《律呂正論》橫黍尺之排簫樣3上傳書齋名：瀟湘館112 Xiāo Xiāng Guǎn 112何世強 Ho Sai Keung提要：明?朱載
堉著《律呂正論》，其卷二談及橫黍尺排簫共十六管，各律管有不同之內徑及外徑，本文今以橫黍尺黃鍾長10.0寸為始，談及其他律管之長及內
外徑之長之算法。關鍵詞： 排簫 橫黍 內徑 外徑第1節 《律呂正論》作者朱載堉簡介朱載堉﹝公元1536年至1611年﹞，字伯勤
，號句曲山人，年青時曾自號“狂生”、“山陽酒狂仙客”。明宗室鄭恭王朱厚烷嫡子，出生於懷慶（今河南沁陽）。明仁宗第二子鄭靖王朱瞻埈之
後，明太祖朱元璋之九世孫，明成祖朱棣之八世孫，明仁宗朱高熾之七世孫。早年即從外戚何瑭習天文、算術。朱載堉乃明律學家、音樂家、數學家
，發明“十二平均律”。其著作有《樂律全書》、《律呂正論》、《律呂質疑辨惑》、《嘉量算經》、《律呂精義》、《律曆融通》、《算學新說》
、《瑟譜》等。第2節 依橫黍尺黃鍾長10.0寸排簫之式樣及其管長朱載堉提及排簫之式樣有三，第一種為縱黍尺，第二種為斜黍尺，第三種
為橫黍尺，筆者已有文名為〈《律呂正論》縱黍尺之排簫樣1〉乃〈《律呂正論》斜黍尺之排簫樣2〉，本文乃以上兩文之延續。先以橫黍尺黃鍾長
10.0寸為始，其他律管之長依次遞減 ，將此等遞減長度之律管並列而形成排簫，共十六管簫。不同長度之律管有不同之內徑與外徑。前十二律
依傳統十二律之名稱，後四律則再由黃鍾始而止於夾鍾，為避免名稱重複，故加上“次”字作識別。又相信排簫以十六管為準。今以黃鍾為首，其他
律管之長度算法如下：黃鍾長十寸 (10.000寸)。大呂長九寸四分三釐九毫 (10寸 × = 9.439寸)。太蔟長八寸九分一釐
○毫 (9.439寸 × = 8.910寸)。夾鍾長八寸四分一釐○毫 (8.910寸 × = 8.410寸)。姑洗長七寸九分三
釐九毫 (8.410寸 × = 7.939寸)。仲呂長七寸四分九釐四毫 (7.939寸 × = 7.494寸)。蕤賓長七寸○分
七釐四毫 (7.494寸 × = 7.074寸)。林鍾長六寸六分七釐七毫 (7.074寸 × = 6.677寸)。夷則長六寸三
分○釐三毫 (6.677寸 × = 6.303寸)。南呂長五寸九分四釐九毫 (6.303寸 × = 5.949寸)。無射長五寸
六分一釐六毫 (5.949寸 × = 5.616寸)。應鍾長五寸三分○釐一毫 (5.616寸 × = 5.301寸)。次黃鍾長
五寸○分○釐四毫 (5.301寸 × = 5.004寸)。次大呂長四寸七分二釐三毫 (5.004寸 × = 4.723寸)。次
太蔟長四寸四分五釐八毫 (4.723寸 × = 4.458寸)。次夾鍾長四寸二分○釐八毫 (4.458寸 × = 4.208寸
)。以下為《律呂正論》之橫黍相生法排簫表，第三欄單位為寸，九位小數；第四欄單位亦為寸，三位小數，因四捨五入關係，故第三位之小數與《
律呂正論》原文數字略有出入：序號十二律寸﹝九位小數﹞寸﹝三位小數﹞1黄鍾10.0000000010.0002大呂9.4393052
679.4393太蔟8.9100483938.9104夾鍾8.4104666728.4105姑洗7.9388962367.9396
仲呂7.4937665057.4947蕤賓7.0735949657.0748林鍾6.6769822216.6779夷則6.3026
073446.30310南呂5.9492234705.94911無射5.6156536445.61612應鍾5.300786902
5.30113次黄鍾5.0035745725.00414次大呂4.7230267814.72315次太蔟4.4582091574.
