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画图可以使笼统的问题具体化、抽象的问题形象化，可以让我们更加清晰的理解题意、理清思路，顺利找到解决问题的方法。因此，它是小学数学中最为常用的一种解题策略。 当然，根据问题的类型不同，可以画线段图、画几何图（平面图形和立体图形）与画符号图等多种画图形式，帮助我们分析问题中的数量关系。 1.画线段图 例1：学校花园里的红花和黄花一共有72朵，其中红花比黄花多12朵。花园里黄花和红花各有多少朵？ 分析：已知红花和黄花的总朵数及两种花相差的朵数，要求两种花各有多少朵，对于刚学和差问题的学生来说，数量关系模糊，甚至找不到解题思路。如果用线段图模型去分析问题中的数量关系，不但思路清晰，而且解题方法也多了起来。  方法一：去掉相差部分。 把红花比黄花多的12朵花去掉后，红花就与黄花同样多了。这时两种花的总朵数为72-12=60（朵），60÷2=30（朵）就是黄花朵数，则红花朵数就有30+12=42（朵）。 方法二：添上相差部分。 黄花比红花少12朵，假设再借来12黄花，这样黄花就与红花同样多了。而这时花的总朵数也发生了变化，是72+12=84（朵），84÷2=42（朵）就是红花的朵数，则黄花就有42-12=30（朵）。 方法三：等分相差部分。 把红花比黄花多的12朵花等分两份，每份6朵。分给黄花和红花各6朵后，花的总朵数并没有发生变化，而两种花朵数却同样多了，则每种花各有72÷2=36（朵）。于是得到红花有36+6=42（朵），黄花有36-6=30（朵）。 当然，随着学习知识的增加，到了高年级还有其他的解题方法。 例2：甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。相遇后两车继续前进，到达目的地后都立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。求A、B两地的路程。 分析：本题既不知道两车的行驶速度，也不知道两车的行驶时间，并且已知条件之间的数量关系十分复杂，这时不妨借助线段图进行分析。  图中较细的线表示甲行驶路程，较粗的线表示乙行驶路程。 甲乙两车出发后第一次相遇时，共同走完了一个全程，其中甲走了75千米。也就是说，甲乙两车共同走完一个全程时，甲车走了75千米。 在第一次相遇后两车是继续前行，到第二次相遇时，两车共同走完了2个全程，那么甲车又走了2个75千米。所以，从出发到第二次相遇甲车共走了3个75千米，即225千米，也就是甲车行驶的路程。再根据第二次相遇点离B地有55千米，就可以求出A、B两地的路程225-55=170（千米）。 借助线段图就可以直观的反映出甲、乙两车行驶的路程与他们相遇的次数之间的关系，为我们寻找已知量与未知量的联系提供了平台。这就是画图策略的优点。 2.画几何图形 例3：公路边有一个宽5米的长方形花园。因扩建公路，花园的宽减少3米，这样花园的面积只剩下200平方米。原来花园面积是多少平方米？ 分析：要求长方形花园原来的面积，已经知道它的宽为5米，只要求出长，便可以解决问题。但现在数量之间的关系不够清晰，不知求宽从何入手。因此可以借助画图的方法，来理清数量关系。  方法一：长方形的宽减少3米，还剩下2米，而2米对应长方形花园面积是200平方米，便可以求出长方形的长为200÷2=100（平方米），于是原来花园的面积为100×5=500（平方米）。 方法二：公路扩建前后长方形花园的长并没有发生变化，只是宽的长度变化。当宽为2米时，对应长方形面积为200平方米，那么可以得到宽为1米时，对应长方形面积为100平方米。所以，当宽为5米时，对应长方形面积为500平方米。 当然，还可以用方程与比例等知识进行求解。 有了这样一个平面图形的模型，可以使数量关系清晰，解题思路明确，解题方法多样，可谓一举多得。 例4：一个酒瓶瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为480毫升。当瓶子正放时，瓶内酒面高20厘米；当瓶子倒放时，空余部分高为5厘米。求瓶内酒的体积。（酒瓶的厚度忽略不计）  分析：通过画几何图可以直观地观察到，酒瓶正放与倒放后的空余部分容积是相等的。也就是说，瓶内酒的体积与空余部分的容积合起来就是酒瓶的容积480毫升。 而酒瓶的底面半径不知道，不妨设为r。那么瓶内酒的体积就可以表示为πr²·20，即20πr²；空余部分的容积为5πr²。则这个酒瓶的容积就可以表示为20πr²+5πr²，于是有20πr²+5πr²=480,25πr²=480，πr²=19.2。所以瓶内酒的体积为20πr²=20×19.2=384。 借助几何图也可以这样想，当酒瓶正放时，瓶内酒的高度为20厘米，酒面上的瓶颈部分用酒瓶倒放时的空余部分替换，便得到一个容积为480毫升的圆柱体容器。  这个圆柱体的体积为480立方厘米，高为25厘米，很快可以求出底面积是480÷25=19.2（平方厘米）。所以瓶内酒的体积为19.2×20=384（立方厘米）。这就是画图策略所带来的简便解法。 3.画符号图 例5：学校举行羽毛球比赛，高年级同学被分成了2组，每个小组各8人。每组中两人为一小组进行淘汰赛，负者淘汰、胜者进入下一轮比赛，最后决出各组的第一名进行决赛。两个组一共要进行多少场比赛？ 分析：所谓淘汰赛，就是每组中两两一对进行比赛，获胜者再按两两组对比赛，直到赛出每组的第一名，最后由两组的第一名进行决赛。根据题意，可以用圆圈或数字等符号去表示每组的队员，画出淘汰赛的示意图，帮助我们寻找解法。  第一轮比赛每组都赛了4场，第二轮每组又赛了2场，第三轮每组赛了1场，第四轮比赛是决胜局1场。即每组分别赛了4+2+1=7（场），另加1场决赛，合计赛了7+7+1=15（场）。直观形象，解法明确。 例6：鸡兔共35只，共有94条腿，问鸡兔各有多少只？ 分析：这是著名的“鸡兔同笼”问题，解法甚多，下面以画符号图的方法进行分析，并寻找解法。  假设全是鸡，才有35×2=70（条）腿，少了94-70=24（条）腿。开始添腿，每只鸡添2条腿，要添24÷2=12（只）鸡，才能把少的24条腿补上来。那么这12只鸡就要变为兔子，所以兔有12只，鸡有35-12=23（只）。 |
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