浅谈微分几何和黎曼几何（科普）

       在上一篇文章“微分流形的一些必备知识整理”中，我们介绍了微分流形的基本概念，本文将在此基础上，介绍古典微分几何和黎曼几何的一些内容。

       我们从古典微分几何开始，所谓“古典”，是指我们的研究对象都是3维欧式空间中的光滑曲线和光滑曲面；而黎曼几何是在更加“抽象”的光滑流形上建立的。古典微分几何可以给黎曼几何提供许多直观和动机。

        首先是3维欧式空间的光滑（正则）曲线，这个曲线实际上可以表示成一个  的光滑映射；曲线的长度等于切向量的长度沿着曲线积分，实际上是“路程等于速率乘时间”，为了方便起见，我们可以假设曲线的参数化是弧长参数化，即速率恒等于1；这样，在曲线的每一点处，有一个单位切向量，单位切向量对时间求导得到一个与单位切向量垂直的向量，该向量单位化后得到的向量称为主法向量，单位切向量和主法向量叉乘得到次法向量，于是在每一点处，单位切向量、主法向量和次法向量构成该点处的一个（右手）单位正交标架，称为Frenet标架。

        当质点在曲线上运动时，整个Frenet标架也随着质点在光滑地变化，于是Frenet标架可以对时间求导，求导后仍然可以用Frenet标架表示，如下所示：         其中  是Frenet标架，  分别是曲线的曲率和挠率。这两者都刻画了曲线的弯曲，曲率刻画了“质点在曲线上做匀速运动时，需要受到的向心力”，挠率刻画了“曲线偏离平面的程度，该平面由切向量和主法向量张成”。反过来，给定曲率和挠率，通过上述ODE可以把曲线“确定”下来。

         接下来考虑3维欧式空间中的光滑（正则）曲面，局部上曲面可以看成是一个光滑二元函数  ，曲面在每一点的切空间由  张成，我们给切空间赋予一个内积，这个内积就是从3维欧式空间继承下来的，从而切空间从一个普通的线性空间升级为一个内积空间，于是切向量的长度、夹角都是有意义的几何量，曲面上曲线的长度就是切向量的长度沿着曲线的积分，曲面上一个区域的面积就是  张成的平行四边形的面积沿着区域的积分，于是可以自然引入曲面的第一基本形式的概念，这是曲面上的对称（0,2）型光滑张量场：        这里我们采用了爱因斯坦求和约定，第一基本形式蕴含了长度、面积和角度的信息。

       假如有两个曲面，并且存在从一个曲面到另一个曲面的微分同胚，使得这个映射“保持”两个曲面的第一基本形式不变（即在拉回映射下，第一基本形式不变），则称这个映射是等距变换。等距变换保持切向量的长度和夹角不变。如果只保持夹角不变，则称为共形变换。微分几何的一个重要结论就是，曲面在局部上看，都是可以通过一个共形变换映射为平坦的2维欧式空间，即曲面是局部共形平坦的，曲面的第一基本形式可以写为：        平面和柱面具有相同的第一基本形式，但是作为一个3维空间的观察者，平面和柱面是不同的。从而引入曲面的第二基本形式，第二基本形式刻画了曲面偏离切平面的程度。在每一点处，沿着某一个切方向，可以画一条曲面上的曲线，这个曲线的弯曲程度由两部分构成：第一部分是曲线关于曲面的弯曲，第二部分是曲面自身在3维欧式空间中的弯曲造成的曲线的弯曲；直观上说，如果我们在曲面上放一个质点，质点不受外力，那么质点将在曲面上做“匀速直线”运动，这时候曲线关于曲面就没有弯曲了，质点走出来的路径也称为测地线，但是从3维空间看，质点仍然可能受到向心力，这个力是由曲面的弯曲造成的。曲线第二部分的弯曲可以反映曲面的弯曲程度，这称为曲面的法曲率，定义为沿着该切方向的曲线的曲率。当切方向（转一圈）变化时，法曲率将沿着某两个方向取到最大值和最小值，称为主曲率。主曲率的平均数称为平均曲率，主曲率的乘积称为高斯曲率。平均曲率为0的曲面称为极小曲面。

         从高斯曲率的定义来看，依赖于外围空间（3维欧式空间）和曲面的第二基本形式，高斯经过了一番计算，得到了一个惊人的发现，即高斯绝妙定理，该定理指出，曲面的高斯曲率仅依赖于第一基本形式！也就是说，第一基本形式也蕴含了曲面弯曲的信息。

        如何证明高斯绝妙定理？只需计算如下二阶导数的差即可：          这将在后面引出“黎曼曲率张量”的概念。比如，   的高斯曲率为  ；高斯曲率在局部等距变换下不变，平面的高斯曲率为0，柱面的高斯曲率为0，半径为r的球面的高斯曲率为1/r^2. 常高斯曲率曲面在局部上可以分为三类：球面（正曲率），平面（0曲率），双曲空间（负曲率）；球面上的测地线具有“收缩”的性质，双曲空间上的测地线具有某种发散的性质，这将在后面引出“Jacobi场”的概念。Gauss-Bonnet定理联系了曲面的局部与整体，几何与拓扑；整体Gauss-Bonnet定理说的是，考虑一个紧致无边的可定向闭曲面，该曲面的拓扑由亏格唯一确定，用S表示该曲面，K表示高斯曲率，A表示曲面上的面积元，X(S)是曲面的欧拉示性数，则        在欧式空间中，三角形的内角和等于180度，在球面上，测地三角形的内角和大于180度，在双曲空间中，测地三角形的内角和小于180度，这是（局部）Gauss-Bonnet定理的推论。

