第 一 单 元 小 数 乘 法
1 、 小 数 乘 整 数 ： 意 义 — — 求 几 个 相 同 加 数 的 和 的 简 便 运 算 。
如 ： 1 . 5 × 3 表 示 1 . 5 的 3 倍 是 多 少 或 3 个 1 . 5 是 多 少 。
计 算 方 法 ： 先 把 小 数 扩 大 成 整 数 ； 按 整 数 乘 法 的 法 则 算 出 积 ； 再 看 因 数 中 一 共
有 几 位 小 数 ， 就 从 积 的 右 边 起 数 出 几 位 点 上 小 数 点 。
2 、 小 数 乘 小 数 ： 意 义 — — 就 是 求 这 个 数 的 几 分 之 几 是 多 少 。
如 ： 1 . 5 × 0 . 8 （ 整 数 部 分 是 0 ） 就 是 求 1 . 5 的 十 分 之 八 是 多 少 。
1 . 5 × 1 . 8 （ 整 数 部 分 不 是 0 ） 就 是 求 1 . 5 的 1 . 8 倍 是 多 少 。
计 算 方 法 ： 先 把 小 数 扩 大 成 整 数 ； 按 整 数 乘 法 的 法 则 算 出 积 ； 再 看 因 数 中 一 共
有 几 位 小 数 ， 就 从 积 的 右 边 起 数 出 几 位 点 上 小 数 点 。
注 意 ： 计 算 结 果 中 ， 小 数 部 分 末 尾 的 0 要 去 掉 ， 把 小 数 化 简 ； 小 数 部 分 位 数 不
够 时 ， 要 用 0 占 位 。
3 0 1 0
、 规 律 ： 一 个 数 （ 除 外 ） 乘 大 于 的 数 ， 积 比 原 来 的 数 大 ； 一 个 数 （ 除
外 ） 乘 小 于 1 的 数 ， 积 比 原 来 的 数 小 。
4 、 求 近 似 数 的 方 法 一 般 有 三 种 ：
⑴ 四 舍 五 入 法 ； ⑵ 进 一 法 ； ⑶ 去 尾 法 。
5 、 计 算 钱 数 ， 保 留 两 位 小 数 ， 表 示 计 算 到 分 。 保 留 一 位 小 数 ， 表 示 计 算 到 角 。6 、 小 数 四 则 运 算 顺 序 跟 整 数 是 一 样 的 。
7 、 运 算 定 律 和 性 质 ：
加 法 ：
a b b a
加 法 交 换 律 ： ＋ ＝ ＋
加 法 结 合 律 ： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )
乘 法 ：
乘 法 交 换 律 ： a × b ＝ b × a
乘 法 结 合 律 ： ( a × b ) × c ＝ a × ( b × c )
乘 法 分 配 律 ： ( a ＋ b ) × c ＝ a × c ＋ b × c 或 a × c ＋ b × c ＝ ( a ＋ b ) × c （ b = 1 时 ， 省 略 b ）
变 式 ： ( a － b ) × c ＝ a × c － b × c 或 a × c － b × c ＝ ( a － b ) × c
减 法 ：
减 法 性 质 ： a － b － c ＝ a － ( b ＋ c )
除 法 ：
除 法 性 质 ： a ÷ b ÷ c ＝ a ÷ ( b × c )
第 二 单 元 位 置
8 、 确 定 物 体 的 位 置 ， 要 用 到 数 对 （ 先 列 ： 即 竖 ， 后 行 即 横 排 ） 。 用 数 对 要 能 解
决 两 个 问 题 ： 一 是 给 出 一 对 数 对 ， 要 能 在 坐 标 途 中 标 出 物 体 所 在 位 置 的 点 。 二
