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现以垂径定理的基本图形为背景图形，通过添加条件设计不同层级的几何综合题。下图所示是以“垂径定理”为背景地母题：
如上图所示是垂径定理的基本图形，常见的辅助线的添线方法就是连半径和作弦心距，构造含半径、半弦和弦心距为边的直角三角形，通过利用图中的直角三角形利用勾股定理或者锐角三角比建立边之间的数量关系。
设计意图：基础问题1-4主要涉及到利用垂径定理求线段长度、某个角的锐角三角比、三角形面积和平行弦之间的距离。所有问题解决的基础都源自图1的基本图形，通过在Rt△AOD中利用勾股定理求解AD、OD的长度，就可以求出上图中所有线段的长度以及所有角的锐角三角比。
基础问题1-5涵盖了垂径定理中与几何计算相关的所有问题，同时为后续问题的解决提供了基础数据。
设计意图：问题6和问题7实际上是同类问题。期中问题6呈现了典型的“燕尾三角形”基本图形，因此需要通过添加平行型构造A/X型基本图形，从而求出第三组线段间的比例关系。问题8则涉及到通过构造直角三角形求线段长度。
除了可以过点E作CD的平行线外，可以过图中的A、B、C、D、E、F中的任意一点作平行线，并且都有两种做法。最后问题都是化归为求DF:CF。
如上图所示，并非所有添平行线的方法都是简便的，因此在添加平行线的时候需要选择合适的顶点，不然会使得计算变得复杂。而上述问题最后都可以使用梅氏三角形进行解决：
对于问题7可以采用相同的解题路径，这里提供以下三种：
同时问题7与2020上海中考25题第3问的背景相仿：
对于问题8则不能采取相同的方法进行解决，由于BE是圆中的一条弦，因此可以通过构造垂径定理基本图形，即过点O作BE的垂线，同时再“构造倍角三角形”进行求解。
对于特殊三角形和梯形的存在性问题需要分类讨论，尤其是等腰三角形直角三角形和梯形的存在性问题，往往需要计算某些角的角度，利用特殊角(30°、45°、36°)的性质进行求解。
解法分析：本题的第①问是特殊位置，易知∠AFE=30°；本题的第②问是求线段间的比例关系，可以通过添加平行型构造基本图形；本题的第③问是梯形的存在性问题，需要通过求出图中某些角的角度，利用特殊角的性质求得线段的长度。
解法分析：2022宝山二模25题的背景是圆与比例线段。 第一问考察了比例线段的证明。出现了线段间的倍半关系，联想到中点。根据AF:DF联想构造X或A型基本图形，因此有以下三种方法构造基本图形，助力问题解决。第二问考察了求∠ABC的正弦值。由题意可知△AOF∽△AOD，通过角的关系可知∠OAD=∠D=∠AFO；根据AC//OD，可知，∠CAF=∠D，由此可以得到AF是∠CAB的平分线。继而过点F作AB的垂线，得AO=2AH，即AB=4AC，求得sin∠ABC。第三问考察了直角三角形的存在性和面积比。由题意需要分类讨论，即∠AOF=90°或∠AFO=90°。值得注意的是所求的两个三角形的高存在着倍半关系，因此三角形的面积比就转化成了求EF:BF，根据F不同的位置关系，找到线段间的比例关系。
解法分析：本题的第(1)问直接可得CO=2OH，即∠AOC=60°。本题的第(2)问是圆背景下求线段的比值。主要利用了CE:EF=4:3以及AH=OH这些数量关系，添加平行线，构造A/X型基本图形，两次利用基本图形，从而求出线段的比值。本题的第(3)问是梯形的存在性问题，需要分类讨论，即CO//AF或AC//OF，通过“导角”以及“同圆半径相等”、“等腰三角形性质”和“平行线性质”得到边之间的数量关系。这在梯形的存在性中也是比较常见的。
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