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一个简单的原理可以化装成好几个复杂的结果．许多定理的证明只不过是撕掉这层伪装罢了。 微分几何大师斯皮瓦克在《流形上的微积分》中避开冗长的计算和烦琐的细节，带领读者轻松看清微积分的本质。 《流形上的微积分》主要涉及高等微积分的知识，对于一些经典结论进行了现代化的处理，利用微分流形和微分形式，简明而系统地讨论了多元函数的微积分。全书共5章，包括欧几里得空间上的函数、微分、积分、链上的积分、流形上的积分。内容深入浅出，论证严格却易于理解。 《流形上的微积分》 作者 | [美] 迈克尔·斯皮瓦克 译者 | 齐民友，路见可 01 原书序 “高等微积分”中有一些部分，因为其概念和方法比较复杂，所以在初等水平上难以严格处理． 本书就是专门讲述这些部分的．这里采用的探讨方法是复杂的数学中初等形式的现代方法．作为正式要求的预备知识只需要一学期的线性代数知识，对集合论的记号略有了解，以及一门内容合适的大学一年级微积分课［其中至少应提到实数集的上确界（sup）与下确界（inf）］．除此之外，对抽象数学一定程度的熟悉（哪怕是潜在的）也几乎是不可缺少的． 本书前半部的内容是高等微积分中的简单部分，它把初等微积分中的一些内容推广到高维．第1章是预备知识，第2章、第3章分别讨论微分和积分． 本书其余部分用于研究曲线、曲面和更高维的类似物．这里，现代的和经典的处理方式按照完全不同的思路进行，其间有许多交汇点，最终汇合在最后一节．印在本书（英文版）封面上的那个很经典的方程也是本书中的最后一个定理（斯托克斯定理）．这个定理具有奇妙的历史，它经历过惊人的变化． 这个定理在威廉·汤姆森爵士（SirWilliam Thomson）［即后来的开尔文勋爵（Lord Kelvin）］于 1850 年 7 月 2 日致斯托克斯的信末附笔中被首次提出．它公开出现则是在1854 年，作为当年史密斯奖的第8道竞赛题．这个竞赛由斯托克斯教授主持，每年由剑桥大学最好的数学学生参加．到他去世之时，这个结果就广为人知了．人们将其命名为斯托克斯定理． 与他同时代的人至少对此给出过三个证明：汤姆森发表了第一个，第二个见于汤姆森和泰特（Tait）所著的《论自然哲学》（Treatise on Natural Philosophy），麦克斯韦（Maxwell）在《电磁论》（Electricity and Magnetism）中又给出了第三个证明． 此后，斯托克斯的名字被用于更一般的结果，在数学的某些领域的发展中显然如此重要，以至于斯托克斯定理可以看作“推广”的价值的一个例证． 本书中斯托克斯定理有三种形式．斯托克斯本人得到的形式在最后一节，还有和它不可分离的伴随定理——格林定理和散度定理． 这三个定理，也就是本书（英文版）副标题里提到的经典定理，很容易从一个现代的斯托克斯定理推导出来，后者出现在第5章靠前的部分．经典定理关于曲线和曲面所讲的内容就是这个现代的斯托克斯定理关于它们的高维类似物（流形）所讲的内容，这在5.1节中进行了深入的研究．研究流形的理由仅从它在现代数学中的重要性就足以说明，其实它并不比详细研究曲线和曲面更费力． 读者可能会以为现代斯托克斯定理至少和可以由它推导出的经典定理一样难．其实不然，它只不过是斯托克斯定理的另外一种讲法的一个很简单的推论． 这个很抽象的讲法是第4章最后的也是主要的结果．完全有理由设想，迄今回避的难点必然隐藏在这里．然而这个定理的证明在数学家看来却是自明的——只是直接的计算而已． 但是，如果没有第4章中大量复杂的定义，这个自明的陈述恐怕都令人无法理解．