是 给 出 坐 标 中 的 一 个 点 ， 要 能 用 数 对 表 示 。
第 三 单 元 小 数 除 法9 、 小 数 除 法 的 意 义 ： 已 知 两 个 因 数 的 积 与 其 中 的 一 个 因 数 ， 求 另 一 个 因 数 的 运
算 。 如 ： 0 . 6 ÷ 0 . 3 表 示 已 知 两 个 因 数 的 积 0 . 6 ， 一 个 因 数 是 0 . 3 ， 求 另 一 个 因
数 是 多 少 。
1 0
、 小 数 除 以 整 数 的 计 算 方 法 ： 小 数 除 以 整 数 ， 按 整 数 除 法 的 方 法 去 除 ， 商 的
小 数 点 要 和 被 除 数 的 小 数 点 对 齐 。 整 数 部 分 不 够 除 ， 商 0 ， 点 上 小 数 点 。 如 果
有 余 数 ， 要 添 0 再 除 。
1 1 、 除 数 是 小 数 的 除 法 的 计 算 方 法 ： 先 将 除 数 和 被 除 数 扩 大 相 同 的 倍 数 ， 使 除
“ ”
数 变 成 整 数 ， 再 按 除 数 是 整 数 的 小 数 除 法 的 法 则 进 行 计 算 。
注 意 ： 如 果 被 除 数 的 位 数 不 够 ， 在 被 除 数 的 末 尾 用 0 补 足 。
1 2 、 在 实 际 应 用 中 ， 小 数 除 法 所 得 的 商 也 可 以 根 据 需 要 用 “ 四 舍 五 入 ” 法 保 留 一
定 的 小 数 位 数 ， 求 出 商 的 近 似 数 。
1 3 、 除 法 中 的 变 化 规 律 ：
① 商 不 变 性 质 ： 被 除 数 和 除 数 同 时 扩 大 或 缩 小 相 同 的 倍 数 （ 0 除 外 ） ， 商 不 变 。
② 除 数 不 变 ， 被 除 数 扩 大 （ 缩 小 ） ， 商 随 着 扩 大 （ 缩 小 ） 。
③ 被 除 数 不 变 ， 除 数 缩 小 ， 商 反 而 扩 大 ； 被 除 数 不 变 ， 除 数 扩 大 ， 商 反 而 缩 小 。
1 4 、 循 环 小 数 ： 一 个 数 的 小 数 部 分 ， 从 某 一 位 起 ， 一 个 数 字 或 者 几 个 数 字 依 次
不 断 重 复 出 现 ， 这 样 的 小 数 叫 做 循 环 小 数 。
循 环 节 ： 一 个 循 环 小 数 的 小 数 部 分 ， 依 次 不 断 重 复 出 现 的 数 字 。 如 6 . 3 2 3 2 … …
的 循 环 节 是 3 2 . 简 写 作 6 . 3 2 。1 5 、 小 数 部 分 的 位 数 是 有 限 的 小 数 ， 叫 做 有 限 小 数 。 小 数 部 分 的 位 数 是 无 限 的
小 数 ， 叫 做 无 限 小 数 。 小 数 分 为 有 限 小 数 和 无 限 小 数 。
第 四 单 元 可 能 性
1 6 、 事 件 发 生 有 三 种 情 况 ： 可 能 发 生 、 不 可 能 发 生 、 一 定 发 生 。
1 7 、 可 能 发 生 的 事 件 ， 可 能 性 大 小 。 把 几 种 可 能 的 情 况 的 份 数 相 加 做 分 母 ， 单
一 的 这 种 可 能 性 做 分 子 ， 就 可 求 出 相 应 事 件 发 生 可 能 性 大 小 。
第 五 单 元 简 易 方 程
1 8 、 在 含 有 字 母 的 式 子 里 ， 字 母 中 间 的 乘 号 可 以 记 作 “ · ” ， 也 可 以 省 略 不 写 。
