 0 ( a ? 0 )
?
?
? a ( a ? 0 )
?
注 意
（ 1 ） ? ≥ 0 ， 具 有 非 负 性 。
（ 2 ） 绝 对 值 最 小 的 数 是 0
（ 3 ） 去 绝 对 值 法 则 ： 正 数 的 绝 对 值 是 它 本 身 ， “ + （ ） ” ； 零 的 绝 对 值 是 零 , “ 0 ” ； 负 数 的 绝 对 值 是 它
的 相 反 数 ， “ - （ ） ” 。
（ 4 ） 若 ? = ? , 则 a = b 或 a = - b
（ 5 ） 若 ? = ? ( ? ≥ 0 ) ， 则 a = ± m
4 . 相 反 数 ： 只 有 符 号 不 同 ， 而 绝 对 值 相 同 的 两 个 数 称 为 互 为 相 反 数 。
1（ 1 ） 若 a 、 b 互 为 相 反 数 ， 则a + b=0 。
（ ） 非 零 实 数 的 相 反 数 是 ， 的 相 反 数 是 。
2 a - a 0 0
（ 3 ） a - b 的 相 反 数 是 b - a ， a + b 的 相 反 数 是 - a – b 。
6 . 倒 数 ： 乘 积 为 1 的 两 个 数 ， 称 为 互 为 倒 数 .
（ 1 ） 若 a 、 b 互 为 倒 数 ， 则 a b = 1 。
（ 2 ） 倒 数 等 于 本 身 的 数 是 ± 1
注 意
?
1
?
（1） ? （a > 0 ）的倒数是
= =
2
?
?
（ ? ）
1 ? ? ? ? ? ?
（2）m+ ? （n> 0，m+ ? ≠ 0 ）的倒数是 = =
2
? + ? ( ? + ? ) ( m ? ? ) ? ? ?
1 ? ? ? ? ? ?
（3） ? + ? （a> 0 、b> 0 ）的倒数是 = =
? + ? ( ? + ? ) ( ? ? ? ) ? ? ?
n
7 ． 科 学 记 数 法 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a × 1 0 的 形 式 ， 其 中 1 ≤ | a | ＜ 1 0 ， n 为 整 数 ．
（ 1 ） 当 原 数 绝 对 值 大 于 1 0 时 ， n 等 于 原 数 的 整 数 位 数 减 1 。
（ 2 ） 当 原 数 绝 对 值 小 于 1 时 ， n 等 于 原 数 左 边 第 一 个 非 零 数 字 前 的 所 有 零 的 个 数 （ 包 括 小 数 点 前 面 的 零 ） 。
8 ． 近 似 数 ： 近 似 数 与 准 确 数 的 接 近 程 度 通 常 用 精 确 度 来 表 示 ， 近 似 数 一 般 由 四 舍 五 入 取 得 ， 四 舍 五 入 到
哪 一 位 ， 就 说 这 个 近 似 数 精 确 到 哪 一 位 。
考 点 三 ： 整 式 的 相 关 概 念
2考 点 四 ： 整 式 加 减 运 算
（ 1 ） 实 质 ： 合 并 同 类 项
（ 2 ） 合 并 同 类 项 ： 同 类 项 的 系 数 相 加 ， 所 得 结 果 作 为 系 数 ， 字 母 和 字 母 的 指 数 不 变 。
（ 3 ） 去 括 号
① a + ( b + c ) = a + b + c ； ② a - ( b + c ) = a - b - c
考 点 五 ： 幂 运 算
（ 1 ） 同 底 数 幂 乘 法
m n m ? n
口 诀 ： 同 底 数 幂 相 乘 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 加 。 即 ( m 、 n 都 是 正 整 数 ）
a ? a ? a
（ 2 ） 幂 的 乘 方
m n m n
口 诀 ： 幂 的 乘 方 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 乘 。 即 （ a ) ? a ( m 、 n 都 是 正 整 数 ）
（ 3 ） 积 的 乘 方
n n n
( a b ) ? a b
口 诀 ： 等 于 将 积 的 每 个 因 式 分 别 乘 方 ， 再 把 所 得 的 幂 相 乘 。 即 ( n 是 正 整 数 ）
（ 4 ） 底 数 的 推 广 ：
n n
? ?
a ( n 为偶数 ) ( a ? b ) ( n 为偶数 )
? ?
n n
( ? a ) ? ( b ? a ) ?
? ?
n n
? ? a ( n 为奇数） ? ? ( a ? b ) ( n 为奇数 )
? ?
（ 5 ） 幂 的 除 法 运 算
m n m ? n
口 诀 ： 同 底 数 幂 相 除 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 减 。 即 a ? a ? a ( a ? 0 , m , n 都是正整数 )
0
（6 ） 零 指 数 幂 ： a = 1 ( a ≠ 0 )
1
? n
a ? ( a ? 0 , n 为正整数）
（7 ） 负 整 指 数 幂 ：
n
a
考 点 六 ： 整 式 乘 除 运 算
1 . 单 项 式 乘 单 项 式
单 项 式 相 乘 ， 把 系 数 、 同 底 数 幂 分 别 相 乘 ， 作 为 积 的 因 式 ； 对 于 只 在 一 个 单 项 式 里 含 有 的 字 母 ， 则 连
同 它 的 指 数 作 为 积 的 一 个 因 式 。
2 . 单 项 式 乘 多 项 式
单 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 用 单 项 式 和 多 项 式 的 每 一 项 分 别 相 乘 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 。
3 . 多 项 式 乘 多 项 式
多 项 式 与 多 项 式 相 乘 ， 先 用 一 个 多 项 式 的 每 一 项 与 另 一 个 多 项 式 的 每 一 项 相 乘 ， 再 把 所 得 的 积 相 加 。
4 . 乘 法 公 式
2 2
（ 1 ） 平 方 差 公 式 ：
( a ? b ) ( a ? b ) ? a ? b
32
2 2 2 2 2
（ 2 ） 完 全 平 方 公 式 ： a ? b ? a ? 2 ab ? b ( a ? b ) ? a ? 2 ab ? b
? ?
（ 3 ） 平 方 差 公 式 常 见 的 变 化 形 式 ：
2 2
( ? b ? a ) ( b ? a ) ? ( a ? b ) ( a ? b ) ? a ? b
①位置 变化 ：
2 2 2 2
②符号 变化 ： ( ? a ? b ) ( ? a ? b ) ? ( ? a ) ? b ? a ? b
2 2 2 2
( 2 x ? 3 y ) ( 2 x ? 3 y ) ? ( 2 x ) ? ( 3 y ) ? 4 x ? 9 y
③系数 变化 ：
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4
( m ? n ) ( m ? n ) ? ( m ) ? ( n ) ? m ? n
④指数 变化 ：
2 2
⑤增项 变化 ： ( a ? b ? c ) ( a ? b ? c ) ? ( a ? b ) ? c ? ...
⑥增因 式变 化：
2 2 2 2
( ? a ? b ) ( ? a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ? [ ( ? a ) ? b ] ( a ? b ) ? ...
⑦连用 公式 变化 ：
2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 8 8
( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ( a ? b ) ( a ? b ) ? ( a ? b ) ( a ? b ) ? a ? b
（ 4 ） 完 全 平 方 公 式 常 见 的 变 化 形 式 ：
2 2 2
a ? b ? ( a ? b ) ? 2 a b
①
2 2 2
② a ? b ? ( a ? b ) ? 2 a b
2 2
③ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 4 a b
2 2
④ ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 4 ab
2 2 2 2
( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 2 ( a ? b )
⑤
2 2
( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 4 a b
⑥
2 2 2 2
( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a b ? 2 b c ? 2 a c
⑦
5 . 除 法 运 算
① 单 项 式 的 除 法 ： 把 系 数 、 同 底 数 幂 分 别 相 除 ， 作 为 商 的 因 式 ： 对 于 只 在 被 除 式 里 含 有 的 字 母 ， 则 连 同
它 的 指 数 作 为 商 的 一 个 因 式 。
② 多 项 式 除 以 单 项 式 ： 先 把 这 个 多 项 式 的 每 一 项 除 以 这 个 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 。
考 点 七 ： 因 式 分 解
考 点 八 ： 一 次 方 程 （ 组 ）
4考 点 九 ： 一 次 不 等 式 （ 组 ）
56考 点 十 ： 分 式 的 概 念
A
1 . 定 义 ： 一 般 地 ， 如 果 A 、 B 表 示 两 个 整 式 ， 并 且 B 中 含 有 字 母 ， 那 么 式 子 叫 做 分 式 。
B
其 中 A 叫 做 分 子 ， B 叫 做 分 母 。
2 . 最 简 分 式 ： 分 子 与 分 母 没 有 公 因 式 的 分 式 ；
3 . 分 式 有 意 义 的 条 件 ： B ≠ 0 ；
4 . 分 式 值 为 0 的 条 件 ： 分 子 = 0 且 分 母 ≠ 0
考 点 十 一 ： 分 式 的 基 本 性 质
分 式 的 分 子 与 分 母 同 乘 ( 或 除 以 ) 一 个 不 等 于 0 的 整 式 ， 分 式 的 值 不 变 ， 这 个 性 质 叫 做 分 式
的 基 本 性 质 。
a ? c a
① ? ( b ? 0 , c ? 0 )
b ? c b
a ? c a
② ? ( b ? 0 , c ? 0 )
b ? c b
? a a ? a a a
③ ? ， ? ? ? ( b ? 0 )
? b b b ? b b
考 点 十 二 ： 分 式 的 运 算
7考 点 十 三 ： 解 分 式 方 程
① 去 分 母 ： 在 方 程 左 右 两 边 都 乘 以 最 简 公 分 母 ， 化 为 整 式 方 程 。
② 解 方 程 ： 解 整 式 方 程
③ 验 根 ： 把 整 式 方 程 的 根 代 入 最 简 公 分 母 ， 若 结 果 为 零 ， 则 这 个 根 是 方 程 的 增 根 ， 必 须 舍 去 。
8考 点 十 四 ： 二 次 根 式
4 . 整 式 乘 法
m n m ? n
（ 1 ） 同 底 数 幂 的 乘 法 : ( m 、 n 都 是 正 整 数 ）
a ? a ? a
m n m n
（ 2 ） 幂 的 乘 方 ： （ a ) ? a ( m 、 n 都 是 正 整 数 ）
n n n
（ 3 ） 积 的 乘 方 ： ( a b ) ? a b ( n 是 正 整 数 ）
（ 4 ） 底 数 的 推 广 ：
n
?
a ( n 为 偶 数 )
?
n
( ? a ) ?