       在高斯绝妙定理的启发下，黎曼几何得到创立和发展。首先，我们研究的曲面可以推广到更高维的空间中，即n维光滑流形。在古典微分几何中，有一部分是“内蕴”的，不依赖于外围空间，这是与第一基本形式有关的量；有一部分是“外蕴”的，依赖于外围空间的选取，比如第二基本形式有关的一些量。这些都可以推广到黎曼几何中。在n维光滑流形上，每一点处的切空间都是一个n维线性空间，我们可以给这个线性空间赋予一个内积，即一个（0,2）型张量，并且要求这个内积在流形上光滑变化，于是给出了流形上的一个对称（0,2）型光滑张量场，在局部坐标系下可以写为：        这是对第一基本形式的推广，称为黎曼度量张量。特别需要注意的是，在古典微分几何中，第一基本形式是从外围空间（3维欧式空间）的内积继承下来的，而黎曼度量张量不依赖于外围空间，是一个人为定义的、附加在光滑流形上的一个新结构，赋予黎曼度量张量的光滑流形称为黎曼流形。有了第一基本形式，切空间成为一个欧式空间，从而可以定义黎曼流形上曲线的长度，区域的面积，曲线的夹角等概念。因此等距变换和共形变换的概念可以直接推广过来。

        类似地，第二基本形式也可以推广，如果某一个黎曼流形A是另一个黎曼流形B的子流形，则B就是A的“外围空间”，因此可以定义第二基本形式。

        现在回到“内蕴”的情况，为了把高斯曲率推广到黎曼流形上，需要定义“求导”。所谓“求导”，是指光滑流形上的光滑向量场对光滑向量场的求导，也称为联络。（“求导”之所以叫联络，在上一篇文章“微分流形的一些必备知识整理”中已给出解释）光滑流形的联络有无穷个，但是在黎曼流形上，有且仅有唯一的一个联络，满足如下性质（无挠性、与度量相容性），称为Levi-civita联络（或黎曼联络）：          其中  是Lie括号，可以在上一篇文章“微分流形的一些必备知识整理”中查找。有了黎曼联络，可以给出测地线满足的方程，对于一条光滑曲线r(t)，这条曲线是测地线当且仅当          换句话说就是质点在运动过程中不受外力，做“匀速直线”运动，速度向量r'(t)关于时间“不变”，所以对时间求导为0. 在局部坐标系下，测地线方程是一个二阶非线性ODE组，因此解不一定是全局存在的。

         “两点之间，直线段最短”，这可能是我们最早了解到的一个几何“常识”。为了研究测地线是否具有最短性，我们需要引入弧长的第一、第二变分，直观上说，对于一个函数，我们要判断一个点是否是极小值点，只需要看一阶导数为0，二阶导数（Hessian矩阵）正定。类似地，弧长变分就是对这一思想的应用，我们考虑一族曲线，曲线的长度构成一个函数，要判断曲线长度在某一“点”取到极小值，只需要求一阶导数和二阶导数即可。

        有了黎曼联络，可以定义曲率的概念，受到高斯绝妙定理证明的启发，定义如下（1,3）型张量，称为黎曼曲率张量：         有了黎曼曲率张量，可以定义高斯曲率的推广，即截面曲率。“截面”是指：我们在切空间中选取一个2维子空间，然后计算沿着这个2维子空间的高斯曲率。截面曲率是一个比较“强”的概念，一个更弱的曲率是里奇曲率，里奇曲率由若干个截面曲率相加得到；比里奇曲率更弱的曲率是数量曲率，数量曲率由若干个里奇曲率相加得到。

         曲率是一个局部定义的概念，但是可以影响整体的性质。比如，前面提到了，球面的测地线具有“收缩”的性质，双曲空间的测地线具有“发散”的性质，这正是受到曲率的影响：如果考虑测地线的测地变分，即一族测地线，那么将得到Jacobi方程和Jacobi场，曲率项出现在Jacobi方程中，因而可以控制不同测地线的“远近”，从而对于不同曲率的流形，测地线表现出“收缩”“发散”等不同的性质。同时，曲率项也出现在弧长的第二变分中，进而影响一条测地线是否是局部最短的，从而影响整体的性质。比如（Bonnet-Myers定理），如果一个完备的黎曼流形的里奇曲率有正的下界，那么由弧长的第二变分，如果最短测地线的长度过长，则不是局部最短的，从而矛盾，于是整个黎曼流形是有界的。更多的结论称为各类比较定理，通过对曲率加以限制，并与一些标准的空间（比如空间形式）进行比较，得到黎曼流形的一些整体性质。比较定理的一个有意思的推论是，如果一族完备的、一致有界的n维黎曼流形的里奇曲率具有一致的下界，则这一族黎曼流形是列紧的。

       总结：本文科普介绍了古典微分几何和黎曼几何中的一部分基础知识，这些内容只是几何学的冰山一角。古典微分几何和黎曼几何是数学中的两个重要领域，它们为我们提供了理解空间形状和结构的深刻工具。从二维曲面到高维流形，从局部曲率到全局结构，背后的几何思想具有深刻的启发性意义。通过理解这些几何原理，我们能够更好地认识世界的结构和规律。