试题内容
解法分析(1)
根据SAS证明：△ABF≅△DAE，
∴∠2=∠3，
∴∠DGF=∠1+∠3=∠1+∠2=90°. 解法分析(2)方法1：斜边中线定理
延长AF交DC的延长线于点M.
根据ASA证明：△ABF≅△MCF，
∴MC=AB=4，
∴点C是DM的中点.
由(1)得：∠DGF==90°，
∴CG=DM=4. 方法2：垂直平分线
取AD的中点M，连接CM交DE于点N.
∵AM∥CF，AM=CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CM∥AF.
由(1)得：∠DGF==90°.
根据平行线的性质证明：∠DNC=90°，
根据平行线分线段成比例证明：点N是DG的中点，
∴CN垂直平分DG，
∴CG=CD=4. 方法3：全等三角形
取AD的中点M，连接CM、GM.
由(1)得：AF⊥DE，
∴GM=AD=DM.
与(1)同理可证：CM⊥DE，
根据等腰三角形三线合一证明：∠1=∠2，
根据SAS证明：△DMC≅△GMC，
∴CG=CD=4. 方法4：隐圆
由(1)得：∠DGF==90°，
∴∠DGF+∠DCF=180°，
∴点C、D、G、F四点共圆，
∴∠1=∠2.
根据平行线的性质证明：∠3=∠4.
∵tan∠1=tan∠3=2，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠4，
∴CG=CD=4. 方法5：勾股定理1
作GM⊥DC于点M.
根据平行线的性质证明：∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2==.
由(1)得：AF⊥DE，
∴DG=AD·cos∠2=，
∴GM=DG·cos∠1=，
∴DM=，CM=4-=，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
CG=4. 方法6：勾股定理2
作GM⊥CB于点M.
根据等面积法求得：AG==，
∴FG=AF-AG=.
易证：△FGM∼FAB，
∴==，即==， ∴GM=，FM=，
∴CM=2+=，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
CG=4. 解法分析(3)方法1：旋转+全等三角形
将△AGD绕点D逆时针旋转90°，得到△CQD，连接GQ.
由旋转的性质得：
CQ=AG=HG，DQ=DG，∠GDQ=90°，∠CQD=∠AGD=90°，
∴△GDQ是等腰直角三角形，
∴∠DQG=∠DGQ=45°，
又∵∠DGI=∠DGF=45°，
∴点I在GQ上.
易证：∠CQI=45°.
根据AAS证明：△HGI≅△CQI，
∴IH=IC. 方法2：手拉手相似+中位线(逆)
连接AC，延长HG至点M，使MG=HG，连接AM、CM.
易证：△DAC和△GAM都是等腰直角三角形.
根据“夹角相等，夹边成比例的两个三角形相似”
证明：△DAG∼△CAM，
∴∠AMC=∠AGD=90°.
进而证明：∠1=∠2=45°，
∴CM∥IG，
∴IH:IC=HG:MG=1:1，即IH=IC. 方法3：隐圆+中位线(逆)
连接AC、BD，延长HG至点M，使MG=HG，连接AM、CM.
易证：△GAM是等腰直角三角形.
∴∠1=45°.
∵∠1=∠2=∠3=45°，
∴点D、A、M、B、C五点共圆，
∴∠4=∠5=45°，
∴∠4=∠6，
∴CM∥IG，
∴IH:IC=HG:MG=1:1，即IH=IC.
|