加 号 、 减 号 除 号 以 及 数 与 数 之 间 的 乘 号 不 能 省 略 。
1 9 、 a × a 可 以 写 作 a · a 或 a ， a 读 作 a 的 平 方 ， 2 a 表 示 a + a 。
特 别 地 ， 1 a = a ， 这 里 的 “ 1 “ 我 们 不 写 。
2 0 、 方 程 ： 含 有 未 知 数 的 等 式 称 为 方 程 （ ★ 方 程 必 须 满 足 的 条 件 ： 必 须 是 等 式
必 须 有 未 知 数 两 者 缺 一 不 可 ） 。 使 方 程 左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 ， 叫 做 方 程
的 解 。 求 方 程 的 解 的 过 程 叫 做 解 方 程 。
2 1 0
、 解 方 程 原 理 ： 天 平 平 衡 。 等 式 左 右 两 边 同 时 加 、 减 、 乘 、 除 相 同 的 数 （
除 外 ） ， 等 式 依 然 成 立 。2 2 、 1 0 个 数 量 关 系 式 ：
加 法 ：
和 ＝ 加 数 ＋ 加 数
一 个 加 数 ＝ 和 － 另 一 个 加 数
减 法 ：
差 ＝ 被 减 数 － 减 数
被 减 数 ＝ 差 ＋ 减 数
减 数 ＝ 被 减 数 － 差
乘 法 ：
积 ＝ 因 数 × 因 数
一 个 因 数 ＝ 积 ÷ 另 一 个 因 数
除 法 ：
商 ＝ 被 除 数 ÷ 除 数
被 除 数 ＝ 商 × 除 数
除 数 ＝ 被 除 数 ÷ 商
2 3 、 所 有 的 方 程 都 是 等 式 ， 但 等 式 不 一 定 都 是 等 式 。
2 4 、 方 程 的 解 是 一 个 数 ； 解 方 程 式 一 个 计 算 过 程 。
第 六 单 元 多 边 形 的 面 积
2 6 、 公 式 ：多 边 形 面 积 公 式 面 积 公 式 的 变 式
正 方 形 正 方 形 的 面 积 ＝ 边 长 × 边 长 已 知 ： 正 方 形 的 面 积 ， 求 边 长 。
S 正 ＝ a × a
长 方 形 长 方 形 的 面 积 ＝ 长 × 宽 已 知 ： 长 方 形 的 面 积 和 长 ， 求
S a × b 宽 。
长 ＝
平 行 四 平 行 四 边 形 的 面 积 ＝ 底 × 高 已 知 ： 平 行 四 边 形 的 面 积 和 底 ，
边 形 求 高 。
S 平 ＝ a × h
h ＝ S 平 ÷ a
三 角 形 已 知 ： 三 角 形 的 面 积 和 底 ， 求
三 角 形 的 面 积 ＝ 底 × 高 ÷2
S 三 ＝ a × h÷2 高 。
h ＝ S 三 × 2 ÷ a
梯 形 梯 形 形 的 面 积 ＝ （ 上 底 ＋ 下 已 知 ： 梯 形 的 面 积 与 上 下 底 之
底 ） × 高 ÷ 2 和 ， 求 高 。
S 梯 ＝ （ a ＋ b ） X 2 高 ＝ 面 积 × 2 ÷ （ 上 底 ＋ 下 底 ）
上 底 ＝ 面 积 × 2 ÷ 高 － 下 底
组 合 图 当 组 合 图 形 是 凸 出 的 ， 用 两 当 组 合 图 形 是 凹 陷 的 ， 用 一 种
形 种 或 三 种 简 单 图 形 面 积 相 加 最 大 的 简 单 图 形 面 积 减 较 小 的
进 行 计 算 。 简 单 图 形 面 积 进 行 计 算 。
