【原】矩阵范数习题

设 为单位矩阵, ,且 , 证明: 是非奇异的.

要证明矩阵 是非奇异的，等价于证明 没有零特征值，即证明方程 仅有平凡解 .

方法(1)：

首先，观察到矩阵 满足 .该条件意味着对于所有的向量 ，有 .

考虑方程 .这意味着 ，因此 .因此，我们有

上式表明唯一使其成立的是 ，即 .这说明方程 仅有平凡解.

方法(2)：

使用特征值的性质来证明.设 是 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则 .对于 ，我们有：

因此， 是 的特征值.由于 ，所有特征值 的绝对值都小于 ，所以 不可能为零（因为 意味着 ）.由于 的所有特征值都非零， 是非奇异的.得证.

也可以采用反证法：

假设 是奇异矩阵, 则存在非零向量 , 使得即得两边取范数得 由于 , 所以 与条件 矛盾, 因而矩阵 是非奇异的.

设 为单位矩阵, ,证明: 当 时, 可逆, 且

（ 可逆上一题已经证得）

由于 可逆，所以. 展开后有.

于是,两边同时取范数得

所以

方法二：利用 推广到矩阵中

使用级数展开： 当 时，可以考虑使用Neumann级数（即幂级数）展开 ：

这个级数在 时收敛.

计算级数的范数：对上述级数每一项的范数求和，可以得到：

利用矩阵的范数性质，有 ，于是：

其中使用了几何级数求和公式 ，其中 .

因此，当 时， 是可逆的，并且有 .得证.

设 ，试证明:

设 是 的最大特征值, 对应的特征向量为 , 于是有两边同时取范数得.由于 ,则

由于,所以.当算子范数取无穷范数时，即有.而当算子范数取的是2-范数时，

因此

设 , 记

其中 为单位矩阵, 证明: (1) 可逆; (2) .

(1) 首先注意到对于任何矩阵 和其范数 ，有 .我们利用范数的性质来证明 可逆. 由 可知，矩阵 的谱半径 也小于 1 .这是因为谱半径 (即 的最大绝对特征值) 不超过矩阵的任意范数.于是，矩阵 的特征值为 ，其中 是 的一个特征值.即有：

因为 ，所以 ，即 的所有特征值都不为 0 .这表明 是非奇异的，即 可逆.

(2) 我们先计算 :

由于 且 ，所以, 也即 当 时趋向于零矩阵.因此，有:

由于 可逆，那么左乘其逆矩阵得到:

随着 :

这样，我们便证明了 .