 摘要  在平面几何的证明和计算题中，辅助线的做法有很多，旋转是重要的一种。旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置。因此，利用旋转可将题目中分散的条件集中，使问题简单化。  基本模型 条件：等弦共端点。 方法：把等弦中的一条弦所在的三角形绕公共点旋转到与另外一条弦重合。 结论：必有全等三角形和等腰三角形。  如图1-1所示，在⊙O中,点A、B、C、D是圆上的任意点且AD=BD。将△ADC绕点D旋转，使AD与BD重合得到△BDE，如图1-2所示，则△ADC≌△BDE,所以∠DBE=∠DAC，CD=DE；又因为∠DAC+∠DBC=180°，所以∠DBE+∠DBC=180°，可得C、B、E三点共线，因此△DCE是等腰三角形；记得证C、B、E三点共线，不然没办法得到△DCE是等腰三角形。 例1 如图2-1，⊙O的直径AB长为10，弦AC的长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长。  【分析】由已知条件可得AD=BD（等弦），AD和BD有公共端点D（共端点），满足等弦共端点的条件，因此这道题可用旋转的方法来解题。将△BCD（弦BD所在的三角形）绕点D旋转，使BD与AD重合得到△AED，则△BCD≌△AED，可证得E、A、C三点共线，可得△CED是等腰直角三角形，于是可得CD与CE的数量关系。  例2 如图3-1，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D，E两点。AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长。  【分析】连结CE，由I是△ABC的内心可得∠BAE=∠CAE，于是可得BE=CE（等弦），BE和CE有公共端点E（共端点），满足等弦共端点的条件，而且题目中给的已知线段比较分散，所以这道题可用旋转的方法来解题。将△ABE绕点E顺时针旋转使BE与CE重合，得到△FCE，则△FCE≌△ABE，可证得A、C、F三点共线，则△AEF是等腰三角形。利用等腰三角形的性质便可求得AI的长。   链接中考 （2020 广州） 如图4-1，⊙O为等边△ABC的外接圆,点D在劣弧AB上运动（不与点A,B重合），连接DA，DB，DC． （1）求证：DC是∠ADB的平分线； （2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由。 【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及同弧或等弧所对的圆周角相等易得∠ADC=∠BDC，所以CD是∠ADB的平分线；（2）由等边三角形的性质可得AC=BC，AC和BC有公共点C,满足等弦共端点的条件，因此本小题可用旋转的方法来解题。将△ADC绕点C逆时针旋转60°得到△BHC，则△CAD≌△CBH，可得∠CAD=∠CBH，CD=CH；可证得D、B、H三点共线；因此求四边形ADBC的面积可转化为求△CDH的面积。 总结 在圆中，有些时候已知条件没有明确等弦而是出现相等的圆周角或圆周角的角平分线。圆的综合题解题方法不唯一，在求线段的长度的时候如果方法比较复杂或题目中的已知条件比较分散，题目中若有等弦且共端点的已知条件，不防试试用旋转方法。 |
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