中考压轴题：二次函数中动点问题灵感怎么来？如何成为数学翘楚

看到压轴题三个字，很多人是不是觉得这种题跟自己无缘，这是学霸的专属？我向来不喜欢花里胡哨的技巧，学霸也不是靠技巧取胜。当然，有些人会产生误会，比如，有些学霸在解题过程中的确会使用一些技巧，他们就以为学霸是在学习技巧。实际上，他们搞错了一个情况，那就是学霸的技巧是经过自己的思考提炼出来的，是在夯实了基础之后可以自己推导公式，推导概念之后形成的技巧，他们知道自己总结的技巧的适用范围，然而，很多人不知道这背后的原理，只是依葫芦画瓢，最后也只是画虎类犬罢了，更可笑的是，网上一些号称教出了985学生的人就是在画皮。

如图所示，抛物线y=ax^2+bx+c 经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3)，抛物线与x轴的另一个交点为点E。经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F。点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t。（1）求抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；

据说这是一道山东潍坊2017年的中考二次函数压轴题。难度看似很高，实则小学生就能分析出解题思路。

第一问比较简单，直接把A、B、D三点坐标代入y=ax^2+bx+c 即可算出a，b，c的值。y=-x^2+2x+3 。

我们重点看第二个问题。第二个问题何时

△PFE的面积最大？因为直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，所以l必过其对称中心（1/2，3/2），由于E点是抛物线交于x轴，E点坐标为（3，0）。由此，可以得出直线l的解析式为 y=-3/5x+9/5。

由于，我们目的是求三角形PFE面积最大时P点的坐标，FE是定长。如图1所示，过P点作三角形的高。所以，S△PFE=1/2PG·EF 。到了这一步，我们似乎无法进行下去了，因为G点也是动点，不方便求解，或者说PG的长度很难求出来。

图1

PG的长度虽然不方便求解，但还是可以求解的，只是过程有点麻烦。过P点作x轴的垂线，如图2所示。因为直线l的解析式已知，所以，直线l的斜率是可解的，所以， PG=PM·sin∠PMG。

的确，按照这个思路依然是可以走下去的，但是你会发现求PG变得特别的复杂，所以，这个方案我们暂时也会放弃。

图2

通过这个辅助线，可以很直观地观察到三角形PFE是由两个小三角形拼接而成的，分别是三角形PFM和三角形PME。

所以，S△PFE=S△PFM+S△PME=1/2PM·FN+1/2PM· HE=1/2PM(FN+HE) 。到了这一步已经一目了然了，最终问题就转化为使得PM达到最大值时的P点的坐标，由于P点在抛物线上，所以点P（t, -t^2+2t+3）,点M（t, -3/5t+9/5）。

所以，PM= -t^2+13/5t+6/5。最大值通过配方写出二次函数的顶点式即可得出。

这道题的分析就到这里结束了。我在前面的文章中写过一个思考问题的思维模型甚至没有派上用场，因为实在是很简单，我很怀疑这是不是压轴题。既然提到了思维模型，我就再写一下,实际上这个思维模型是从归纳推理这个思维模型演变而来，归纳推理我们习惯从特殊情况总结出一般规律，加以证明，然后推而广之：（1）把可能会用到的相关的知识点先写在草稿纸上，这样有利于联想发散。（2）如果可以的话，尽量通过数形结合的思想画示意图。（3）考虑该问题的一个特殊情形，比如极端情形或退化的情形。（4） 求解简化了问题。（5）建立一个蕴含该问题的猜想，并尝试证明这个猜想。（6）尝试推广该问题。

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