2 7 、 平 行 四 边 形 面 积 公 式 推 导 ： 剪 拼 、 平 移平 行 四 边 形 可 以 转 化 成 一 个 长 方 形 ；
长 方 形 的 长 相 当 于 平 行 四 边 形 的 底 ；
长 方 形 的 宽 相 当 于 平 行 四 边 形 的 高 ；
长 方 形 的 面 积 等 于 平 行 四 边 形 的 面 积 ， 因 为 长 方 形 面 积 = 长 × 宽 ， 所 以 平 行 四 边
= ×
形 面 积 底 高 。
2 8 、 三 角 形 面 积 公 式 推 导 ： 旋 转
两 个 完 全 一 样 的 三 角 形 可 以 拼 成 一 个 平 行 四 边 形 ， 平 行 四 边 形 的 底 相 当 于 三 角
形 的 底 ；
平 行 四 边 形 的 高 相 当 于 三 角 形 的 高 ；
平 行 四 边 形 的 面 积 等 于 三 角 形 面 积 的 2 倍 ， 因 为 平 行 四 边 形 面 积 = 底 × 高 ， 所 以
= × ÷ 2
三 角 形 面 积 底 高 。
2 9 、 梯 形 面 积 公 式 推 导 ： 旋 转
两 个 完 全 一 样 的 梯 形 可 以 拼 成 一 个 平 行 四 边 形 。 平 行 四 边 形 的 底 相 当 于 梯 形 的
上 下 底 之 和 ； 平 行 四 边 形 的 高 相 当 于 梯 形 的 高 ； 平 行 四 边 形 面 积 等 于 梯 形 面 积
的 2 倍 ， 因 为 平 行 四 边 形 面 积 = 底 × 高 ， 所 以 梯 形 面 积 = ( 上 底 + 下 底 ) × 高 ÷ 2 。
3 0 、 等 底 等 高 的 平 行 四 边 形 面 积 相 等 ； 等 底 等 高 的 三 角 形 面 积 相 等 。
3 1 、 等 底 等 高 的 平 行 四 边 形 面 积 是 三 角 形 面 积 的 2 倍 。
3 2 、 长 方 形 框 架 拉 成 平 行 四 边 形 ， 周 长 不 变 ， 面 积 变 小 。
3 3 、 组 合 图 形 面 积 计 算 ： 必 须 转 化 成 已 学 的 简 单 图 形 。当 组 合 图 形 是 凸 出 的 ， 用 虚 线 分 割 成 几 种 简 单 图 形 ， 把 简 单 图 形 面 积 相 加 计 算 。
当 组 合 图 形 是 凹 陷 的 ， 用 虚 线 补 齐 成 一 种 最 大 的 简 单 图 形 ， 用 最 大 简 单 图 形 面
积 减 几 个 较 小 的 简 单 图 形 面 积 进 行 计 算 。
第 七 单 元 植 树 问 题
3 4
、 不 封 闭 栽 树 问 题 ：
（ 1 ） 一 条 路 的 一 边 两 端 都 栽 树 = 路 长 ÷ 间 隔 + 1 ； 已 知 间 隔 数 ， 树 的 棵 树 ， 求 路
长 。 路 长 = 间 隔 数 × （ 树 的 棵 树 - 1 ）
（ 2 ） 一 条 路 的 两 边 两 端 都 栽 树 = （ 路 长 ÷ 间 隔 + 1 ） × 2
（ 3 ） 一 条 路 的 一 边 两 端 不 栽 树 = 路 长 ÷ 间 隔 - 1
4 = ÷ - 1 × 2
（ ） 一 条 路 的 两 边 两 端 不 栽 树 （ 路 长 间 隔 ）
（ 5 ） 锯 木 头 时 间 问 题 ： 锯 一 段 木 头 时 间 = 总 时 间 ÷ （ 段 数 - 1 ）
3 5 、 封 闭 图 形 四 周 栽 树 问 题 ： 栽 树 棵 树 = 周 长 ÷ 间 隔
3 6 (
、 鸡 兔 同 笼 问 题 ： 龟 鹤 问 题 、 大 船 小 船 问 题 ）
