学习笔记 | 数学的逻辑

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之前介绍了这本数学入门的好书，《DISCRETE MATHEMATICS WITH APPLICATIONS》。今天来看看，第二章数学的逻辑。

这一张共分为5个小结，逻辑形式和逻辑等价，条件语句，有效和无效的论证，应用：数字逻辑电路，数字系统及加法电路。

今天来看看逻辑形式与逻辑等价，这里介绍了逻辑的产生，及逻辑是怎么定义的。

亚里士多德撰写了逻辑学的基础著作，旨在为各学科提供演绎推理的规则。17世纪，莱布尼茨提出用符号来机械化演绎推理。19世纪，布尔和德摩根创立了符号逻辑，对现代计算机科学，包括数字电路设计、数据库理论、自动机理论与计算性、人工智能等领域，提供了理论基础。书中前言还提到了书中以本章节为基础的各个章节索引：

• 数字逻辑电路设计（参见第2章.第4、5小节）

• 关系数据库理论（参见第8章.第1节）

• 自动机理论和可计算性（参见第7章.第4节和第12章）

• 人工智能（参见第3章.第3节，第10章.第1节和第10章.第5节）

可见学好这一章对往后学习与应用的重要性。

Logical Form and Logical Equivalence

逻辑形式和逻辑等价，一个论证是一系列旨在证明某个断言真实性的陈述。序列末尾的断言称为结论，前面的陈述称为前提。要相信你从论证中得出的结论，你必须确保前提本身是可接受的，或者前提本身遵循已知为真的其他陈述。

在逻辑学中，论证的形式与其内容是区分开的。逻辑分析不会帮助你确定论证内容的内在价值，但它会帮助你分析论证的形式，以确定结论的真实性是否必然地从前提的真实性中得出。因此，逻辑有时被定义为推理的科学。

这里有个例子：我们使用甲、乙、丙 等字词来表示组成句子;

如果铃响了^甲或者旗子掉了^乙，比赛就结束了^丙。

因此：如果比赛没结束了^非丙，那么铃没响^非甲同时旗子没掉^非乙

这里甲乙和非丙就是前提，丙与非甲非乙就是得出的结论。可以看到条件与前提之间可以相互转换，数学公式也是如此。

形式逻辑的定义与受过良好教育者的自然逻辑相吻合，差异旨在避免歧义和确保一致性。数学理论中新术语基于已定义术语定义，然而，这个过程必须有起点，一些最初的术语必然是未定义的。在逻辑学中，“句子”、“真”和“假”是最初的未定义术语。

逻辑符号

那么逻辑符号有哪些呢：与、非、或，这三个是最基本的逻辑符号。

在逻辑学和布尔代数中，“与”、“非”、“或”是三种基本的逻辑运算符，它们用于构建和分析逻辑表达式。以下是每个运算符的简要说明：

1. 与 (AND)：逻辑与运算符表示两个操作数都需要为真时，结果才为真。在布尔代数中，通常用符号 '∧' 表示，或者简单地用 '·' 或者不带符号的乘积表示。

2. 非 (NOT)：逻辑非运算符对单个操作数进行操作，如果操作数为真，则结果为假；如果操作数为假，则结果为真。在布尔代数中，通常用符号 '¬' 或 '~' 表示。

3. 或 (OR)：逻辑或运算符表示两个操作数中至少有一个为真时，结果就为真。在布尔代数中，通常用符号 '∨' 表示。

这些运算符是构建更复杂逻辑表达式的基础，并且在计算机科学，特别是在数字逻辑电路设计和布尔函数简化中有着广泛的应用。例如，一个简单的逻辑表达式可以写成：

（A∧B）∨~C

这表示当 A 和 B 都为真，或者 C 为假时，整个表达式的结果为真。

真值表

真值表是一种在逻辑学和计算机科学中使用的表格，用于显示逻辑表达式中所有可能的输入组合及其对应的输出结果。真值表对于分析和理解逻辑表达式的工作原理非常有用，特别是在布尔代数和数字电路设计中。

真值表通常包含以下部分：

1. 输入变量：表格的第一列或几列是逻辑表达式的输入变量，它们可以取值为真（通常用1或T表示）或假（通常用0或F表示）。

2. 输入组合：随后的行列出了所有可能的输入变量值组合。

3. 输出结果：对于每个输入组合，表格的最后一列显示了逻辑表达式计算的结果，即输出的真值。

例如，考虑一个包含两个输入变量A和B的逻辑表达式 'A AND B'（A与B），其真值表如下：

A	B	A AND B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

在这个真值表中，只有当A和B都为真（T）时，'A AND B' 的结果才为真（T）。所有其他输入组合的结果都是假（F）。

对于更复杂的逻辑表达式，真值表可以列出更多的输入变量和更多的行，以展示所有可能的输入组合及其对应的输出结果。真值表对于设计和验证数字电路、简化逻辑表达式以及教学逻辑原理都是一个有用的工具。

恒真命题（tautology）和矛盾命题（contradiction）

恒真命题（Tautology）：恒真命题是一种无论其变量的真值如何替换都始终为真的陈述形式。这意味着，如果一个逻辑表达式是恒真命题，那么在所有可能的真值组合下，该表达式的结果都是真。

矛盾命题（Contradiction）：矛盾命题是一种无论其变量的真值如何替换都始终为假的陈述形式。同样地，如果一个逻辑表达式是矛盾命题，那么在所有可能的真值组合下，该表达式的结果都是假。

尽管数学可以被看作是归结为恒真命题的集合，但大多数数学家认为数学不仅仅是形式上的，它还具有实质内容。然而，对基本逻辑恒真命题的直观理解是任何使用数学进行推理的人所必须具备的。

恒真命题的真和矛盾命题的假是由它们自身的逻辑结构决定的，而与陈述的具体含义无关。这意味着，我们可以通过分析逻辑表达式的形式来确定它是否是恒真或矛盾的，而不需要知道表达式中各个变量的具体真值。

例如，一个简单的恒真命题是 'A OR NOT A'（A 或非A），无论A的真值是什么，这个表达式总是为真。同样地，一个矛盾命题的例子是 'A AND NOT A'（A 与非A），无论A的真值是什么，这个表达式总是为假。

恒真命题和矛盾命题对于逻辑推理、数学证明以及计算机科学中的程序验证和设计都是非常重要的。

逻辑等价

逻辑等价陈述指的是在所有可能的真值组合下都具有相同真值的两个逻辑表达式。了解这些等价关系对于构建逻辑论证非常有用。有时候，通过将原始陈述转换为一个逻辑上等价但形式上更简单的陈述，可以更容易地展示结论是如何从前提中推导出来的。

给定任何陈述变量 p、q 和 r，一个恒真命题 t 和一个矛盾命题 c，以下逻辑等价关系成立。

题外话：

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今天是持续写作第 55 /  600 天。

作者：这是大咩