45816次夾鍾4.2082397184.208以下為橫黍尺黃鍾長10.000寸排簫之直條式樣圖，Y軸單位為寸。不難看出，上圖表數
字其實為一遞減幾何級數，首項為10，末項為4.208239718 或4.208，公比為 ，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明，詳情可
參閱筆者另文〈《律呂正論》十二律之橫黍相生法 (3)〉。注意律管長乃遞減幾何級數，故其末頂之連線為曲線而非直線，下圖與上圖相同，但
加上律長。第3節 橫黍尺黃鍾長10.0寸排簫之內徑長黃鍾內徑長3.53分，其他律管之內徑長可算之如下：黃鍾內徑長三分五釐三毫五絲
(3.535分)。大呂內徑長三分四釐三毫五絲 (3.535分 × = 3.435分)。太蔟內徑長三分三釐三毫七絲 (3.435
分 × = 3.337分)。夾鍾內徑長三分二釐四毫三絲 (3.337分 × = 3.243分)。姑洗內徑長三分一釐五毫一絲 (
3.243分 × = 3.151分)。仲呂內徑長三分○釐六毫一絲 (3.151分 × = 3.061分)。蕤賓內徑長二分九釐七
毫四絲 (3.061分 × = 2.974分)。林鍾內徑長二分八釐九毫○絲 (2.974分 × = 2.890分)。夷則內徑長
二分八釐○毫八絲 (2.890分 × = 2.808分)。南呂內徑長二分七釐二毫八絲 (2.808分 × = 2.728分)。
無射內徑長二分六釐五毫一絲 (2.728分 × = 2.651分)。應鍾內徑長二分五釐七毫六絲 (2.651分 × = 2.5
76分)。次黃鍾內徑長二分五釐○毫三絲 (2.576分 × = 2.503分)。次大呂內徑長二分四釐三毫二絲 (2.503分 ×
= 2.432分)。次太蔟內徑長二分三釐六毫三絲 (2.432分 × = 2.363分)。次夾鍾內徑長二分二釐九毫六絲 (2
.363分 × = 2.296分)。以下為九位及三位小數之排簫內徑表：序號十二律內徑﹝九位小數﹞分﹝三位小數﹞分1黄鍾3.535
1803533.5352大呂3.4348818043.4353太蔟3.3374288813.3374夾鍾3.2427408483.
2435姑洗3.1507392623.1516仲呂3.0613479033.0617蕤賓2.9744927162.9748林鍾2.
8901017452.8909夷則2.8081050772.80810南呂2.7284347812.72811無射2.651024
8552.65112應鍾2.5758111692.57613次黄鍾2.5027314122.50314次大呂2.431725041
2.43215次太蔟2.362733232.36316次夾鍾2.2956988252.296上表數字為一遞減幾何級數，首項為3.4
35，末項為2.295698825，公比為 ，至於此公比之來源朱載堉無詳細說明。以下為排簫之內徑直條圖，Y軸單位為分。第4節 橫
黍尺黃鍾長10.0寸排簫之外徑長黃鍾外徑長5.00分，其他律管之外徑長可算之如下：黃鍾外徑長四分九釐九毫九絲﹝五分﹞ (4.999
分)。大呂外徑長四分八釐五毫七絲 (4.999分 × = 4.857分)。太蔟外徑長四分七釐一毫九絲 (4.857分 × =
4.719分)。夾鍾外徑長四分五釐八毫五絲 (4.719分 × = 4.585分)。姑洗外徑長四分四釐五毫五絲 (4.585分
× = 4.455分)。仲呂外徑長四分三釐二毫九絲 (4.455分 × = 4.329分)。蕤賓外徑長四分二釐○毫六絲 (4.
329分 × = 4.206分)。林鍾外徑長四分○釐八毫七絲 (4.206分 × = 4.087分)。夷則外徑長三分九釐七毫一
絲 (4.087分 × = 3.971分)。南呂外徑長三分八釐五毫八絲 (3.971分 × = 3.858分)。無射外徑長三分
七釐四毫九絲 (3.858分 × = 3.749分)。應鍾外徑長三分六釐四毫二絲 (3.749分 × = 3.642分)。次黃
鍾外徑長三分五釐三毫九絲 (3.642分 × = 3.539分)。次大呂外徑長三分四釐三毫九絲 (3.539分 × = 3.4
39分)。次太蔟外徑長三分三釐四毫一絲 (3.439分 × = 3.341分)。次夾鍾外徑長三分二釐四毫六絲 (3.341分 ×
= 3.246分)。以下為九位及三位小數之排簫外徑表：序號十二律外徑﹝九位小數﹞分分﹝三位小數﹞1黄鍾4.9988913904
.9992大呂4.8570650894.8573太蔟4.7192626214.7194夾鍾4.5853698224.5855姑洗4
.455275774.4556仲呂4.3288726874.3297蕤賓4.2060558564.2068林鍾4.08672352
94.0879夷則3.9707768453.97110南呂3.8581197493.85811無射3.7486589083.74912應鍾3.6423036423.64213次黄鍾3.538965843.53914次大呂3.4385598913.43915次太蔟3.3410026143.34116次夾鍾3.2462131893.246上表數字為一遞減幾何級數，首項為5.0，末項為3.246213189，公比為 。以下為排簫之外徑直條圖，Y軸單位為分。以下為《律呂正論》原文：-2- |
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