范数定义中上确界的意义

算子范数是用来衡量线性算子（线性映射）大小的量，常见于泛函分析等数学领域。以下从一般定义和常见类型为你介绍：

一般定义

常见类型

以矩阵形式表示的线性算子（在有限维向量空间中，线性算子与矩阵可相互对应 ）为例，常见的算子范数有：

用 “上确界” 定义范数的原因

在一些特定的赋范线性空间（如函数空间、算子空间 ）中，需要定义范数来衡量元素（函数、算子 ）的 “大小” ，此时会用到上确界，原因如下：

性空间的拓扑性质等能够很好地契合。例如，基于这种范数定义可以定义空间中的收敛性（序列收敛等价于按范数收敛 ） ，进而研究空间的完备性等重要性质 。同时，在证明一些与空间结构、元素运算相关的定理时，用上确界定义的范数能使论证更加简洁、严谨 。