① ?
n
? ? a ( n 为 奇 数 ）
?
n
?
( a ? b ) ( n 为偶数 )
?
n
( b ? a ) ?
② ?
n
? ? ( a ? b ) ( n 为奇数 )
?
2 2
平 方 差 公 式 : ( ? + ? ) ( ? ? ? ) = ? ? ?
（ 5 ） 乘 法 公 式 ：
2 2
完 全 平 方 公 式 : ( ? ± ? ) = ? ± 2 ? ? + ?
1 . 实 数 的 分 类
1 . 实 数 的 分 类
1 . 实 数 的 分 类
9考 点 十 五 ： 一 元 二 次 方 程
1 0( 1 ) 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法
? 理论依据：若 a ? b ? 0 , 则 a ? 0 或 b ? 0
?
① 因 式 分 解 法
解法：化为 ? ax ? b ? ? c x ? d ? ? 0 的形式
?
?
解得： ax ? b ? 0 或 c x ? d ? 0
?
2
?
若 x ? a ? a ? 0 ? , 则 x ? ? a
?
② 直 接 开 平 方 法
?
2
? 若 ? x ? a ? ? b ? b ? 0 ? , 则 x ? a ? ? b , 即 x ? a ? b
?
2
2 2
?
理 论 依 据 ： 完 全 平 方 公 式 a ? 2 a b ? b ? ? a ? b ?
?
③ 配 方 法
?
2
? 解 法 : 化 为 ? x ? m ? ? n ? n ? 0 ? 的 形 式
?
2
?
化为 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的形式
?
④ 公 式 法
2
?
? b ? b ? 4 ac
2
求根公式： x ? ? b ? 4 ac ? 0 ?
?
? 2 a
( 2 ) 一 元 二 次 方 程 跟 与 系 数 的 关 系
b
?
x ? x ? ?
1 2
?
韦 达 定 理 ?
a
?
c
?
x ? x ?
1 2
?
? a
重 要 变 形 ：
2 2 2
① ；
x ? x ? ? x ? x ? ? 2 x x
1 2 1 2 1 2
1 1 x ? x
1 2
② ；
? ?
x x x x
1 2 1 2
2
2 2
x x x ? x ? x ? x ? ? 2 x x
1 2 1 2
2 1 1 2
③ ；
? ? ?
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
2 2
④ ? ? ? ?
x ? x ? x ? x ? 4 x x
1 2 1 2 1 2
2
⑤ ；
? x ? k ? ? x ? k ? ? x x ? k ? x ? x ? ? k
1 2 1 2 1 2
2 2
⑥
x ? x ? ? x ? x ? ? ? x ? x ? ? 4 x x
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1考 点 十 六 ： 函 数 初 步
1 2考 点 十 七 ： 一 次 函 数
1 3( 1) 一次函数的性质
k、b 的符号 函数图象 图象的位置 性质
图象过
b 0
＞
第一、二、三象限
y 随 x 增大而
k ＞0
增大
图象过
b＜0
第一、三、四象限
图象过
b＞0
第一、二、四象限
y 随 x 增大而
k ＜0
减小
图象过
b＜0
第二、三、四象限
( 2) 待定系数法求函数解析式的一般步骤
①设出含有待定系数的函数解析式
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
③解方程或方程组，求出待定系数；
④将求得的待定系数得知带入解析式.
1 4考 点 十 八 ： 反 比 例 函 数
关 键 点 拨 与 对 应 举 例
知识点一：反比例函数的概念及其图像、性质
k
（1 ） 定义： 形如 y ＝ ( k ≠ 0 ) 的函数称为 反比例函数 ， k 叫做比例系数， 自变量的
m + 1
x
例： 函数 y = 3 x ， 当 m =
1 . 反 比
取值范围是 非零的一切实数． －2 时， 则该函数是反 比
（2 ）形 式：反比例函数有以下三种基本形式： 例函数．
例 函
k
数 的
① y ＝ ； ② y = k x - 1 ； ③ x y = k . ( 其 中 k 为 常 数 ， 且 k ≠ 0 )
x
概 念
k 的 符 号 图 像 经 过 象 限 y 随 x 变化的情况 （1 ）判断点是否在反比
例函数图像上的方法： ①
把点的横、 纵坐标代入 看
每 个 象 限 内 ， 函 数 y 的 值
k > 0 图 像 经 过 第
是否满足其解析式； ② 把
一 、 三 象 限 随 x 的增大而减小.
点的横、 纵坐标相乘， 判
（ x 、 y 同 号 ）
断其乘积是否等于 k .
2 . 反 比 失分点警示
每 个 象 限 内 ， 函 数 y 的 值
k < 0 图 像 经 过 第
（2 ）反比例函数值大小
二 、 四 象 限 随 x 的增大而增大.
例 函 数
的比较时， 首先要判断 自
（ x 、 y 异 号 ）
的 图 像
变量的取值是否同号， 即
和 性 质
是否在同一个象限内， 若
不在则不能运用性质进
行比较，可以画出草图，
直观地判断.
（ 1 ） 由 两 条 曲 线 组 成 ， 叫 做 双 曲 线 ； 例： 若( a ， b ) 在反比例 函
（ 2 ） 图 像 的 两 个 分 支 都 无 限 接 近 x 轴 和 y 轴 ， 但 都 不
k
数 y ? 的 图 像 上 ， 则
3 . 反 比
会 与 x 轴 和 y 轴 相 交 ；
x
( －a ， －b ) 在该函数图 像
（ 3 ） 图 像 是 中 心 对 称 图 形 ， 原 点 为 对 称 中 心 ； 也 是 轴 对 称 图 形 ， 2 条
例 函
上. ( 填“ 在" 、" 不在" )
数 的
对 称 轴 分 别 是 平 面 直 角 坐 标 系 一 、 三 象 限 和 二 、 四 象 限 的 角 平 分 线 ．
图 像
特 征
例： 已知反比例函数图 像
只 需要知道双曲线上任意一点坐标， 设函数解析式， 代入求出
过 点（ － 3 ， － 1 ） ， 则 它
4 . 待 定
3
反比例函数系数 k 即可. 的解析式是 y = .
系 数
x
法
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
1 5k 失 分 点 警 示
（ 1 ） 意 义 ： 从 反 比 例 函 数 y ＝ ( k ≠ 0 ) 图 像 上 任 意 一 点 向 x 轴 和 y 轴 作
已知相关面积， 求反比 例
x
垂 线 ， 垂 线 与 坐 标 轴 所 围 成 的 矩 形 面 积 为 | k | , 以 该 点 、 一 个 垂 足 和 原 函数的表达式， 注意若 函
数图像在第二、四象限，
点 为 顶 点 的 三 角 形 的 面 积 为 1 / 2 | k | .
（ 2 ） 常 见 的 面 积 类 型 ： 则 k ＜0 .
5 . 系 数 k
例： 已知反比例函数图 像
的 几
上 任 一 点 作 坐 标 轴 的 垂
何 意
线所围成矩形为 3 ， 则 该
义
反 比 例 函 数 解 析 式 为 ：
3 3
或 .
y ? y ? ?
x x
（1 ） 确 定 交 点 坐 标 ： 涉 及 与 面 积 有 关 的 问 题
【 方 法 一 】 已 知 一 个 交 点 坐 标 为 （ a , b ） ， 则 根 据 中 心 对 称 性 ， 可 得 另 时，①要善于把点的横、
纵 坐 标
一 个 交 点 坐 标 为 （ - a , - b ） .
转 化 为
【 方 法 二 】 联 立 两 个 函 数 解 析 式 ， 利 用 方 程 思 想 求 解 . 图 形 的
边 长 ，
对 于 不 好 直 接 求 的 面 积
6 .
与 一
往 往 可 分 割 转 化 为 较 好
（ 3 ） 在 同 一 坐 标 系 中 判 断 函 数 图 像 ： 充 分 利 用 函 数 图 像 与 各 字 母 系 数
次 函
的 关 系 ， 可 采 用 假 设 法 ， 分 k ＞ 0 和 k ＜ 0 两 种 情 况 讨 论 ， 看 哪 个 选 求的三角形面积； ②也 要
数 的
项 符 合 要 求 即 可 . 也 可 逐 一 选 项 判 断 、 排 除 . 注意系数 k 的几何意义.
综 合
例： 如图所示， 三个阴 影
部 分 的 面 积 按 从 小 到 大
的顺序排列为： S = S
（ 4 ） 比 较 函 数 值 的 大 小 ： 主 要 通 过 观 察 图 像 ， 图 像 在 上 方 的 值 大 ， 图
△ A O C △
像 在 下 方 的 值 小 ， 结 合 交 点 坐 标 ， 确 定 出 解 集 的 范 围 . ＞S .
O P E △ B O D
知识点三：反比例函数的实际应用
（ 1 ） 题 意 找 出 自 变 量 与 因 变 量 之 间 的 乘 积 关 系 ；
（ 2 ） 设 出 函 数 表 达 式 ；
7 . 一
般 步 （ 3 ） 依 题 意 求 解 函 数 表 达 式 ；
骤
（ 4 ） 根 据 反 比 例 函 数 的 表 达 式 或 性 质 解 决 相 关 问 题 .
