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书接上回，咱们继续来学习线性代数，这一节关注叉积 Cross Products 二维平面上的叉积二维平面上，和的叉积用表示， 它的大小等于和围成的平行四边形的面积，同时用正负号表示2个向量的相对位置：如果相对逆时针远离，则为正；否则为负（可以用右手定则方便的确定正负号）   从以上的讨论看出， 向量的叉积不具备交换律，可以明显得出 二维平面上的叉积与行列式的关系如果联想到之前行列式的几何意义（用线性变化后基向量围成的平行四边形的面积代表线性变化的程度），可以明显得出这样的结论：计算二维平面上的2个向量的叉积，就是在计算这2个向量组成的矩阵的行列式  两个特性特性一：2个相互垂直的向量，叉积是最大的  特性二：当对一个向量进行数乘时， 叉积的结果也进行了相同倍数的数乘  标准的三维向量叉积向量的叉积其实返回的是一个向量。三维向量的叉积处理2个三维向量、并生成一个新的三维向量，这个新向量的长度是两个原始向量平行四边形的面积、方向垂直于平行四边形这个平面（按照右手定则）  标准的三维向量叉积的计算方法有一个方便的计算公式， 可以计算叉积， 这个计算方法跟行列式亦有某种意义上的关联。 这个计算方法跟行列式有某种意义上的关联， 可以引入、、向量，然后和原始两个向量组成矩阵，计算矩阵的行列式，得到的、、坐标就是叉积:  为什么计算方法跟行列式有如此神奇的关联，我们继续探讨~ 关于叉积的小总结我们给出了叉积的计算方法，恰好能通过行列式来简化处理和记忆。 只需要按照行列式的计算法，你会得到一个新的向量，它等于、 、的线性组合
用线性变换的视角看叉积前面学习点积的时候专门探讨过对偶性， 当你在处理一个将多维空间变换到一维数轴的线性变换时，你肯定可以用一个的矩阵来代表这种变换，这个线性变换的结果等价于跟这个矩阵的转置做点积  我们用类似的思路来思考叉积，我们思考一个三维空间到一维数轴的线性变换----计算行列式。  这个线性变换肯定也可以用一个矩阵来表示，根据线性变换的定义，我们可以写出如下的等式：
 事实上，我们在根据和寻找一个向量，这个向量的特殊性是任何一个向量跟它求点积、都等于将作为第一列、和作为后2列的矩阵的行列式 从几何的角度继续思考，结合之前行列式的学习，什么样的向量具备这样的性质：当把这个向量跟求点积，结果上等于、、构成的平行四边体的有向体积？ 向量和点积的几何解释是的投影长度再乘以的长度： 我们用类似的方法处理处理、、构成的平行四边体的有向体积（我们知道3维空间中行列式就代表有向体积）：使用、的四边形的面积乘以在垂直方向上的分量，它等价于让跟另一个向量求点积（该向量垂直于、所构成平面、且大小等于平行四边形面积、方向整体上满足右手定则） 也就是说， 我们是可以找到一个向量的，任意一个向量与它求点积等价于求由它以及、的行列式 这也就是之前我们提出问题的答案，为什么叉积的计算方法如此神奇的跟行列式联系在一起 |
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向量