（ 1 ） 算 术 假 设 法 1 ： 假 设 几 只 都 是 兔 子 ， （ 都 是 脚 多 的 兔 子 ） ， 先 求 鸡 的 只 数 。
鸡 的 只 数 ： （ 总 头 数 × 4 - 总 脚 数 ） ÷ （ 4 - 2 即 一 只 兔 的 脚 数 减 去 一 只 鸡 的 脚 数 ）
兔 的 只 数 ： 总 头 数 - 鸡 的 只 数
算 术 假 设 法 2 ： 假 设 几 只 都 是 鸡 ， （ 都 是 脚 少 的 鸡 ） ， 先 求 兔 子 的 只 数 。
- × 2 ÷ 4 - 2
兔 子 的 只 数 ： （ 总 脚 数 总 头 数 ） （ 即 一 只 兔 的 脚 数 减 去 一 只 鸡 的 脚 数 ）
鸡 的 只 数 ： 总 头 数 - 兔 子 的 只 数
（ 2 ） 方 程 法 ： 设 兔 子 有 x 只 ， 则 兔 子 脚 有 2 x 只 。 那 么 鸡 有 （ 总 头 数 - x ) 只 。?
根 据 “ 兔 子 脚 + 鸡 脚 = 总 脚 数 ” 列 方 程 解 答 先 求 兔 子 只 数 ， 再 算 出 鸡 的 只 数 。
即 ： 4 x + 2 × （ 总 头 数 - x ） = 总 脚 数
3 6 、 从 不 同 的 角 度 观 察 物 体 ， 看 到 的 形 状 可 能 是 不 同 的 ； 观 察 长 方 体 或 正 方 体
时 ， 从 固 定 位 置 最 多 能 看 到 三 个 面 。 （ 习 惯 上 我 们 从 左 面 、 正 面 、 上 面 看 ， 把 这
三 种 视 图 统 称 三 视 图 ）
3 7 、 图 形 的 运 动 ： 轴 对 称 图 形 。
（ 1 ） 沿 一 条 直 线 对 折 后 ， 两 边 完 全 重 合 的 图 形 叫 做 轴 对 称 图 形 ， 这 条 直 线 叫 做
对 称 轴 。 圆 有 无 数 条 对 称 轴 。 正 方 形 有 4 条 对 称 轴 。 等 边 三 角 形 有 3 条 对 称 轴 。
长 方 形 有 2 条 对 称 轴 。 等 腰 三 角 形 和 等 腰 梯 形 有 1 条 对 称 轴 。
（ 2 ） 轴 对 称 图 形 的 特 点 ： 沿 对 称 轴 对 折 ， 两 边 完 全 重 合 。 ? 每 一 组 对 应 点 到 对
称 轴 距 离 度 相 等 。 对 应 点 之 间 的 连 线 与 对 称 轴 互 相 垂 直 。
（ 3 ） 要 能 根 据 对 称 轴 画 出 对 称 图 形 的 另 一 半 。
3 8 、 数 字 编 码 ：
（ 1 ） 数 不 仅 可 以 用 来 表 示 数 量 和 顺 序 ， 还 可 以 用 来 编 码 。
（ 2 ） 邮 政 编 码 由 6 位 数 字 组 成 ， 前 2 位 表 示 省 ； 前 3 位 表 示 邮 区 ， 前 4 位 表
示 县 市 ， 最 后 2 位 表 示 投 递 局 （ 大 地 基 乡 投 递 局 ） 。
（ 3 ） 身 份 证 1 8 位 ： 第 7 至 1 4 位 表 示 出 生 年 月 日 ； 倒 数 第 二 位 的 数 字 表 示 性
别 ， 单 数 - 男 ， 双 数 - 女 。
（ 4 ） 根 据 卡 号 信 息 、 运 动 员 编 号 信 息 、 门 牌 信 息 填 写 编 码 规 律 。 |
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