【原】小乐数学科普：2024年邵逸夫数学科学奖授予南非数学家彼得・萨纳克Peter Sarnak

zzllrr小乐 2024-05-23 发布于江苏

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据邵逸夫官网消息，2024年邵逸夫数学科学奖颁予彼得・萨纳克 (Peter Sarnak，1953 -，拥有南非和美国双重国籍)，以表彰他将数论、分析学、组合学、动力学、几何学和谱理论结合起来，发展出薄群（thin group）的算术理论和仿射筛法。

萨纳克1953年出生于南非约翰内斯堡。1980年在保罗·科恩（Paul Cohen，1934 - 2007）的指导下从斯坦福大学获得博士学位。彼得・萨纳克是美国普林斯顿高等研究院数学戈帕・普拉萨德讲座教授及美国普林斯顿大学数学尤金・希金斯讲座教授。

获奖理由

自古希腊以来，寻找素数一直是数论的重要主题。数学家寻找一些多项式函数f(x)，使得对于无穷多个整数x，f(x)的值均是素数。若将问题的范围扩展，要求函数f(x)的值是殆素数 (具有有限个素因子的自然数)，也就是说，对于无穷多个整数x而言，f(x)的值是有限素数的乘积。例如，孪生素数猜想可以这样表述：对于无穷多个整数x，函数f(x) = x(x+2) 的值可表达为两个素数的乘积。中国数学家陈景润（1933 - 1996）于1973年利用布伦（Viggo Brun，1885 - 1978）的组合筛法证明了该函数对于无穷多个整数x有最多3个的素因数。数学家们也可以通过要求将x限定在整数的稀疏子集中来限制所考虑的x集合。对于任何具有整数系数的多元多项式，都可以提出类似的问题。

萨纳克率先开展在薄群轨道生成的稀疏子集中寻找多项式殆素数值的研究。薄群是算术群的一个子群，具有恰到好处的性质：它既不太大 (具有无穷指数)，也不太小 (与算术群具有相同的札里斯基闭包Zariski closure)。薄群在纯数学和应用数学中非常自然地出现。例如，整数阿波罗尼奥斯圆填充的对称群就是一个薄群。此外，还有大量的克莱因群，或是更为普遍的微分方程的单值群，它们都是薄群。

扩展图（expander）是一种高度连接的稀疏图，广泛应用于计算器科学领域。萨纳克预见到一个薄群中的有限商群的扩展特性可用于产生殆素数，从而发展出仿射筛法。萨纳克联同布尔甘（Jean Bourgain，1954 - 2018）和甘布尔德（Gamburd）从一些薄群中建构出扩展图。这个构造依赖于萨纳克和薛（Xiaoxi Xue）早期的基础工作，其中他们展示了有限线性群的最小维数与扩展图之间的关系。

萨纳克联同布尔甘和甘布尔德，对于在薄群轨道上的整数向量取得了一个精确计数和均匀分布的结果，该结果指出，当将给定的多项式函数应用于这些向量时，它们就会取得殆素数值。

在一些自然假设下，萨纳克与戈尔塞菲迪（Golsefidy）一起证明了一个整数多项式函数于薄群轨道的札里斯基稠密子集中会产生殆素数。

萨纳克将组合和遍历的理论方法引入到丢番图方程 (又称不定方程) 问题，产生了深远的影响。他独特而深邃的远见开启了广泛的研究项目，将数论、组合学、分析学、动力学、几何学和谱理论融为一体。

之前获奖选介

2019年西尔维斯特奖（英国皇家学会）

获奖理由：

彼得·萨纳克对分析和数论做出了重大贡献。他是国际上广泛认可的当代领先的解析数论学家之一。他早期关于尖点形式存在的工作推翻了塞尔伯格的猜想。他获得了稀疏图拉马努金猜想的最强已知界限，并且他是最早利用理论物理和解析数论某些问题之间联系的人之一。他对算术量子混沌（他引入的术语，arithmetical quantum chaos）以及随机矩阵理论和 L-函数零点之间的关系做出了根本性贡献。他对Rankin-Selberg L-函数的次凸性的研究导致了希尔伯特第十一问题的解决。

2014年沃尔夫奖

获奖理由：

彼得·萨纳克是一位涉猎极其广泛、视野深远的数学家。他经常通过揭示深层的、意想不到的联系来影响多个数学领域的发展。在分析中，他在一系列基础论文中研究了与混沌经典动力系统相对应的量子力学哈密顿量的本征函数。他提出并支持量子唯一遍历性猜想，断言负弯曲流形上拉普拉斯算子的所有本征函数在相空间中均匀分布。萨纳克将数论工具引入这一领域，使他获得了看似遥不可及的结果，并为进一步的进步铺平了道路，特别是 E. Lindenstrauss 和 N. Anantharaman 最近的工作。在他关于L-函数的研究中（与 Z. Rudnick 合作），通过计算黎曼零点的更高相关函数，将当代自守形式研究与随机矩阵理论和黎曼假设的关系提升到一个新的水平。这是探索随机矩阵理论与黎曼 zeta 函数零点统计特性之间联系的重要一步，这一点可以追溯到 H. Montgomery 和 A. Odlyzko。1999年，它与 N. Katz 共同完成了有关L-函数族低零点统计特性的基础工作。Sarnak（与 A. Lubotzky 和 R. Philips 合作）在拉马努金图上的工作对组合学和计算机科学产生了巨大影响。在这里，他再次利用数论的深刻成果在另一学科中取得了令人惊讶的重要进展。

凭借他的洞察力和分享想法的意愿，他启发了许多数学领域的学生和研究人员的工作。