1 6考 点 十 九 ： 二 次 函 数
2
1 . 二 次 函 数 的 概 念 ： 一 般 地 ， 形 如 y = a x + b x + c （ a ， b ， c 是 常 数 ， a ≠ 0 ） 的 函 数 ， 叫 做 二 次 函 数 ．
2 . 二 次 函 数 解 析 式 的 三 种 形 式
2
（ 1 ） 一 般 式 ： y = a x + b x + c （ a ， b ， c 为 常 数 ， a ≠ 0 ） ．
2
（ 2 ） 顶 点 式 ： y = a （ x – h ） + k （ a ， h ， k 为 常 数 ， a ≠ 0 ） ， 顶 点 坐 标 是 （ h ， k ） ．
（ 3 ） 交 点 式 ： y = a （ x – x ） （ x – x ） ， 其 中 x ， x 是 二 次 函 数 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 ， a ≠ 0 ．
1 2 1 2
3 . 二 次 函 数 的 图 像 及 性 质
2
解 析 式 二 次 函 数 y = a x + b x + c （ a ， b ， c 是 常 数 ， a ≠ 0 ）
b
对 称 轴 x = –
2 a
2
b
4 ac ? b
顶 点 （ – ， ）
2 a
4 a
a 的 符 号 a > 0 a < 0
图 像
开 口 方 向 开 口 向 上 开 口 向 下
2 2
b b
4 ac ? b 4 ac ? b
最 值 当 x = – 时 ， y = 当 x = – 时 ， y =
最 小 值 最 大 值
2 a 2 a
4 a 4 a
最 点 抛 物 线 有 最 低 点 抛 物 线 有 最 高 点
b b
当 x < – 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ； 当 x < – 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ；
2 a 2 a
增 减 性
b b
当 x > – 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 当 x > – 时 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小
2 a 2 a
4 . 抛 物 线 的 平 移
二 次 函 数 平 移 遵 循 “ 上 加 下 减 ， 左 加 右 减 ” 的 原 则 ， 据 此 ， 可 以 直 接 由 解 析 式 中 常 数 的 加 或 减 求 出 变 化 后
的 解 析 式 ； 二 次 函 数 图 像 的 平 移 可 看 作 顶 点 间 的 平 移 ， 可 根 据 顶 点 之 间 的 平 移 求 出 变 化 后 的 解 析 式 ．
5 . 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 的 关 系
2 2
1 ） 二 次 函 数 y = a x + b x + c （ a ≠ 0 ） ， 当 y = 0 时 ， 就 变 成 了 一 元 二 次 方 程 a x + b x + c = 0 （ a ≠ 0 ） ．
2 2
2 ） a x + b x + c = 0 （ a ≠ 0 ） 的 解 是 抛 物 线 y = a x + b x + c （ a ≠ 0 ） 的 图 像 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 ．
2
3 ） （ 1 ） b – 4 a c > 0 ? 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 ；
2
（ 2 ） b – 4 a c = 0 ? 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 抛 物 线 与 x 轴 有 且 只 有 一 个 交 点 ；
2
（ 3 ） b – 4 a c < 0 ? 方 程 没 有 实 数 根 ， 抛 物 线 与 x 轴 没 有 交 点 ．
1 72
二次函数图像特征与 a 、b 、c 、b - 4 a c 之间的关系
字母 字母 的符号 图像 的特征
a ＞0 开口向上
a
a ＜0 开口向下
b = 0 对称轴为 y 轴
a 、b 同号 对称轴再 y 轴左侧
b
a 、b 异号 对称轴再 y 轴右侧
c = 0 图像过原点
c c ＞0 与 y 轴正半轴相交
c ＜0 与 y 轴负半轴相交
2
b - 4 a c = 0 与 x 轴有唯一交点（即顶点）
2 2
b - 4 a c b - 4 a c ＞0 与 x 轴有两个不同的交点
2
b - 4 a c ＜0 与 x 轴无交点
二次函数的图像平移规律
移动 方向 平移 前解析式 平移 后解析式 简记
向左平移
2 2
y ? a ? x ? h ? ? k y ? a ? x ? h ? m ? ? k 左加
m 个单位
向右平移
2 2
右减
y ? a ? x ? h ? ? k y ? a ? x ? h ? m ? ? k
m 个单位
向上平移
2 2
上加
y ? a ? x ? h ? ? k y ? a ? x ? h ? ? k ? m
m 个单位
向下平移
2 2
下减
y ? a ? x ? h ? ? k y ? a ? x ? h ? ? k ? m
m 个单位
1 8考 点 二 十 ： 锐 角 三 角 函 数
1 . 锐 角 三 角 函 数 的 概 念
如 图 所 示 ， 在 R t △ A B C 中 ， ∠ C ＝ 9 0 ° ， ∠ A 所 对 的 边 B C 记 为 a ， 叫 做 ∠ A 的 对 边 ， 也 叫 做 ∠ B 的 邻 边 ，
∠ B 所 对 的 边 A C 记 为 b ， 叫 做 ∠ B 的 对 边 ， 也 是 ∠ A 的 邻 边 ， 直 角 C 所 对 的 边 A B 记 为 c ， 叫 做 斜 边 ．
B
c
a
A
C
b
? A 的 对 边 a
锐 角 A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 正 弦 ， 记 作 s i n A ， 即 s i n A ? ? ；
斜 边 c
? A 的 邻 边 b
锐 角 A 的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 余 弦 ， 记 作 c o s A ， 即 c os A ? ? ；
斜 边 c
? A 的 对 边 a
锐 角 A 的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做 ∠ A 的 正 切 ， 记 作 t a n A ， 即 t a n A ? ? .
? A 的 邻 边 b
? B 的 对 边 b ? B 的 邻 边 a ? B 的 对 边 b
同 理 s i n B ? ? ； c os B ? ? ； t a n B ? ? ．
斜 边 c 斜 边 c ? B 的 邻 边 a
2 . 特 殊 角 的 三 角 函 数 值
利 用 三 角 函 数 的 定 义 ， 可 求 出 3 0 ° 、 4 5 ° 、 6 0 ° 角 的 各 三 角 函 数 值 ， 归 纳 如 下 ：
锐 角
3 0 °
4 5 °
1
6 0 °
3 . 解 直 角 三 角 形
在 直 角 三 角 形 中 ， 由 已 知 元 素 ( 直 角 除 外 ) 求 未 知 元 素 的 过 程 ， 叫 做 解 直 角 三 角 形 .
在 直 角 三 角 形 中 ， 除 直 角 外 ， 一 共 有 5 个 元 素 ， 即 三 条 边 和 两 个 锐 角 .
设 在 R t △ A B C 中 ， ∠ C = 9 0 ° ， ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 则 有 ：
2 2 2
① 三 边 之 间 的 关 系 ： a + b = c ( 勾 股 定 理 ) .
② 锐 角 之 间 的 关 系 ： ∠ A + ∠ B = 9 0 ° .
③ 边 角 之 间 的 关 系 ：
1 9， ， ，
， ， .
④ ， h 为 斜 边 上 的 高 .
注 意 ：
( 1 ) 直 角 三 角 形 中 有 一 个 元 素 为 定 值 ( 直 角 为 9 0 ° ) ， 是 已 知 值 .
( 2 ) 这 里 讲 的 直 角 三 角 形 的 边 角 关 系 指 的 是 等 式 ， 没 有 包 括 其 他 关 系 ( 如 不 等 关 系 ) .
( 3 ) 对 这 些 式 子 的 理 解 和 记 忆 要 结 合 图 形 ， 可 以 更 加 清 楚 、 直 观 地 理 解 .
4 . 解 直 角 三 角 形 的 应 用
（ 1 ） 坡 度 坡 角
在 用 直 角 三 角 形 知 识 解 决 实 际 问 题 时 ， 经 常 会 用 到 以 下 概 念 ：
( 1 ) 坡 角 ： 坡 面 与 水 平 面 的 夹 角 叫 做 坡 角 ， 用 字 母 表 示 .
坡 度 ( 坡 比 ) ： 坡 面 的 铅 直 高 度 h 和 水 平 距 离 的 比 叫 做 坡 度 ， 用 字 母 表 示 ， 则 ， 如 图 ， 坡
度 通 常 写 成 = ∶ 的 形 式 .
（ 2 ） 仰 角 俯 角 问 题
仰 角 、 俯 角 ： 视 线 与 水 平 线 所 成 的 角 中 ， 视 线 中 水 平 线 上 方 的 叫 做 仰 角 ， 在 水 平 线 下 方 的 叫 做 俯 角 ， 如
图 .
（ 3 ） 方 位 角 问 题
方 位 角 ： 从 某 点 的 指 北 方 向 线 按 顺 时 针 转 到 目 标 方 向 的 水 平 角 叫 做 方 位 角 ， 如 图 ① 中 ， 目 标 方 向 P A ， P B ，
P C 的 方 位 角 分 别 为 是 4 0 ° ， 1 3 5 ° ， 2 4 5 ° .
( 2 ) 方 向 角 ： 指 北 或 指 南 方 向 线 与 目 标 方 向 线 所 成 的 小 于 9 0 ° 的 水 平 角 ， 叫 做 方 向 角 ， 如 图 ② 中 的 目 标 方 向
线 O A ， O B ， O C ， O D 的 方 向 角 分 别 表 示 北 偏 东 3 0 ° ， 南 偏 东 4 5 ° ， 南 偏 西 8 0 ° ， 北 偏 西 6 0 ° . 特 别 如 ： 东
南 方 向 指 的 是 南 偏 东 4 5 ° ， 东 北 方 向 指 的 是 北 偏 东 4 5 ° ， 西 南 方 向 指 的 是 南 偏 西 4 5 ° ， 西 北 方 向 指 的 是 北
2 0偏 西 4 5 ° .
