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这篇短文简单聊一聊平面中的渐开线齿轮，这种简单机械的意义似乎超过了很多更复杂的结构。 齿轮的功能是将旋转从机械的一部分传递到另一部分。虽然看上去简单，但如果想获得稳定的传动，即使对平面齿轮来说，齿廓曲线的设计也不是一件随便的事。例如下面这个（Algodoo中的原装齿轮）便无法实现这一点： 考虑一对具有光滑齿廓曲线的刚性平面齿轮, 其转轴固定于A和B点, 假设这两个齿轮正相切于P点： 对于一个孤立的刚体来说，并不能区分这样的转动是'主动'（即在坐标系固定的情况下，旋转刚体）还是'被动'（即在刚体固定的情况下，旋转坐标系）的。实际上这正是'刚体'的定义：在旋转下不变！如果坐标系固定，刚体的状态在旋转下当然会改变，但这样的旋转总是可以被某个全局的坐标变换所抵消。不过当刚体多于一个的时候，被动旋转的形式就相当特殊了：每个刚体的旋转中心相同（如果只进行这种形式的旋转，说明它们是同一个刚体）。齿轮所致力于传递的正是主动旋转。 现在可以描述两个齿轮的转动了，让我们聚焦于在此刻相切的P点。在齿轮A上，该点处的速度为：，而在齿轮B上，该点处的速度为：。要使两个齿轮持续啮合（满足此条件的两个齿廓曲线称为一对'共轭曲线'），它们的相对速度需要平行于公切线(设切线方向为；其垂直方向记为)： 也即 和 平行（或者说， ），否则下一刻齿轮A上P处的点会进入齿轮B中...同时我们希望获得稳定的传动比，即保持为常数。为了满足这两点要求，(简记 )需要为常数。 过P点作一条和公切线垂直的直线L（按上述要求，这条线不可能和AB重合），将它和AB连线的交点记为Q。然而，，所以Q在AB上的位置决定了（这被称为'齿廓啮合基本定理'）。因此稳定的传动比要求是AB上的定点。 如何实现呢？一种聪明的设计是：采用以A/B为圆心的某个圆A/B的渐开线 (involute or evolvent；注意渐屈线是evolute) 作为齿轮A/B的齿廓曲线。和刚体的理论一样，这也是Euler的作品。实际上有无数种齿廓曲线满足稳定传动的要求，但只有这种设计可以让两个齿轮的公切线和直线AB的夹角（称为'啮合角'）始终保持不变。对于圆来说，其渐开线的切线的垂线和该圆相切，所以过P点的直线L和圆A,B均相切——这样的直线当然只有一条，它和AB连线的交点Q便是一个固定点（而传动比等于这两个生成圆的半径之比）。 自从爱因斯坦洞察了时间和空间的联系，时间很难再被视为孤立的变量。时间和空间当然不是对称的（它们的起源或许并不相同），但将时空看作一个整体的对称性似乎如此基本，且至今都没有错误的迹象（相比之下，另一些理所当然的事，例如（局域惯性系中）空间反演、甚至CP变换下的对称性，则被发现并不总是成立）。（局域惯性系中）基本物理定律在空间转动下的不变只是这个对称性的一部分，另一个部分则涉及洛伦兹转动 (boost)。 和空间转动（或欧氏转动）不同，洛伦兹转动一般不被认为具有真正的物理意义，而只是一种坐标变换。但或许可以想象某种刚体的运动并非时空中的平动和空间转动，而是平动和洛伦兹转动——这些刚体在洛伦兹转动下是不变的！它们或许用某个空间维度来测量洛伦兹转动的速度，因此难以理解空间转动（对它们来说没有真正的物理意义）为什么可以回到起点，就像我们无法理解时间之矢。虽然这种宏观刚体的运动未必反映了支配它们的基本物理定律，这些物理一定摆脱了我们眼中的因果律，因为这些刚体可以肆意穿梭时间，虽然被某个空间维度所束缚。 当然，也不是非得成为这类实体才能感受洛伦兹对称性，只是需要暂时放弃三维空间中的某些习惯（例如只考虑在空间转动下'不变'的那些对象）。实际上，即使在空间转动中也能看到洛伦兹转动的影子，它们并非毫无关联。 因此，二维平直时空中的齿轮传动就成了一个自然的问题。但（和所有问题一样）首先需要将它投射到欧氏空间中。因为前面已经建立了平面直角坐标系，一种简单的做法是令时空坐标（事实上这组坐标对下面的讨论也是最为合适的）。现在考虑一个点，假设。容易验证，关于点的正向（）洛伦兹转动可以描述为：, 其中 , ，然后取的前两个维度的坐标。这里需要把矢量的外积规则修改为： 从而其结果垂直于和。 为了满足稳定传动的需求，出于和前面相似的理由，Q应该是AB上的定点。为此可以采用以A/B为圆心的某个圆A/B的闵氏渐开线作为齿轮A/B的齿廓曲线。需要注意的是，这里的''圆''满足，因而从欧几里得的角度看是一条双曲线。某些均速的洛伦兹转动或许正由这样的齿轮所传递着。 |
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来自： yadongxiao > 《待分类》
在分析这个问题之前，首先来复习一下如何描述平面中一根棒的转动。建立一个平面直角坐标系，将这根棒的一端固定于
