函数的对称性——《白话高中数学——集合、函数、不等式专题（十）》

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一、定义：

1、轴对称

对于函数来说，如果在x=a 这条直线的两边，向左一个x，向右一个x，它们的函数值相等:

也就是满足如下的数学表示:

此时，我们就说这个函数f(x)关于x=a轴对称。

2、点对称

对于一个点（a，b），向左一个x，向右一个x，它们的函数值相加是这个点函数值的二倍，我们就说这个函数关于点（a,b）对称。

也就是满足如下数学表示：

则函数f(x)关于（a，b）点对称。

注意：

偶函数是轴对称的一种特例。

轴对称处，若函数可导，一阶导函数值为零，函数有极值出现。

奇函数是点对称的特例。  

常见的表达形式如下

轴对称：

在x=a的两边，会有f(a-x)=f(a+x)，这就说明函数f(x)是关于x=a这条线“轴对称”的。

这一点也很好理解：如果x点的函数值f(x)，和另一个点(2a-x)的函数值f(2a-x)相等，那么就说明这两个函数值关于它们自变量的中间值对称，它们两的中间值是(x+2a-x)/2=a。

更进一步，假如我们的x取任意值，都能满足上面的要求，那就说明这个函数是关于x=a轴对称的。

这种轴对称的情形和上一个轴对称相同，由于两处的函数值相等，也就意味着这两个函数值关于变量的中间位置对称呗，这似乎没啥好说的。

点对称：

从点（a,0）开始，自变量向左移动一个x得到的函数值f(a-x)，和向右移动一个x得到的函数值f(a+x)正好相反，也就是函数值之和等于0，那这两个函数值不就妥妥地关于点（a,0）对称吗？

同理，如果点x对应的函数值f(x)，和（2a-x）对应的函数值f(2a-x)相反，也就意味着这个函数是关于它们自变量的中间值对称的。图示方法同上，此处略。

解释方法同上，如果一个函数在两个不同的自变量的时候，函数值相反，那就说明这个函数关于它们自变量的中间值点对称。

这一种点对称情形，如果用图形来表示，也会变得非常自然：

其实，你可以把上图想象成函数关于x轴上的点对称，然后向上平移了一个段距离b而已，也就是说，在x=a这条线左右等距离的两侧，函数值相加为2b，那就说明，上面这个点的值和下面这个点的值之和是2b，两点连线的中点值是b。那函数的对称点就变成了（a，b）.

上面这些式子，都可以通过图形推理，得以简单证明。

点对称，其实就是关于两点中点的坐标数据对称。

对称点，也就是中点，其横纵坐标，为对应两点中点的坐标。

如果一个函数是轴对称的，那么在它的对称轴上，可能会取得最大或者最小值；也就意味着，如果它平滑可导的话，该函数在对称轴处的一阶导数值为0。

如果一个函数是点对称的，也就意味着，无论自变量怎么变化，所有函数值之和的最终结果，都由对称点的纵坐标的偶数倍来确定。

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