考 点 二 十 一 ： 数 据 分 析
1 . 统 计 学 中 的 几 个 基 本 概 念
1 、 总 体 ： 所 有 考 察 对 象 的 全 体 叫 做 总 体 。
2 、 个 体 ： 总 体 中 每 一 个 考 察 对 象 叫 做 个 体 。
3 、 样 本 ： 从 总 体 中 所 抽 取 的 一 部 分 个 体 叫 做 总 体 的 一 个 样 本 。
4 、 样 本 容 量 ： 样 本 中 个 体 的 数 目 叫 做 样 本 容 量 。
5 、 样 本 平 均 数 ： 样 本 中 所 有 个 体 的 平 均 数 叫 做 样 本 平 均 数 。
6 、 总 体 平 均 数
2 . 众 数 、 中 位 数
1 、 众 数 ： 在 一 组 数 据 中 ， 出 现 次 数 最 多 的 数 据 叫 做 这 组 数 据 的 众 数 。
2 、 中 位 数
将 一 组 数 据 按 大 小 依 次 排 列 ， 把 处 在 最 中 间 位 置 的 一 个 数 据 （ 或 最 中 间 两 个 数 据 的 平 均 数 ） 叫 做 这 组
数 据 的 中 位 数 。
3 . 平 均 数 与 方 差 公 式
公 式
名 称
?
1
x ? ( x ? x ? . . . ? x )
1 2 n
平 均 数
n
x w ? x w ? . . . ? x w
1 1 2 2 n n
加 权 平 均 数
w ? w ? . . . ? w
1 2 n
? ? ?
1
2 2 2 2
s ? [ ( x ? x ) ? ( x ? x ) ? . . . ? ( x ? x ) ]
1 2 n
方 差
n
几 何 部 分
考 点 二 十 二 ： 几 何 初 步
1 . 直 线 、 射 线 与 线 段 的 概 念
注 意 ： 直 线 是 可 以 向 两 边 无 限 延 伸 的 ， 射 线 受 端 点 的 限 制 ， 只 能 向 一 边 无 限 延 伸 ； 线 段 不 能 延 伸 ， 所 以 直
线 与 射 线 不 可 测 量 长 度 ， 只 有 线 段 可 以 测 量 。
2 12 . 基 本 事 实
（ 1 ） 经 过 两 点 有 一 条 直 线 ， 并 且 仅 有 一 条 直 线 ， 即 两 点 确 定 一 条 直 线
（ 2 ） 两 点 之 间 的 线 段 中 ， 线 段 最 短 ， 简 称 两 点 间 线 段 最 短
3 . 基 本 概 念
（ 1 ） 两 点 间 的 距 离 ： 两 个 端 点 之 间 的 长 度 叫 做 两 点 间 的 距 离 。
（ 2 ） 线 段 的 等 分 点 ： 把 一 条 线 段 平 均 分 成 两 份 的 点 ， 叫 做 这 个 线 段 的 中 点
4 . 双 中 点 模 型
1
C 为 A B 上 任 意 一 点 ， M 、 N 分 别 为 A C 、 B C 中 点 ， 则 M N ? A B
2
5 . 角 及 其 平 分 线
（ 1 ） 度 量 角 的 大 小 ： 可 用 “ 度 ” 作 为 度 量 单 位 。 把 一 个 圆 周 分 成 3 6 0 等 份 ， 每 一 份 叫 做 一 度 的 角 。 1 度 = 6 0
分 ； 1 分 = 6 0 秒 。
（ 2 ） 余 角 ： 若 ∠ 1 + ∠ 2 = 9 0 ° ， 则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 余 ， 若 ∠ 1 与 ∠ 2 互 余 ， 则 ∠ 1 + ∠ 2 = 9 0 ° .
（ 3 ） 补 角 ： 若 ∠ 1 + ∠ 2 = 1 8 0 ° ， 则 ∠ 1 与 ∠ 2 互 补 ， 若 ∠ 1 与 ∠ 2 互 补 ， 则 ∠ 1 + ∠ 2 = 1 8 0 ° .
性 质 ： 同 角 ( 等 角 ) 的 余 角 相 等 ． 同 角 （ 等 角 ） 的 补 角 相 等 ．
6 . 角 的 平 分 线 的 性 质
（ 1 ） 作 已 知 角 的 平 分 线 （ 已 知 ： ∠ A O B 。 求 作 ： ∠ A O B 的 平 分 线 ）
① 以 点 O 为 圆 心 ， 适 当 长 为 半 径 画 弧 ， 交 O A 于 点 M ， 交 O B 于 点 N 。
?
② 分 别 以 M , N 为 圆 心 ， 大 于 M N 的 长 为 半 径 画 弧 ， 两 弧 在 ∠ A O B 的 内 部 相 交 于 点 C 。
?
③ 画 射 线 O C ， 射 线 O C 即 为 所 求 。
角 的 平 分 线 的 性 质 ： 角 的 平 分 线 上 的 点 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 。
几 何 表 示 ： ∵ O C 是 ∠ A O B 的 平 分 线 ， P 是 O C 上 一 点 ， P D ⊥ O A ， P E ⊥ O B ， 垂 足 分 别 为 D ， E 。 ∴ P D = P E 。
7 . 角 的 平 分 线 的 判 定
角 的 内 部 到 角 的 两 边 的 距 离 相 等 的 点 在 角 的 平 分 线 上 。
几 何 表 示 ：
∵ 点 P 是 ∠ A O B 内 的 一 点 ， P D ⊥ O A ， P E ⊥ O B ， 垂 足 分 别 为 D ， E ， 且 P D = P E ，
∴ 点 P 在 ∠ A O B 的 平 分 线 O C 上 。
8 . 相 交 线
2 2
1 . 对 顶 角 ： 如 图 1 所 示 ， ∠ 1 与 ∠ 3 、 ∠ 2 与 ∠ 4 都 是 对 顶 角 。
2 . 邻 补 角 ： 如 图 2 所 示 ， ∠ 1 与 ∠ 2 互 为 邻 补 角 ， 由 平 角 定 义 可 知 ∠ 1 ＋ ∠ 2 ＝ 1 8 0 ° 。
A
A
D
1
4 2 2
O
1
3
C B
O
C B
图 1 图 2
9 . 三 线 八 角
两 条 直 线 被 第 三 条 线 所 截 ， 可 得 八 个 角 ， 即 “ 三 线 八 角 ” ， 如 图 6 所 示 。
l a b
（ 1 ） 同 位 角 ： 可 以 发 现 ∠ 1 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 同 一 侧 ， 直 线 、 的 同 一 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是
同 位 角 。 图 中 的 同 位 角 还 有 ∠ 2 与 ∠ 6 ， ∠ 3 与 ∠ 7 ， ∠ 4 与 ∠ 8 。
l a b
（ 2 ） 内 错 角 ： 可 以 发 现 ∠ 3 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 两 旁 ， 直 线 、 的 两 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是 内 错
角 。 图 中 的 内 错 角 还 有 ∠ 4 与 ∠ 6 。
l a b
（ 3 ） 同 旁 内 角 ： 可 以 发 现 ∠ 4 与 ∠ 5 都 处 于 直 线 的 同 一 侧 ， 直 线 、 的 两 方 ， 这 样 位 置 的 一 对 角 就 是
同 旁 内 角 。 图 中 的 同 旁 内 角 还 有 ∠ 3 与 ∠ 6 。
2 _
_ 1
P _
_ 4
_ 3
Q _
_ 6
_ 5
1 0 ． 垂 线 的 性 质
8 _ 7 _
（ 1 ） 在 同 一 平 面 内 ， 过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 垂 直 ．
（ 2 ） 连 接 直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 ． 简 单 说 成 ： 垂 线 段 最 短 ．
11. 垂 直 平 分 线 的 性 质
（ 1 ） 定 理 ： 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 与 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离 相 等 .
（ 2 ） 逆 定 理 ： 与 一 条 线 段 两 个 端 点 距 离 相 等 的 点 在 这 条 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 .
1 2 . 平 行 线
（ 1 ） 平 行 公 理 ： 经 过 直 线 外 一 点 ， 有 且 只 有 一 条 直 线 与 这 条 直 线 平 行 。
（ 2 ） 平 行 公 理 的 推 论 ： 如 果 两 条 直 线 都 和 第 三 条 直 线 平 行 ， 那 么 这 两 条 直 线 也 互 相 平 行 。
说 明 ： 也 可 以 说 两 条 射 线 或 两 条 线 段 平 行 ， 这 实 际 上 是 指 它 们 所 在 的 直 线 平 行 。
（ 3 ） 平 行 线 的 判 定 ：
① 同 位 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 。
② 内 错 角 相 等 ， 两 直 线 平 行 。
③ 同 旁 内 角 互 补 ， 两 直 线 平 行 。
2 3（ 4 ） 平 行 线 的 性 质
① 两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 。
② 两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相 等 。
③ 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 。
说 明 ： 要 证 明 两 条 直 线 平 行 ， 用 判 定 公 理 （ 或 定 理 ） 在 已 知 条 件 中 有 两 条 直 线 平 行 时 ， 则 应 用 性 质 定
理
1 3 . 命 题
内 容
定 义 能 判 断 一 件 事 情 的 语 句 ， 叫 做 命 题 。
命 题 由 题 设 和 结 论 两 部 分 组 成 ， 题 设 是 已 知 的 事 项 ， 结 论 是 由 已 知 事 项 推 出 来 的
组 成
事 项
通 常 可 以 写 成 “ 如 果 . . . . . . , 那 么 . . . . . . ” 的 形 式 ， “ 如 果 ” 后 接 的 部 分 是 题 设 ，
表 达 形 式
“ 那 么 ” 后 接 的 部 分 是 结 论 。
题 设 成 立 ， 结 论 也 成 立 ， 这 样 的 命 题 叫 做 真 命 题
分 类
题 设 成 立 ， 结 论 不 成 立 ， 这 样 的 命 题 叫 做 假 命 题 。
考 点 二 十 三 ： 三 角 形
1 . 三 角 形 边 角 关 系
（ 1 ） 三 边 关 系 ： 三 角 形 任 意 两 边 的 和 大 于 第 三 边 ， 任 意 两 边 的 差 小 于 第 三 边 。
（ 2 ） 三 角 形 内 角 和 定 理 ： 三 角 形 三 个 内 角 的 和 等 于 1 8 0 度 。
（ 3 ） 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 和 ； 三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 与 它 不 相 邻 的 任 何 一 个 角 。
2 . 三 角 形 的 重 要 线 段
2 43 . 三 角 形 的 内 角 和 定 理 及 推 论
① 三 角 形 内 角 和 定 理 ： 三 角 形 三 个 内 角 的 和 等 于 1 8 0 度 。
② 推 论 ： 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 和 ； 三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 与 它 不 相 邻 的 任 何 一 个
角 。
③ 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 。
考 点 二 十 四 ： 全 等 三 角 形
1 . 全 等 三 角 形 的 概 念 及 性 质
概 念 两 个 能 完 全 重 合 的 三 角 形 叫 做 全 等 三 角 形 ．
1 . 两 全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 ， 对 应 角 相 等 ．
2 . 全 等 三 角 形 的 对 应 边 上 的 高 相 等 ， 对 应 边 上 的 中 线 相 等 ， 对 应 角 的 平 分 线
相 等 ．
性 质
3 . 全 等 三 角 形 的 周 长 、 面 积 相 等 ．
2 . 全 等 三 角 形 的 判 定
模 型 一 ： 平 移 型
模 型 分 析 ： 此 模 型 特 征 是 有 一 组 边 共 线 或 部 分 重 合 ， 另 两 组 边 分 别 平 行 ， 常 要 在 移 动 的 方 向 上 加 （ 减 ） 公
共 线 段 ， 构 造 线 段 相 等 ， 或 利 用 平 行 线 性 质 找 到 对 应 角 相 等 .
