【原】2025二模几何压轴题——圆中的分类讨论

方法梳理

圆背景下的分类讨论讨论问题主要分为以下三类（可点击图片跳转相应内容）

① 与圆位置相关的分类讨论

(1)圆与圆位置关系的分类讨论。解决此类问题的关键点，在于找准临界位置，即内切或外切的关键点。

(2) 相交两圆公共弦在两圆圆心的同侧或异侧的分类讨论问题。

② 点在线段或其延长线上的分类讨论

当动点运动到线段上时的图形往往和动点在线段的延长线上的图像有很大差别，但是“图形改变，方法不变”.两张图形虽然不同，但是边与边，角与角之间的关系往往不变，原有的相似三角形或者比例线段依然成立，而改变的往往是线段之间的和、差关系。从特殊到一般，这也是发现问题、研究问题的一种常用方法。

解决此类问题时，要能够明确点的运动轨迹，当出现“射线”、“直线”时，要特别注意，说明其中可能隐含了分类讨论。

③ 因动点产生的特殊三角形的分类讨论

常见的特殊三角形的存在性问题主要有相似三角形、等腰三角形和直角三角形的存在性问题。对于此类问题的解决方法，主要紧扣圆和特殊三角形的性质，运用相似三角形的判定、性质或解三角形的方法予以解决。

01.2025闵行二模25题

2025闵行二模25题是圆背景下与点在线段或其延长线上的分类讨论、相似三角形的分类讨论、两圆特殊位置关系的分类讨论。

本题的第(1)问借助垂径定理，通过解三角形即可求出∠CBO的正切值。

本题的第(2)问涉及相似三角形的分类讨论和点在线段及其延长线上的分类讨论。由于OD⊥DE，则∠BDE为钝角，同时根据外角的性质，可知∠DOB为钝角，因此相似的存在性有且仅有一种情况。而点D可能在第(1)问中垂足H的左侧或右侧，因此本题主要涉及点位置的分类讨论。本题主要借助图中的两组相似三角形线段间的比例关系求解。

本题的第(3)问是两圆位置的分类讨论。首先考虑两圆内切或外切的情况，其次考虑DE//AB的情况。

因此通过计算可以得出位置关系只有内含、内切和相交三种。

02.2025浦东二模25题

2025浦东二模25题是圆背景下与重心、中点相关的问题，第(3)问侧重考察了等腰三角形的分类讨论。同时本题若能借助“直径所对的圆周角是直角”来解决问题会更加简单。

本题的第(1)问通过联结OE后，利用同圆的半径相等，构造共边共角型相似三角形，进而证明等积式。

本题的第(2)问有两种做法。关键要能够发现DE垂直平分CP。

解法1利用“双勾股定理”，借助解三角形求解。

解法2在于在于构造中位线，转化角来求解。

本题的第(3)问是等腰三角形的存在性问题，需要分类讨论。解题要点在于能够借助垂直(线段垂直平分线的逆定理+圆周角)发现隐含的平行型基本图形，进而借助解三角形求解。

点“在看”你懂得