三角函数诱导公式揭秘 熊明军 无论在哪本教材中, 三角函数诱导公式这一节所涉及到的公式都是相当得多。 在许多参 考书里共同提到了记忆诱导公式的统一口诀: “奇变偶不变, 符号看象限” 。 多少年来, 参 考书这么写,老师们这么教,但是教材却从没有简化,原因何在? 本文首先对该口诀进行必要的介绍, 然后尝试去探寻众多诱导公式的联系及内涵, 进而 对教材内容的编排提出自己的理解。 一、口诀解析 任意一个角都可以表示为 的形 式。 当把 任意 角化 为该 形 式后,利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”,就能把任意角转化到 之间,即初中 所学,学生熟悉的锐角三角函数值问题了。 下面对该口诀进行必要的 解析: ① “奇 ” 与 “偶 ” : 是指 把任 意角 化为 的形式中 的 奇 偶性,即 是奇数还是偶数; ② “变 ” 与 “不 变” : 是指 三角 函数 的名 称改 变与 否, 即若 变 , 则正 弦变 余弦 、 余弦 变 正弦、正切变余切、余切变正切。 综合①②,“奇变偶不变”是说,把任意角化为 的形式后,若 是奇数则三 角函数名称改变,若 是偶数则三角函数名称不改变。 ③“象限”:是指把任意角化为 的形式后,假设 时, 所 在的象限。 ④“符号”:是指在确定 所在的象限后,相应的原三角函数值的符号(如下 图)。 二、诱导公式的内 在联系 教材中所给的诱导公式, 集中体现了数学中的化归与转化思想。 在求任意角的三角函数 值时,其基本思路为:负角 正角 内的角 内的角。 根据 这个 思路 , 运用 口诀 “奇 变偶 不变 , 符号 看象 限 ” 化简 , 就不 可能 充分 地体 现出 来, 并且在口诀中,任意角所在象限的判断也是相当麻烦的。 下面 , 针对 教材 中所 给的 三角 函数 诱导 公式 及化 归与 转化 思路 , 将它 们划 分为 三类 诱导 公式。 ①名不变,奇 偶 (繁角 简角) 如果任意角可以表示成 ,即含有 的整数倍,则选用第一 类诱导公式。利用该公式可将繁杂角化为简单的角。 第一类诱导公式: 正弦函数、 余弦函数的名称不改变, 化简后的符号随 的奇偶性而改 变──奇数 、偶数 。即 , ; 可得: . ②名改变,正 余 (钝角 锐角) 利用其余诱导公式先化简, 若出现 的形 式, 即含 有 , 则选 用第 二类诱导公式。该公式是开篇口诀的特例。 第二类诱导公式: 正弦函数、 余弦函数的名称改变, 化简后的符号由原式三角函数名确 定──正弦 、余弦 。即 ; 可得: . ③奇偶性,正奇余偶(负角 正角) 对于函数 ,若函数为奇函数,则 ;若函数为偶函数, 则 。 第三类诱导公式:正弦函数为奇函数;余弦函数为偶函数。即 ; 可得: . 综上所述,三角函数诱导公式只需要三类即可将负角 正角 内的角 内的角。即 第一类: , ; 第二类: ; 第三类: . 三、三类诱导公式 的简单运用 诱导公式一: 解析 将正切化为弦,即 。利用第一类诱导公式,名 不变,因为 的系数 是偶数,为正,所以 . 诱导公式二: 解析 第一类诱导公式, 名不变, 因为 的系数 是奇 数, 为负 , 所以 诱导公式四: 解析 将减法变为加法,即 。利用第一类诱导公式,名不 变, 因为 的系数 是奇 数, 为负 , 所以 ; 利用 第 三类诱导公式,因为余弦函数为偶函数,所以 . 诱导公式五: 解析 将减法变为加法, 即 。 利用 第二 类诱 导公 式, 名改 变, 正弦 , 所以 ; 利用 第三 类诱 导公 式, 因为 余 弦函数是偶函数,所以 . 例: 化简 。 解析 , 首先 利用 第一 类诱 导公 式,名不 变, 又因 为 的系数 是奇数,符号为负,所以 ;然后利用第二 类诱导公式,名改变,余弦 ,所以 . 注意 :在应用三类诱导公式时,必须抓住①第一类诱导公式:任意角能分离出 的整 数倍;②第二类诱导公式:任意角能分离出 ;③ 与 也是选择诱导公式的依据。 |
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