模 型 示 例
2 5模 型 二 ： 轴 对 称 模 型
模 型 分 析 : 所 给 图 形 可 沿 某 一 直 线 折 叠 ， 直 线 两 旁 的 部 分 能 完 全 重 合 ， 重 合 的 顶 点 就 是 全 等 三 角 形 的 对 应 顶
点 ， 解 题 时 要 注 意 隐 含 条 件 ， 即 公 共 边 或 公 共 角 相 等 .
模 型 三 ： 旋 转 型
模 型 解 读 ： 将 三 角 形 绕 着 公 共 顶 点 旋 转 一 定 角 度 后 ， 两 个 三 角 形 能 够 完 全 重 合 ， 则 称 这 两 个 三 角 形 为 旋 转
型 三 角 形 ． 旋 转 后 的 图 形 与 原 图 形 存 在 两 种 情 况 ：
① 无 重 叠 ： 两 个 三 角 形 有 公 共 顶 点 ， 无 重 叠 部 分 ， 一 般 有 一 对 隐 含 的 等 角
② 有 重 叠 ： 两 个 三 角 形 含 有 一 部 分 公 共 角 ， 运 用 角 的 和 差 可 得 到 等 角 .
模 型 四 ： 一 线 三 垂 直 型
模 型 解 读 ： 一 线 ： 经 过 直 角 顶 点 的 直 线 ； 三 垂 直 ： 直 角 两 边 互 相 垂 直 ， 过 直 角 的 两 边 向 直 线 作 垂 直 ， 利 用
“ 同 角 的 余 角 相 等 ” 转 化 找 等 角
2 6考 点 二 十 五 ： 等 腰 三 角 形
1 . 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定
1 . 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 度 数 相 等
2 . 等 腰 三 角 形 的 顶 角 平 分 线 ， 底 边 上 的 中 线 ， 底 边 上 的 高 相 互 重 合 （ 简 写 成
性 质
“ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ” ）
3 . 等 腰 三 角 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 2 条 对 称 轴
1 . 有 两 条 边 相 等 的 三 角 形 的 等 腰 三 角 形
判 定
2 . 有 两 个 角 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形
面 积 公 式 ， 其 中 a 是 底 边 常 ， h 是 底 边 上 的 高
2 . 等 边 三 角 形 的 性 质 与 判 定
1 . 三 条 边 相 等
三 个 内 角 相 等 ， 且 每 个 内 角 都 等 于 °
2 . 6 0
性 质
3 . 等 边 三 角 形 是 轴 对 称 图 形 ， 有 3 条 对 称 轴
1 . 三 条 边 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形
2 . 三 个 角 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形
判 定
3 . 有 一 个 角 的 是 6 0 ° 的 等 腰 三 角 形 是 等 边 三 角 形
面 积 公 式 是 等 边 三 角 形 的 边 长 ， h 是 任 意 边 上 的 高
考 点 二 十 六 ： 直 角 三 角 形
两 锐 角 之 和 等 于 °
1 . 9 0
斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半
2 .
直
° 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半
3 . 3 0
4 . 若 有 一 条 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 ， 则 这 条 直 角 边 所 对 的 锐 角 等 于 3 0 °
角
性 质 （ 应 用 时 需 先 证 明 ）
勾 股 定 理 ： 若 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 分 别 为 ， 斜 边 为 则
三 5 . a b , c ,
2 2 2
? ?
a b c
角
2 71 . 有 一 个 角 为 9 0 ° 的 三 角 形 时 直 角 三 角 形
形
2 . 有 两 个 角 的 和 时 9 0 ° 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形
3 . 一 边 上 的 中 线 等 于 这 条 边 的 一 半 的 三 角 形 是 直 角 三 角 形
判 定 4 . 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a , b , c 若 满 足
2 2 2
? ?
a b c
， 那 么 这 个 三 角 形 为 直 角 三 角 形 。
1 1 ， 其 中 a 是 底 边 常 ， h s 是 底 边 上 的 高
S ? a b ? c h
2 2
面 积 公 式
2. 勾 股 定 理 及 逆 定 理
（ 1 ） 勾 股 定 理 ： 直 角 三 角 形 两 直 角 边 的 平 方 和 等 于 斜 边 的 平 方 如 图 ： 直 角 三 角 形 A B C 的 两 直 角 边 长 分 别 为
2 2 2
a ， b ， 斜 边 长 为 c ， 那 么 a ? b ? c .
2 2 2
（ 2 ） 勾 股 定 理 的 逆 定 理 ： 如 果 三 角 形 的 三 条 边 长 a ， b ， c ， 满 足 a ? b ? c ， 那 么 这 个
三 角 形 是 直 角 三 角 形 .
（ 3 ） 勾 股 数 ： 像 1 5 ， 8 ， 1 7 这 样 ， 能 够 成 为 直 角 三 角 形 三 条 边 长 的 三 个 正 整 数 ， 称 为 勾 股 数 。
勾 股 数 满 足 两 个 条 件 ：① 满 足 勾 股 定 理 ② 三 个 正 整 数
考 点 二 十 七 ： 图 形 的 相 似 与 位 似
1 . 比 例 线 段
（ 1 ） 比 例 线 段 的 相 关 概 念
a m
如 果 选 用 同 一 长 度 单 位 量 得 两 条 线 段 a ， b 的 长 度 分 别 为 m ， n ， 那 么 就 说 这 两 条 线 段 的 比 是 ? ， 或 写
b n
成 a ： b = m ： n . 在 两 条 线 段 的 比 a ： b 中 ， a 叫 做 比 的 前 项 ， b 叫 做 比 的 后 项 .
在 四 条 线 段 中 ， 如 果 其 中 两 条 线 段 的 比 等 于 另 外 两 条 线 段 的 比 ， 那 么 这 四 条 线 段 叫 做 成 比 例 线 段 ， 简 称 比
例 线 段 .
若 四 条 a ， b ， c ， d 满 足 或 a ： b = c ： d ， 那 么 a ， b ， c ， d 叫 做 组 成 比 例 的 项 ， 线 段 a ， d 叫 做 比 例 外 项 ， 线
段 b ， c 叫 做 比 例 内 项 .
a b
如 果 作 为 比 例 内 项 的 是 两 条 相 同 的 线 段 ， 即 ? 或 a ： b = b ： c ， 那 么 线 段 b 叫 做 线 段 a ， c 的 比 例 中 项 .
b c
2
（ 2 ） 比 例 的 基 本 性 质 ： ① a ： b = c ： d ? a d = b c ② a ： b = b ： c ? b ? a c .
2 8（ 3 ） 黄 金 分 割
把 线 段 A B 分 成 两 条 线 段 A C ， B C （ A C > B C ） ， 并 且 使 A C 是 A B 和 B C 的 比 例 中 项 ， 叫 做 把 线 段 A B 黄 金 分 割 ， 点
5 ? 1
C 叫 做 线 段 A B 的 黄 金 分 割 点 ， 其 中 A C = A B ≈ 0 . 6 1 8 A B .
2
2 . 相 似 图 形
（ 1 ） 相 似 图 形 ： 我 们 把 形 状 相 同 的 图 形 叫 做 相 似 图 形 . 也 就 是 说 ： 两 个 图 形 相 似 ， 其 中 一 个 图 形 可 以 看 作
由 另 一 个 图 形 放 大 或 缩 小 得 到 的 . ( 全 等 是 特 殊 的 相 似 图 形 ) .
（ 2 ） 相 似 多 边 形 ： 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等 的 两 个 多 边 形 叫 做 相 似 多 边 形 .
（ 3 ） 相 似 多 边 形 的 性 质 ：
相 似 多 边 形 的 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 成 的 比 相 等 .
相 似 多 边 形 的 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ， 相 似 多 边 形 的 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .
（ 4 ） 相 似 三 角 形 的 定 义 ： 形 状 相 同 的 三 角 形 是 相 似 三 角 形 .
（ 5 ） 相 似 三 角 形 的 性 质 ：
① 相 似 三 角 形 的 对 应 角 相 等 ， 对 应 边 的 比 相 等 .
② 相 似 三 角 形 对 应 边 上 的 高 的 比 相 等 ， 对 应 边 上 的 中 线 的 比 相 等 ， 对 应 角 的 角 平 分 线 的 比 相 等 ， 都 等
于 相 似 比 .
③ 相 似 三 角 形 的 周 长 的 比 等 于 相 似 比 ， 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 平 方 .
