傅里叶变换——数学的瑞士军刀

压缩图像、寻找系外行星、消除声音信号中的噪声以及分析物质的分子含量有什么共同点？这些看似无关的任务可以使用相同的数学工具来解决：傅立叶变换，在这期推送中，我们将了解什么是傅立叶变换以及它为何如此通用。

傅里叶变换简介

在音乐中，每个音符都有一个频率。在第4个八度音程中，A的频率为440Hz，C的频率为261.63Hz。从物理上讲，这两个音符都是简单的正弦波。然而，同时弹奏这两个音符，产生的波形是 A 和 C 的某种组合，这是一个更复杂的波形，如下所示。

现在让我们将这个新的“A+C”波输入傅里叶变换。我们得到的回报是一个新的波形，其中两个峰值分别对应于 A 和 C 的频率。

因此，傅立叶变换使我们能够获取复杂的波并提取组成它的原子频率。形式上，我们将原始波从时空空间变换到频率空间。我们将会看到这个简单的想法有很多应用！

使用傅里叶变换压缩图像

我们可以利用傅里叶变换来压缩图像。以一幅黑白图像为例，我们可以将这幅图像视为一个二维波。像素越亮，其振幅就越高。例如，猫眼中明亮的反光相对于瞳孔的黑暗，具有更高的振幅。

我们可以观察到图像的某些部分比其他部分包含更多细节。比起猫的鼻子，其毛发的亮度变化更加频繁。因此，当我们将图像视为波时，细节丰富的区域对应着高频波。而亮度变化不大的区域对应着低频波。

因此，图像的细节越丰富，它就包含更多的高频波。压缩图像的一种方式就是去除这些高频波。只保留低频波，我们得到的图像细节较少，但占用的内存也更小。

由于图像可以被视为波，使用傅里叶变换，我们可以将图像转换成其组成的频率。现在我们处于频率空间，可以简单地选择并去除高频波。然后，我们可以将剩余的组成频率转换回图像。这就是JPG压缩图像的方式！

下面是一幅猫的图像，我们移除了超过90%的高频部分。图像的质量降低了，但内存大小从160KB减少到了4KB。你可以看到，猫毛发的单独细丝已不再可见，但我们仍然能认出这是一只猫。

傅里叶变换的其他应用

傅里叶变换还可以用来寻找系外行星！当两个天体相互绕行时，它们实际上是围绕共同的质心运动。因此，当一个行星绕着恒星运行时，我们可以观察到恒星的摆动。如果有多个行星，每一个都会以不同的方式使恒星摆动。我们观察一颗恒星，就可以看到这种摆动，并将其转换成波形。

如果我们对这种波形应用傅里叶变换，提取出的每个频率都对应一个行星。更靠近恒星的行星运行得更快，产生更高的频率。每个频率的振幅还可以告诉我们恒星与行星质量之间的比率，因为更大质量的行星会导致恒星摆动得更加明显。

在分子分析中，我们可以将一束光线照射到物质上，并分析反射光。由于光是波动，傅里叶变换在这里也非常有用！不同的原子和分子会吸收和反射不同种类的光。因此，通过对反射光应用傅里叶变换，我们可以提取组成这束光的频率，每个频率对应于组成该物质的特定元素。这个过程称为光谱分析。

最后，在信号处理中，噪声通常对应于较高的频率。我们可以利用傅里叶变换转换信号，并轻松去除这些频率。然后我们可以将信号转换回原来的空间，这样就去除了噪声。这称为低通滤波器。这种方法用于清理在嘈杂环境中录制的麦克风声音，或者用来清理处理器内部的电信号。

结论

傅立叶变换就像是数学上的瑞士军刀，它们几乎可以用于任何领域，从图像处理到寻找系外行星和分析物质的化学成分。也许是迄今为止最重要的数学发现之一。