常见的阻尼类型

在之前的文章“什么是阻尼”中，介绍了阻尼的一些相关知识，但阻尼的类型介绍还不详细，故，在这再介绍一下。

在振动领域中，经常认为阻尼是粘性阻尼，粘性阻尼正比例于运动的速度，又称为线性阻尼。但实际上，振动中的阻尼是一个难点，可能不完全是粘性阻尼。阻尼有不同类型的模型，但对于在一个实际结构中如何计算不同类型阻尼的总效应的知识有限。很多已知类型的阻尼，如库伦摩擦，是非线性的。很多时候，特别是小阻尼时，通过一个线性模型来近似不同类型的阻尼是相对合理的。因而，通常不管结构中的实际阻尼类型，而是使用粘性阻尼来近似。这样的近似是合理的，但除了粘性阻尼之外，还有一些常用类型的阻尼，如迟滞阻尼，也称之为结构阻尼，以及一般阻尼等。

振动领域中普遍采用的粘性阻尼假定阻尼力  与速度  成正比，即 无论是简谐振动还是非简谐振动都可得到线性方程，求解方便，且能方便地表达阻尼对频率、共振等的影响，是应用最为广泛的阻尼模型。对于单自由度系统，使用粘性阻尼获得位移的频响函数（动柔度）为 

粘性阻尼中的特例是比例阻尼，也经常称为瑞利阻尼，即阻尼矩阵  正比例于质量矩阵  和刚度矩阵   式中，  和  是实常数。换句话说，阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩形的线性组合。这是因为材料或结构的实际阻尼机理与质量或刚度相关，对于摩擦而言，阻尼正比例于质量；对于内部材料阻尼而言，阻尼正比例于刚度。因此，如果按瑞利阻尼来考虑，在有限元计算中，只需要输入系数α和β，这样的形式更简单。

我们知道，无阻尼系统的模态求解是一个特征值问题。当使用瑞利阻尼时，同样也是特征值问题，得到的特征向量与无阻尼系统的相同，模态振型为实数。

在机械系统的仿真中，最常用的比例阻尼也称为模态阻尼。对无阻尼系统的每个极点和模态振型添加单个阻尼比，获得模态阻尼。这是因为在有限元动力学方程中，直接构造模态阻尼矩阵非常困难。但如果我们假定阻尼矩阵为比例阻尼形式，即阻尼矩阵可以通过模态向量  正交化为对角阵，即同时，质量矩阵和刚度矩阵也通过模态向量转换成为了对角阵，则动力学方程可以在模态空间进行解耦，将运动方程转化为以模态坐标表示的一系列解耦的单自由度方程。这样，无需直接构建复杂的阻尼矩阵，只需要提供各阶模态阻尼比，然后求解这个单自由度方程，就能得到结构的动力学响应。所以，模态阻尼的本质仍然是粘性阻尼，但它通过定义模态阻尼比来体现粘性阻尼的作用，避免了直接构建阻尼矩阵。

结构阻尼不同于粘性阻尼，它具有频率依赖性，定义如下： 式中，𝜂是以小数表示的损耗因子。对于这种阻尼模型，单自由度系统的运动方程为 注意，这个方程不是我们之前讨论的实常系数微分方程，因此，不能使用拉氏变换进行求解。对它进行求解，得到与粘性阻尼相似的位移频响函数： 对于粘性阻尼模型和结构阻尼模型的位移频响函数，差异仅体现在分母中的第3项。在固有频率处，即  处，有 因而，损耗因子是阻尼比的2倍。

粘性阻尼模型最大的缺点是每周期的能量损失依赖于激励频率，这种依赖关系与大量试验结果不符。对于振动系统内部的材料内摩擦阻尼，每周能量损失只取决于振幅，与振动频率并无关联，采用结构阻尼模型更为合理。

结构阻尼也叫迟滞阻尼，它假定应力-应变间存在着相位差，从而导致振动一周有耗能发生。结构阻尼表现为以一定频率循环加卸载时，加载和卸载不按同一路径，表现出迟滞性。

在NVH有限元分析中，结构阻尼通过指定材料的损耗因子来定义。对于金属材料，损耗因子数值很小，一般在0.0001~0.001，通常不需在材料卡片中设置；对于高阻尼材料，例如汽车中经常应用的复合材料阻尼片和沥青阻尼片，损耗因子大概在0.2~1.0的范围，必须在材料卡片中指定损耗因子以体现结构阻尼的影响。

除了以上阻尼模型之外，还有一般阻尼（非比例阻尼）模型。对于粘性阻尼，模态分析是一个特征值问题，但是对于一般阻尼，却不再是简单的特征值问题，这是因为正则化的模态不能解耦阻尼矩阵。此时，求解一般阻尼模型采用控制工程领域常用的方法，状态空间来求解。当然，使用状态空间求解时，对于一般阻尼模型的自由振动，仍可将方程转化为标准的特征值问题进行求解。

使用状态空间方法将使得粘性阻尼中的二阶微分方程变成一阶微分方程，求解得到的模态振型为复数（复模态）。在使用状态空间方法求解时，会产生由质量和阻尼组成的实数新矩阵A和质量与刚度组成的实数新矩阵B，这两个矩阵关于模态向量正交，因此，两个新矩阵关于模态向量正交后的对称阵称为模态A和模态B，类似比例阻尼中的模态质量和模态刚度矩阵，经常使用模态A和模态B对振型进行缩放。当使用单位模态A进行缩放时，模态常数为1，可以简化留数公式，此时，第  阶输入输出点的留数  等于这两点的振型值乘积，即 这样一来，对模态分析后的FRF综合就变得异常简单了，因此，在实验模态分析中，经常优先使用单位模态A进行缩放。

有限元模态分析时，如果按复模态进行求解，那么，对应的阻尼模型则为一般阻尼模型。

参考：

1.Anders Brandt, Noise and Vibration Analysis: Signal Analysis and Experimental Processing (Second Edition), Wiley Press, 2023

2.谭祥军、钱小猛 译. 模态试验实用技术：实践者指南.机械工业出版社，2019.

3.王朋波 汽车NVH有限元分析中的阻尼模拟