（ 6 ） 相 似 三 角 形 的 判 定 ：
( 1 ) 平 行 于 三 角 形 一 边 的 直 线 和 其 他 两 边 相 交 ， 所 构 成 的 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似 ；
( 2 ) 如 果 两 个 三 角 形 的 三 组 对 应 边 的 比 相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 ；
( 3 ) 如 果 两 个 三 角 形 的 两 组 对 应 边 的 比 相 等 ， 并 且 相 应 的 夹 角 相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 ；
( 4 ) 如 果 一 个 三 角 形 的 两 个 角 与 另 一 个 三 角 形 的 两 个 角 对 应 相 等 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 .
( 5 ) 如 果 一 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 与 另 一 个 三 角 形 的 斜 边 和 一 条 直 角 边 的 比 对 应 相 等 ， 那
么 这 两 个 三 角 形 相 似 .
( 7 ) 相 似 三 角 形 的 几 种 图 形
2 9( 8 ) 证 明 三 角 形 相 似 的 常 见 思 路
① 已 知 一 角 对 应 相 等 ， 可 再 找 ：
? 另 一 角 对 应 相 等
?
夹 已 知 角 的 两 边 对 应 成 比 例
?
② 已 有 两 边 对 应 成 比 例 ， 可 再 找 ：
? 这两边的夹角对应相等
?
第三边的比值与前面两 对边的比值相等
?
③ 若 两 个 三 角 形 式 等 腰 三 角 形 ， 可 再 找 ：
? 顶角对应相等
?
一底角对应相等
?
?
一腰与底边对应成比例
?
④ 若 两 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 可 再 找 ：
? 一 锐 角 对 应 相 等
?
夹 直 角 的 两 直 角 边 对 应 成 比 例
?
3 . 位 似 图 形
（ 1 ） 位 似 图 形 的 定 义
两 个 多 边 形 不 仅 相 似 ， 而 且 对 应 顶 点 的 连 线 相 交 于 一 点 ， 不 经 过 交 点 的 对 应 边 互 相 平 行 ， 像 这 样 的 两
个 图 形 叫 做 位 似 图 形 ， 这 个 点 叫 位 似 中 心 .
( 2 ) 位 似 图 形 的 分 类
① 外 位 似 ： 位 似 中 心 在 连 接 两 个 对 应 点 的 线 段 之 外 .
② 内 位 似 ： 位 似 中 心 在 连 接 两 个 对 应 点 的 线 段 上 .
( 3 ) 位 似 图 形 的 性 质
位 似 图 形 的 对 应 点 和 位 似 中 心 在 同 一 条 直 线 上 ；
位 似 图 形 的 对 应 点 到 位 似 中 心 的 距 离 之 比 等 于 相 似 比 ；
位 似 图 形 中 不 经 过 位 似 中 心 的 对 应 线 段 平 行 .
( 4 ) 作 位 似 图 形 的 步 骤
第 一 步 ： 在 原 图 上 找 若 干 个 关 键 点 ， 并 任 取 一 点 作 为 位 似 中 心 ；
3 0第 二 步 ： 作 位 似 中 心 与 各 关 键 点 连 线 ；
第 三 步 ： 在 连 线 上 取 关 键 点 的 对 应 点 ， 使 之 满 足 放 缩 比 例 ；
第 四 步 ： 顺 次 连 接 截 取 点 .
【 注 意 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 位 似 变 换 是 以 原 点 为 位 似 中 心 ， 相 似 比 为 k ， 那 么 位 似 图 形 对 应 点 的
坐 标 的 比 等 于 k 或 - k .
考 点 二 十 八 ： 多 边 形 与 平 行 四 边 形
1 . 多 边 形
（ 1 ） 定 义 ： 在 平 面 内 ， 由 一 些 段 线 首 尾 顺 次 相 接 组 成 的 封 闭 图 形 叫 做 多 边
形 ． [ 来 源 : 学 科 网 Z X X K ]
1 . 多 边 形 的 相 关 概
（ 2 ） 对 角 线 ： 从 n 边 形 的 一 个 顶 点 可 以 引 ( n － 3 ) 条 对 角 线 ，
并 且 这 些 对 角 线 把 多 边 形 分 成 了 ( n － 2 ) 个 三 角 形 ； n 边 形 对
念
n ? n ? 3 ?
角 线 条 数 为 ．
2
（ 1 ） 内 角 和 ： n 边 形 内 角 和 公 式 为 ( n － 2 ) · 1 8 0 °
2 . 多 边 形 的 内 角
和 、 外 角 和
（ 2 ） 外 角 和 ： 任 意 多 边 形 的 外 角 和 为 3 6 0 ° .
（ 1 ） 定 义 ： 各 边 相 等 ， 各 角 也 相 等 的 多 边 形 .
?
n ? 2 ? 1 8 0
? ?
（ 2 ） 正 n 边 形 的 每 个 内 角 为
n
， 每 一 个 外 角 为 3 6 0 °
3 . 正 多 边 形
/ n
（ 3 ） 正 n 边 形 有 n 条 对 称 轴 .
（ 4 ） 对 于 正 n 边 形 ， 当 n 为 奇 数 时 ， 是 轴 对 称 图 形 ； 当 n 为
偶 数 时 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 .
2 . 平 行 四 边 形 性 质
（ 1 ） 平 行 四 边 形 的 定 义 ：
两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 叫 做 平 行 四 边 形 ， 平 行 四 边 形 用 “? ” 表 示 .
（ 2 ） 平 行 四 边 形 的 性 质
① 边 ： 两 组 对 边 分 别 平 行 且 相 等 . 即 A B ∥ C D 且 A B ＝ C D ， B C ∥ A D 且 A D ＝ B C .
② 角 ： 对 角 相 等 ， 邻 角 互 补 . 即 ∠ B A D ＝ ∠ B C D ， ∠ A B C ＝ ∠ A D C ，
∠ A B C ＋ ∠ B C D ＝ 1 8 0 ° ， ∠ B A D ＋ ∠ A D C ＝ 1 8 0 ° .
③ 对 角 线 ： 互 相 平 分 . 即 O A ＝ O C ， O B ＝ O D
④ 对 称 性 ： 中 心 对 称 但 不 是 轴 对 称 .
3 1（ 3 ） 平 行 四 边 形 中 的 几 个 解 题 模 型
① 如 图 ① ， A F 平 分 ∠ B A D ， 则 可 利 用 平 行 线 的 性 质 结 合 等 角 对 等 边 得 到 △ A B F 为 等 腰 三 角 形 ，
即 A B = B F .
② 平 行 四 边 形 的 一 条 对 角 线 把 其 分 为 两 个 全 等 的 三 角 形 ， 如 图 ② 中 △ A B D ≌ △ C D B ； 两 条 对
角 线 把 平 行 四 边 形 分 为 两 组 全 等 的 三 角 形 ， 如 图 ② 中 △ A O D ≌ △ C O B , △ A O B ≌ △ C O D ；
根 据 平 行 四 边 形 的 中 心 对 称 性 ， 可 得 经 过 对 称 中 心 O 的 线 段 与 对 角 线 所 组 成 的 居 于 中
心 对 称 位 置 的 三 角 形 全 等 ， 如 图 ② △ A O E ≌ △ C O F . 图 ② 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 平 行 四 边
形 面 积 的 一 半 .
③ 如 图 ③ ， 已 知 点 E 为 A D 上 一 点 ， 根 据 平 行 线 间 的 距 离 处 处 相 等 ， 可 得
S = S + S .
△ B E C △ A B E △ C D E
④ 如 图 ④ ， 根 据 平 行 四 边 形 的 面 积 的 求 法 ， 可 得 A E · B C = A F · C D
3 . 平 行 四 边 形 的 判 定
（ 1 ） 方 法 一 （ 定 义 法 ） ： 两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
即 若 A B ∥ C D ， A D ∥ B C ， 则 四 边 形 A B C D 是 □ .
（ 2 ） 方 法 二 ： 两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
即 若 A B ＝ C D ， A D ＝ B C ， 则 四 边 形 A B C D 是 □ .
（ 3 ） 方 法 三 ： 有 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
即 若 A B ＝ C D ， A B ∥ C D ， 或 A D = B C , A D ∥ B C , 则 四 边 形 A B C D 是 □ .
（ 4 ） 方 法 四 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
即 若 O A ＝ O C ， O B ＝ O D ， 则 四 边 形 A B C D 是 □ .
（ 5 ） 方 法 五 ： 两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形
若 ∠ A B C ＝ ∠ A D C ， ∠ B A D ＝ ∠ B C D ， 则 四 边 形 A B C D 是 □ .
4 . 三 角 形 的 中 位 线
三 角 形 中 位 线 ： 在 △ A B C 中 ， D ， E 分 别 是 A C ， A C 的 中 点 ， 连 接 D E . 像 D E 这 样 ，
连 接 三 角 形 _ 两 边 中 点 的 线 段 叫 做 三 角 形 的 中 位 线 . B
中 位 线 定 理 ： 三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 三 角 形 的 第 三 边 ， 并 且 等 于 第 三 边 的 二 分 之 一 。
3 2考 点 二 十 九 ： 特 殊 平 行 四 边 形
1 . 矩 形 的 性 质 和 判 定
（ 1 ） 性 质 ： 矩 形 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 ， 它 具 有 平 行 四 边 形 的 所 有 性 质 ， 还 具 有 自 己 独 特 的 性 质 ：
① 边 的 性 质 ： 对 边 平 行 且 相 等 ．
② 角 的 性 质 ： 四 个 角 都 是 直 角 ．
③ 对 角 线 性 质 ： 对 角 线 互 相 平 分 且 相 等 ．
④ 对 称 性 ： 矩 形 是 中 心 对 称 图 形 ， 也 是 轴 对 称 图 形 ．
直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 ．
直 角 三 角 形 中 ， 3 0 ? 角 所 对 的 边 等 于 斜 边 的 一 半 ．
2 . 矩 形 的 判 定
判 定 ① ： 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ．
判 定 ② ： 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ．
判 定 ③ ： 有 三 个 角 是 直 角 的 四 边 形 是 矩 形 ．
3 . 菱 形 的 性 质
（ 1 ） 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 ；
（ 2 ） 菱 形 的 两 条 对 角 线 互 相 垂 直 ， 并 且 每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 。
4 . 菱 形 的 判 定 定 理
（ 1 ） 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ；
（ 2 ） 对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ；
（ 3 ） 四 条 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 。
5 . 菱 形 的 面 积
S = a h = m n / 2 （ 菱 形 底 边 长 为 a ， 高 为 h ， 两 条 对 角 线 长 分 别 为 m 和 n ）
6 . 正 方 形 的 性 质 ：
1 、 正 方 形 具 有 平 行 四 边 形 和 菱 形 的 所 有 性 质 。
2 、 正 方 形 的 四 个 角 都 是 直 角 ， 四 条 边 都 相 等 。
3 、 正 方 形 对 边 平 行 且 相 等 。
4 、 正 方 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 ， 对 角 线 平 分 对 角 ；
5 、 正 方 形 的 两 条 对 角 线 把 正 方 形 分 成 四 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ； 6 、 正 方 形 既 是 中 心 对 称 图 形 ， 也 是 轴
对 称 图 形 .
