Jacobi 松弛法Jacobi 松弛法是一种迭代方法，用于解线性方程组。在每次迭代中，Jacobi方法将方程组中的每个变量分别表示为其他变量的线性组合，并利用这些线性组合来更新每个变量的值。松弛法是Jacobi方法的一种改进，它引入了一个松弛因子，可以加快收敛速度。
已知求解线性方程组 的迭代格式: (1) 求此迭代法的迭代矩阵 ； (2) 当 是严格行对角占优矩阵, 时, 给出 表达式, 并证明此时迭代格式收敛. (1) 要求迭代矩阵 ，我们首先需要明确分解系数矩阵 为 ，其中 是 的对角部分， 是严格下三角部分 (所有上三角元素为0)， 是严格上三角部分（所有下三角元素为 . 将迭代格式重写为更符合矩阵运算的形式: 展开后得到： 因此. (2) 将 代入得： 其中矩阵 由是严格行对角占优知 当 时 再由范数的的齐次性及三角不等式可得： 此时迭代格式收敛得证.
上面的问题实质上是对Jacobi 迭代法引进迭代参数以此加快迭代速度，与Gauss-Seidel方法(SOR)类似, 相比之下Jacobi 的松弛法更加简单. 若求解的Jacobi 方法收敛，则Jacobi 松弛法收敛的充分必要条件是. 下面证明对任意都有Jacobi 松弛法收敛. 证明：令 分别为 和 的特征值. 由 可以导出 令 , 则由 Jacobi 方法收敛的假设可知 . 于是对 有 所以 Jacobi 松弛法收敛. 证毕. %%%%%%LaTeX代码（放Markdown里直接查阅）%%%%%%
# Jacobi 松弛法
Jacobi 松弛法是一种迭代方法，用于解线性方程组。在每次迭代中，Jacobi方法将方程组中的每个变量分别表示为其他变量的线性组合，并利用这些线性组合来更新每个变量的值。松弛法是Jacobi方法的一种改进，它引入了一个松弛因子，可以加快收敛速度。
---已知求解线性方程组 $ \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b} $ 的迭代格式:$$x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}+\frac{\mu}{a_{i i}}\left(b_{i}-\sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}^{(k)}\right), i=1,2, \ldots n$$(1) 求此迭代法的迭代矩阵 $ \boldsymbol{M}(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U}) $ ；
(2) 当 $ A $ 是严格行对角占优矩阵, $ {\mu}={0 . 5} $ 时, 给出 $\|\boldsymbol{M}\|_{\infty}$ 表达式, 并证明此时迭代格式收敛.
(1) 要求迭代矩阵 $ M $ ，我们首先需要明确分解系数矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 为 $ \boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U} $ ，其中 $ \boldsymbol{D} $ 是 $ \boldsymbol{A} $ 的对角部分， $ \boldsymbol{L} $ 是严格下三角部分 (所有上三角元素为0)， $ \boldsymbol{U} $ 是严格上三角部分（所有下三角元素为 $ 0) $ .
将迭代格式重写为更符合矩阵运算的形式:$$\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{x}^{(k)}+\mu \boldsymbol{D}^{-1}\left(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}^{(k)}\right)$$展开后得到：$$\boldsymbol{x}^{(k+1)}=(\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}^{(k)}+\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{b}$$因此$\boldsymbol{M}=\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A}$.
(2) 将 $ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U} $ 代入$\boldsymbol{M}$得：$$\begin{aligned}\boldsymbol{M}&=\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1}(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{L}-\boldsymbol{U}) \\&=\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{D}+\mu \boldsymbol{D}^{-1}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{U})\\&=I-\mu I+\mu \boldsymbol{D}^{-1}(\boldsymbol{D}-\boldsymbol{A}) \\&=(1-\mu) \boldsymbol{I}+\mu( \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A}) \end{aligned}$$其中矩阵$$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}0 & -\frac{a_{12}}{a_{11}} & \cdots & -\frac{a_{1 n}}{a_{11}} \\-\frac{a_{21}}{a_{22}} & 0 & \cdots & -\frac{a_{2 n}}{a_{22}} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\-\frac{a_{n 1}}{a_{n n}} & -\frac{a_{n 2}}{a_{n n}} & \cdots & 0\end{array}\right)$$
由$\boldsymbol{A}$是严格行对角占优知$$\left\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{A}\right\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}} \frac{\left|a_{i j}\right|}{\left|a_{i i}\right|}=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \frac{\sum\limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\left|a_{i j}\right|}{\left|a_{i i}\right|}<1$$当$ {\mu}={0 . 5} $ 时 $$\|\boldsymbol{M}\|_{\infty}=\|\frac12\boldsymbol{I} +\frac12( \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A}) \|_{\infty}$$再由范数的的齐次性及三角不等式可得：$$\|\boldsymbol{M}\|_{\infty}=\|\frac12\boldsymbol{I} +\frac12( \boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A}) \|_{\infty}\leqslant \frac12 \|I\|_{\infty}+\frac12 \|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A}\|_{\infty}<\frac 12\cdot1+\frac 12\cdot1=1$$ 此时迭代格式收敛得证. --- 上面的问题实质上是对Jacobi 迭代法引进迭代参数以此加快迭代速度，与Gauss-Seidel方法(SOR)类似, 相比之下Jacobi 的松弛法更加简单.
若求解$\boldsymbol{Ax=b}$的Jacobi 方法收敛，则Jacobi 松弛法收敛的充分必要条件是$\rho(\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A})<1$.$$\boldsymbol{x}^{(k+1)}=(\boldsymbol{I}-\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{A})\boldsymbol{x}^{(k)}+\mu \boldsymbol{D}^{-1}\boldsymbol{b}$$下面证明对任意$0<\mu\leqslant1$都有Jacobi 松弛法收敛.
证明： 令 $ \lambda_{j}, \lambda_{j}^{'}(j=1, \cdots, n) $ 分别为 $ I-D^{-1} A $ 和 $ I-\mu D^{-1} A $ 的特征值. 由$$I-\mu D^{-1} A=\mu\left(I-D^{-1} A\right)+(1-\mu) I$$可以导出$$\lambda_{j}^{'}=\mu \lambda_{j}+(1-\mu) .$$
令 $ \lambda_{j}=r_{j} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_{j}} $, 则由 Jacobi 方法收敛的假设可知 $ r_{j}<1 $. 于是对 $ 0<\mu \leqslant 1 $ 有$$\left|\lambda_{j}^{'}\right|^{2}=\left|\mu r_{j} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta_{j}}+1-\mu\right|^{2} \leqslant\left(1-\mu+\mu r_{j}\right)^{2}<1,$$所以 Jacobi 松弛法收敛. 证毕.
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