【原】对2024届苏北七市高三三模圆周运动试题的深度分析

1 引言

近日，有热心网友向笔者转发了2024届苏北七市高三第三次调研（南通三模）物理试题，称其中的第14题是笔者先前研究过的试题，值得再次分析，也值得收藏。

早期类似研究

物体还能再次做匀速圆周运动吗？

2 试题回放

14.(13分)如图所示，足够大的光滑板固定在水平面内，板上开有光滑的小孔O，细线穿过小孔，将小球A、B、C拴接。小球A在光滑板上做匀速圆周运动，小球B、C自然下垂处于静止状态。已知小球A、B、C的质量均为m，小球A到小孔O的距离为L，重力加速度为g。

(1)求小球A做圆周运动的速度大小v0；

(2)剪断B、C间细线瞬间，小球A的加速度大小为aA，求此时小球B的加速度大小aB;

(3)剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中(小球B未与板接触)，细线对小球B做的功为W。求小球B运动到最高点时小球A的角速度大小ω。

参考答案

3 分析与解

参考解析中已经就三个问题给出的明确的阐述，但是在解析之外，还有很多值得研究的问题。这些问题学生可能不需要了解，但是教师需要了解。

第一问：是学生非常熟悉的匀速圆周运动模型，小球A的向心力等于小球B、C的重力。由于比较传统，也比较简单。

第二问：根据参考解析，对小球A和B分别用牛顿第二定律列式，可以解出小球A和B之间的加速度关系，即小球B的加速度大小aB应该是aA-g。但是无法求解小球A和B此时各自的加速度的瞬时值。

为了方便分析第二问，笔者在WorkingModel中进行仿真。三个小球的质量均为1kg，小球A到圆心的距离为2m，小球A的初速度为40^0.5m/s。运行程序，可以观察到小球A的运动轨迹并不封闭。亦可以看到小球A的加速度为15m/s^2，小球B的加速度为5m/s^2。

基于Working Model的仿真分析

在剪断B、C间细线瞬间，小球A与连线垂直方向的速度没有突变，所以其向心加速度没有突变，但是细线拉力减小，小球A做离心运动，在连线方向存在加速度，小球A、B在连线方向上的加速度相等。在剪断B、C间细线瞬间，小球A、B在连线方向的加速度均为5m/s^2。因为小球A已经有了一个指向圆心的向心加速度20m/s^2，所以小球A的实际加速度为15m/s^2。

对于第二问，如果在旋转参考系下分析，则更为简单，因为在旋转参考系下，小球A、B、C是静止的，可以视为连接体，当连接体突然失去一个重力的瞬间，剩余小球A和B的加速度必然等于0.5g。在转换到地面参考系下，由于小球A有向心加速度2g，所以小球A的实际加速度为1.5g，小球B的实际加速度为0.5g。

第三问：剪断B、C间细线后，小球B运动到最高点的过程中(小球B未与板接触)，细线对小球B做的功为W。据此可知，细线对小球A做功为-W，即A球的末动能为Ek0-W，据此可以解出瞬时速度。对于小球B而言，当B球位于最高处时，细线对B球做功W，小球B上升的高度为W/（mg），则此时A球到旋转中心O的距离为L+W/（mg）。有了瞬时速度和瞬时距离，而且此时瞬时速度与连线还垂直，则小球A的角速度大小ω是可解的。

基于Working Model的仿真分析

不过，需要指出的是，由于小球A此时不是匀速圆周运动，其此时的加速度7.361m/s^2并不是它的向心加速度。考虑到小球A与小球B用细线相连，而小球B的加速度为2.639m/s^2，可得小球A的向心加速度为4.722m/s^2。