3 37 . 正 方 形 的 判 定 ：
1 ） 有 一 个 角 是 直 角 的 菱 形 是 正 方 形 ；
2 ） 对 角 线 相 等 的 菱 形 是 正 方 形 ；
3 ） 一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形 ；
4 ） 对 角 线 互 相 垂 直 的 矩 形 是 正 方 形 ；
5 ） 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 的 四 边 形 是 正 方 形 ；
6 ） 四 条 边 都 相 等 ， 四 个 角 都 是 直 角 的 四 边 形 是 正 方 形 .
1
正 方 形 的 面 积 公 式 ： 面 积 = 边 长 × 边 长 = 对 角 线 × 对 角 线
2
3 4考 点 三 十 ： 圆 的 基 本 性 质
1 . 圆 的 定 义 及 性 质
圆 的 定 义 ： 在 一 个 平 面 内 ， 线 段 O A 绕 它 固 定 的 一 个 端 点 O 旋 转 一 周 ， 另 一 个 端 点 A 所 形
成 的 图 形 叫 圆 。 这 个 固 定 的 端 点 O 叫 做 圆 心 ， 线 段 O A 叫 做 半 径 。
圆 的 表 示 方 法 ： 以 O 点 为 圆 心 的 圆 记 作 ⊙ O ， 读 作 圆 O 。
圆 的 特 点 ： 在 一 个 平 面 内 ， 所 有 到 一 个 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 组 成 的 图 形 。
圆 的 对 称 性 ： 1 ） 圆 是 轴 对 称 图 形 ， 经 过 圆 心 的 每 一 条 直 线 都 是 它 的 对 称 轴 ；
2 ） 圆 是 以 圆 心 为 对 称 中 心 的 中 心 对 称 图 形 。
2 . 圆 的 有 关 概 念
弦 的 概 念 ： 连 结 圆 上 任 意 两 点 的 线 段 叫 做 弦 ( 例 如 ： 右 图 中 的 A B ) 。
直 径 的 概 念 ： 经 过 圆 心 的 弦 叫 做 直 径 （ 例 如 ： 右 图 中 的 C D ） 。
备 注 ： 1 ） 直 径 是 同 一 圆 中 最 长 的 弦 。 2 ） 直 径 长 度 等 于 半 径 长 度 的 2 倍 。
弧 的 概 念 ： 圆 上 任 意 两 点 间 的 部 分 叫 做 圆 弧 ， 简 称 弧 。 以 A 、 B 为 端 点 的 弧 记 作 A B ， 读 作 圆 弧 A B 或 弧 A B 。
等 弧 的 概 念 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 能 够 互 相 重 合 的 弧 叫 做 等 弧 。
半 圆 的 概 念 ： 圆 的 任 意 一 条 直 径 的 两 个 端 点 把 圆 分 成 两 条 弧 ， 每 一 条 弧 都 叫 做 半 圆 。
优 弧 的 概 念 ： 在 一 个 圆 中 大 于 半 圆 的 弧 叫 做 优 弧 。
劣 弧 的 概 念 ： 小 于 半 圆 的 弧 叫 做 劣 弧 。
3 . 垂 径 定 理
垂 径 定 理 ： 垂 直 于 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦 ， 并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 。
推 论 1 ： 1 ） 平 分 弦 （ 不 是 直 径 ） 的 直 径 垂 直 于 弦 ， 并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 ；
2 ） 弦 的 垂 直 平 分 线 经 过 圆 心 ， 并 且 平 分 弦 所 对 的 两 条 弧 ；
3 ） 平 分 弦 所 对 的 一 条 弧 的 直 径 垂 直 平 分 弦 ， 并 且 平 分 弦 所 对 的 另 一 条 弧 。
推 论 2 ： 圆 的 两 条 平 行 弦 所 夹 的 弧 相 等 。
R t △
常 见 辅 助 线 做 法 （ 考 点 ） ： 1 ） 过 圆 心 ， 作 垂 线 ， 连 半 径 ， 造 ， 用 勾 股 ， 求 长 度 ；
2 ） 有 弧 中 点 ， 连 中 点 和 圆 心 ， 得 垂 直 平 分
E
4 . 垂 径 定 理 的 应 用
F
O
D
5 . 圆 心 角 的 概 念
A
C
B
圆 心 角 概 念 ： 顶 点 在 圆 心 的 角 叫 做 圆 心 角 。
弧 、 弦 、 弦 心 距 、 圆 心 角 之 间 的 关 系 定 理 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 相 等 的 圆 心 角 所 对 的 弧 相 等 ， 所 对 的 弦 相 等 ，
所 对 的 弦 的 弦 心 距 相 等 。
推 论 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 个 圆 心 角 、 两 条 弧 、 两 条 弦 或 两 条 弦 的 弦 心 距 中 有 一 组 量 相 等 ， 那 么 它 们
3 5
C
所 对 应 的 其 余 各 组 量 分 别 相 等 。
6 . 圆 角 角 的 概 念
B O
圆 周 角 概 念 ： 顶 点 在 圆 上 ， 并 且 两 边 都 和 圆 相 交 的 角 叫 做 圆 周 角 。
A
圆 周 角 定 理 ： 一 条 弧 所 对 的 圆 周 角 等 于 它 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 。 （ 即 ： 圆 周 角
1
D
= 圆 心 角 ） C
2
推 论 1 ： 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 。
B O
在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 个 圆 周 角 相 等 ， 它 们 所 对 的 弧 一 定 相 等 。
A
推 论 2 ： 半 圆 （ 或 直 径 ） 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ， 9 0 ° 的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 。
推 论 3 ： 如 果 三 角 形 一 边 上 的 中 线 等 于 这 边 的 一 半 ， 那 么 这 个 三 角 形 是 直 角 三 角 形 。
考 点 7 ： 圆 内 接 四 边 形
圆 的 内 接 四 边 形 定 理 ： 圆 的 内 接 四 边 形 的 对 角 互 补 ， 外 角 等 于 它 的 内 对 角 。
即 ： 在 ⊙ O 中 ， ∵ 四 边 A B C D 是 内 接 四 边 形
∴ ? C ? ? B A D ? 1 8 0 ? ? B ? ? D ? 1 8 0 ?
? D A E ? ? C
D
C
C
C
B
B A
E
A
O
B A
O
考 点 三 十 一 ： 与 圆 有 关 的 位 置 关 系
1 . 点 与 圆 的 位 置 关 系
设 ⊙ O 的 半 径 是 r ， 点 P 到 圆 心 O 的 距 离 为 d ， 则 有 ：
d < r ? 点 P 在 ⊙ O 内 ；
d = r ? 点 P 在 ⊙ O 上 ；
d > r ? 点 P 在 ⊙ O 外 。
2 . 直 线 与 圆 的 位 置 关 系
1 、 直 线 与 圆 相 离 ? d ? r ? 无 交 点 ；
2 、 直 线 与 圆 相 切 ? d ? r ? 有 一 个 交 点 ；
3 、 直 线 与 圆 相 交 ? d ? r ? 有 两 个 交 点 ；
3 6
r
r
d d = r
d
3 . 切 线 的 性 质 与 判 定 定 理
（ 1 ） 切 线 的 判 定 定 理 ： 过 半 径 外 端 且 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 切 线 ；
两 个 条 件 ： 过 半 径 外 端 且 垂 直 半 径 ， 二 者 缺 一 不 可
即 ： ∵ M N ? O A 且 M N 过 半 径 O A 外 端
O
∴ M N 是 ⊙ O 的 切 线
( 2 ) 性 质 定 理 ： 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 （ 如 上 图 ）
M N
A
推 论 1 ： 过 圆 心 垂 直 于 切 线 的 直 线 必 过 切 点 。
推 论 2 ： 过 切 点 垂 直 于 切 线 的 直 线 必 过 圆 心 。
以 上 三 个 定 理 及 推 论 也 称 二 推 一 定 理 ：
即 ： ① 过 圆 心 ； ② 过 切 点 ； ③ 垂 直 切 线 ， 三 个 条 件 中 知 道 其 中 两 个 条 件 就 能 推 出 最 后 一 个 。
4 . 切 线 长 定 理
切 线 长 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 切 线 ， 它 们 的 切 线 长 相 等 ， 这 点 和 圆 心 的 连 线 平 分 两 条 切 线 的 夹 角 。
即 ： ∵ P A 、 P B 是 的 两 条 切 线
B
∴ P A ? P B ； P O 平 分 ? B P A
5 . 三 角 形 的 内 切 圆 和 内 心
（ 1 ） 三 角 形 的 内 切 圆
O
P
与 三 角 形 的 各 边 都 相 切 的 圆 叫 做 三 角 形 的 内 切 圆 。
A
（ 2 ） 三 角 形 的 内 心
三 角 形 的 内 切 圆 的 圆 心 是 三 角 形 的 三 条 内 角 平 分 线 的 交 点 ， 它 叫 做 三 角 形 的 内 心 。
注 意 ： 内 切 圆 及 有 关 计 算 。
（ 1 ） 三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 是 三 个 内 角 平 分 线 的 交 点 ， 它 到 三 边 的 距 离 相 等 。
a ? b ? c
（ 2 ） △ A B C 中 ， ∠ C = 9 0 ° ， A C = b ， B C = a ， A B = c ， 则 内 切 圆 的 半 径 r = 。
2
1
（ 3 ） S = r ( a ? b ? c ) ， 其 中 a ， b ， c 是 边 长 ， r 是 内 切 圆 的 半 径 。
△ A B C
2
A D
（ 4 ） 弦 切 角 ： 角 的 顶 点 在 圆 周 上 ， 角 的 一 边 是 圆 的 切 线 ， 另 一 边 是 圆 的 弦 。
O
如 图 ， B C 切 ⊙ O 于 点 B ， A B 为 弦 ， ∠ A B C 叫 弦 切 角 ， ∠ A B C = ∠ D 。
B
3 7名 称 外 接 圆 内 切 圆
经 过 三 角 形 各 顶 点 的 圆 ； 外 心 是 三 角 与 三 角 形 各 边 都 相 切 的 圆 ； 内 心 是 三 角 形 三
描 述 形 三 边 中 垂 线 的 交 点 条 角 平 分 线 的 交 点
三 角 形 的 外 心 三 角 形 的 内 心
圆 心 名 称
图 形
三 角 形 外 心 到 三 角 形 各 顶 点 的 距 离 相 三 角 形 的 内 心 到 三 角 形 各 边 的 距 离 相 等
性 质
等
规 律 与 方 法 ：
c
? ?