这里有一些好的理由说明为什么定理如此容易而定义却很难． 斯托克斯定理的发展表明，一个简单的原理可以化装成好几个复杂的结果．许多定理的证明只不过是撕掉这层伪装罢了． 另外，定义有双重目的：它们既以严格的概念代替模糊的想法，又是非常好的证明工具．第4章前两节准确地定义了经典数学中所谓“微分表达式”Pdx+Qdy+Rdz或Pdxdy+Qdydz+Rdzdx是什么，并且证明了它们的运算规则．在4.3节中定义的链以及单位分解（在第3 章里已介绍）使我们不必在证明中把流形切成小块．它们把有关流形的问题转化成关于欧几里得空间的问题．每件在流形里看起来很难的事，在欧几里得空间里却都很容易． 把一个主题的深奥之处集中到定义上去，无可否认是很省事的，但这必定会给读者造成一些困难．我希望读者鼓起勇气彻底学好第4章，确信这些努力是值得的：最后一节中的经典定理只代表了第4章的少数应用，而绝不是最重要的应用．许多其他的应用放在习题里，读者查阅参考文献还可以找到进一步的发展． 关于习题和参考文献还要讲几句，本书大多数小节末都有习题，并且（和定理一样）按章编号．加了星号的问题表明正文要用到其结果，但是这种谨慎其实是不必要的——习题是本书最重要的部分，读者至少应该对所有题目都试一试．参考文献肯定编得既不完备又繁冗不堪，因为至少有一半主要的数学分支都可以很有根据地推荐为本书内容的合理的继续．我试图把它编得虽不完备但很诱人． 02 中译本序 中译本第一次问世是在1981年，在经历了四分之一个世纪后再次与我国读者见面，是很有意义的． 第一次与读者见面时，正值改革开放初期，大家对获取新的数学知识有着极高的热情．而现在再次呈献给读者时，人们关注的仍然是如何使我国的数学教育与研究工作更好地跟上世界数学发展的步伐．从不少读过此书或用此书进行过教学的读者的反馈来看，本书仍是有益的． 正如原书序所说，本书内容是初等的，但是探讨的方法都是现代的．它与我们常见的经典的微积分教材比较，具有明显的特色——“现代的和经典的处理方式按照完全不同的思路进行，其间有许多交汇点，最终汇合在最后一节．”读过本书后，后续读物是什么？也如原书序所说：“至少有一半主要的数学分支都可以很有根据地推荐为本书内容的合理的继续．”由此可以看到，本书所介绍的内容，特别是处理方法对读者在数学上的发展有着非常重要的价值． 那么，本书是不是很难？这要看读者的要求．本书篇幅小，内容简洁，陈述也不晦涩．如果只是粗略读一次，至少能学会现代数学的某些概念、用语和方法． 但是真正的问题在于，现代的与经典的数学比较，在思路、风格上都大有不同．要想学到现代数学的一些思想与方法，进而能运用自如，当然不是易事．所以原书作者希望读者“鼓起勇气彻底学好第4章，确信这些努力是值得的”． 数学界有一句“格言”：数学不是看懂的，而是算懂的．意思是想要真正掌握数学，唯一的办法就是拿起笔来自己算上一算．所以原书序说“习题是本书最重要的部分”． 当本书的编辑建议为本书编写习题解答时，我们开始还有一些犹豫，因为不少同志都说，如果把习题都解答了出来，一本好书就至少会降低一半价值．但是当我们仔细看过习题后，发现这里几乎没有依样画葫芦般的模仿性操作，也几乎没有什么技巧性的“难题”．书中的习题主要是帮助读者领略或掌握一些现代数学的风格和表述方法．这就不应该只靠大学生自己单枪匹马地探索解题方法．所以我们仍然选了一些有代表性的题目，阐述了我们自己的想法．但是这些题目也没有完全做到底，读者自己仍然要下苦功夫，甚至查阅一些参考书． 译 者 2005 年国庆节  |
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