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此前发布了一道初中数学竞赛题：求三元函数的最大值！超级难题，10人9错！大多看完题、直接懵圈，毫无头绪！不少朋友认为：严重超纲，非使用大学知识微积分不可！ 初中数学竞赛题：如图一，  图一 已知x y z=8，x、y、z均为正数，求√(x²-4) √(y²-9) √(z²-4）的最大值。 一、超纲解析： 微积分：利用偏导数求多元函数的最值！ 要么转化为二元函数的最值问题，要么考虑三元函数的条件极值问题，以下采用第一种方法： ①将z=8-x-y代入 √(x²-4) √(y²-9) √(z²-4） 即得√(x²-4) √(y²-9) √((8-x-y)²-4），令其为f(x,y）。 ②求得f(x,y）关于x和y的偏导分别为 x/√(x²-4)-x/√((8-x-y)²-4） 和y/√(y²-9)-y/√((8-x-y)²-4）。 ③求得驻点为x=16/7，y=24/7，从而z=16/7，Maxf(x,y）=√15。 二、不超纲解析：数形结合 勾股定理！ ①作3个直角三角形OAB、PBC和QCD，其三边边长分别为： OA=2，OB=√(x²-4)，AB=x； PB=3，PC=√(y²-9)，BC=y； QC=2，QD=√(z²-4)，CD=z。如图二  图二 ②延长AO和DQ，相交于点E，则AE=7，DE=√(x²-4) √(y²-9) √(z²-4）。如图三  图三 ③当A、B、C、D四点共线也即三个直角三角形相似时，DE最大且DE=√(8²-7²)=√15。如图四  图四 ————————————————————— 友友们有好的思路或方法，欢迎留言分享！ |
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