( 1 ) 直 角 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 等 于 斜 边 的 一 半 ， 内 切 圆 的 半 径 等 于 两 直 角 边 之 和 减 去 斜 边 的 一 半
r ?
? ?
2
? ?
a ? b ? c
? ?
.
r ?
? ?
2
? ?
2 S
? A B C
( 2 ) 巧 求 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 ： （ a 、 b 、 c 分 别 为 ? A B C 的 三 边 长 ）
r ?
a ? b ? c
考 点 三 十 二 ： 与 圆 有 关 的 计 算
1 . 弧 长 与 扇 形 面 积
n r ?
弧 长 公 式 ： （ n 为 扇 形 圆 心 角 度 数 ， r 为 扇 形 半 径 ）
l ?
1 8 0
2
n π r 1
扇 形 面 积 公 式 ： S = = l r （ n 为 扇 形 圆 心 角 度 数 ； r 为 扇 形 半 径 ； l 是 扇 形 的 弧 长 ）
3 6 0 2
2 . 弓 形 的 面 积
弦 和 弦 所 对 的 弧 所 围 成 的 图 形 叫 做 弓 形 ， 利 用 扇 形 的 面 积 和 三 角 形 的 面 积 可 求 弓 形 的 面 积
如 图 ① ， 当 弓 形 A B M 所 含 的 弧 是 劣 弧 时 ， ;
S ? S ? S
弓 形 ? A B O
扇 形 O A M B
如 图 ② ， 当 弓 形 A B M 所 含 的 弧 是 优 弧 时 ， ；
S ? S ? S
? A B O
弓 形 扇 形 O A M B
1
如 图 ③ ， 当 弓 形 A B M 所 含 的 弧 是 半 圆 时 ，
S ? S
弓 形 圆
2
3 83 . 圆 锥 的 侧 面 积 和 全 面 积
1
如 右 图 ， 若 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r ， 母 线 长 为 l ， 则 ；
S ? l ? 2 ? r ? ? r l
侧
2
2
S ? S ? S ? ? r l ? ? r ? ? r ? ? l ? r ?
全 侧 底
考 点 三 十 三 ： 概 率 及 其 计 算
m
( 1 ) 公 式 法 ： ； ( 2 ) 列 举 法 ； （ 3 ） 树 状 图 法
P ? A ? ?
n
规 律 与 方 法 ：
利 用 列 表 法 和 树 状 图 法 求 概 率 的 关 键
（ 1 ） 注 意 各 种 情 况 出 现 的 可 能 性 务 必 相 同 ；
某一事件发生的次数
（ 2 ） 其 中 某 一 事 件 发 生 的 概 率 =
各种情况出现的次数
在 考 查 各 种 情 况 出 现 的 次 数 和 某 一 事 件 发 生 的 次 数 时 不 能 重 复 也 不 能 遗 漏 .
考 点 三 十 四 ： 图 形 变 换
1 . 平 移
1 、 定 义
把 一 个 图 形 整 体 沿 某 一 方 向 移 动 ， 会 得 到 一 个 新 的 图 形 ， 新 图 形 与 原 图 形 的 形 状 和 大 小 完 全 相 同 ， 图
形 的 这 种 移 动 叫 做 平 移 变 换 ， 简 称 平 移 。
2 、 性 质
（ 1 ） 平 移 不 改 变 图 形 的 大 小 和 形 状 ， 但 图 形 上 的 每 个 点 都 沿 同 一 方 向 进 行 了 移 动
（ 2 ） 连 接 各 组 对 应 点 的 线 段 平 行 （ 或 在 同 一 直 线 上 ） 且 相 等 。
2 . 轴 对 称
（ 1 ） 定 义
把 一 个 图 形 沿 着 某 条 直 线 折 叠 ， 如 果 它 能 够 与 另 一 个 图 形 重 合 ， 那 么 就 说 这 两 个 图 形 关 于 这 条 直 线 成
轴 对 称 ， 该 直 线 叫 做 对 称 轴 。
（ 2 ） 性 质
① 关 于 某 条 直 线 对 称 的 两 个 图 形 是 全 等 形 。
② 如 果 两 个 图 形 关 于 某 直 线 对 称 ， 那 么 对 称 轴 是 对 应 点 连 线 的 垂 直 平 分 线 。
③ 两 个 图 形 关 于 某 直 线 对 称 ， 如 果 它 们 的 对 应 线 段 或 延 长 线 相 交 ， 那 么 交 点 在 对 称 轴 上 。
( 3 ) 判 定
如 果 两 个 图 形 的 对 应 点 连 线 被 同 一 条 直 线 垂 直 平 分 ， 那 么 这 两 个 图 形 关 于 这 条 直 线 对 称 。
( 4 ) 轴 对 称 图 形
把 一 个 图 形 沿 着 某 条 直 线 折 叠 ， 如 果 直 线 两 旁 的 部 分 能 够 互 相 重 合 ， 那 么 这 个 图 形 叫 做 轴 对 称 图 形 ，
这 条 直 线 就 是 它 的 对 称 轴 。
3 93 . 旋 转
( 1 ) 定 义
把 一 个 图 形 绕 某 一 点 O 转 动 一 个 角 度 的 图 形 变 换 叫 做 旋 转 ， 其 中 O 叫 做 旋 转 中 心 ， 转 动 的 角 叫 做 旋 转 角 。
( 2 ) 性 质
① 对 应 点 到 旋 转 中 心 的 距 离 相 等 。 ② 对 应 点 与 旋 转 中 心 所 连 线 段 的 夹 角 等 于 旋 转 角 。
4 . 中 心 对 称
( 1 ) 定 义
把 一 个 图 形 绕 着 某 一 个 点 旋 转 1 8 0 ° ， 如 果 旋 转 后 的 图 形 能 够 和 原 来 的 图 形 互 相 重 合 ， 那 么 这 个 图 形 叫
做 中 心 对 称 图 形 ， 这 个 点 就 是 它 的 对 称 中 心 。
( 2 ) 性 质
① 关 于 中 心 对 称 的 两 个 图 形 是 全 等 形 。
② 关 于 中 心 对 称 的 两 个 图 形 ， 对 称 点 连 线 都 经 过 对 称 中 心 ， 并 且 被 对 称 中 心 平 分 。
③ 关 于 中 心 对 称 的 两 个 图 形 ， 对 应 线 段 平 行 （ 或 在 同 一 直 线 上 ） 且 相 等 。
( 3 ) 判 定
如 果 两 个 图 形 的 对 应 点 连 线 都 经 过 某 一 点 ， 并 且 被 这 一 点 平 分 ， 那 么 这 两 个 图 形 关 于 这 一 点 对 称 。
( 4 ) 中 心 对 称 图 形
把 一 个 图 形 绕 某 一 个 点 旋 转 1 8 0 ° ， 如 果 旋 转 后 的 图 形 能 够 和 原 来 的 图 形 互 相 重 合 ， 那 么 这 个 图 形 叫 做
中 心 对 称 图 形 ， 这 个 点 就 是 它 的 对 称 中 心 。
5 . 坐 标 系 中 对 称 点 的 特 征
( 1 ) 关 于 原 点 对 称 的 点 的 特 征
两 个 点 关 于 原 点 对 称 时 ， 它 们 的 坐 标 的 符 号 相 反 ， 即 点 P （ x ， y ） 关 于 原 点 的 对 称 点 为 P ’ （ - x ， - y ）
（ 2 ） 关 于 x 轴 对 称 的 点 的 特 征
两 个 点 关 于 x 轴 对 称 时 ， 它 们 的 坐 标 中 ， x 相 等 ， y 的 符 号 相 反 ， 即 点 P （ x ， y ） 关 于 x 轴 的 对 称 点 为
P ’ （ x ， - y ）
（ 3 ） 关 于 y 轴 对 称 的 点 的 特 征
两 个 点 关 于 y 轴 对 称 时 ， 它 们 的 坐 标 中 ， y 相 等 ， x 的 符 号 相 反 ， 即 点 P （ x ， y ） 关 于 y 轴 的 对 称 点 为
P ’ （ - x ， y ）
4 0考点 三十 五：教 材上 没有的 公式
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