哈代、费曼与现代数学家眼中的美：数学结论的美学标准探讨

数学之美：结论背后的优雅

一些数学家认为，数学之美特别体现在那些能建立起看似毫无关联的数学领域之间深刻联系的结论之中。这类结果通常被描述为'深刻'（deep）。虽然人们很难就哪些结果是深刻的达成一致，但某些例子却被数学家们反复提及。其中最著名的例子就是欧拉恒等式：

这个优雅的表达式奇妙地将数学中五个最重要的常数（自然对数的底 e、虚数单位 i、圆周率 π、单位元 1 和零元 0）与两个最基本的数学符号（加法 +、等号 =）联系在一起。欧拉恒等式是的欧拉公式（Euler's formula）的特例，物理学家理查德·费曼称之为'我们的珍宝'和'数学中最令人惊叹的公式'。

【遇见数学】：欧拉公式一般形式是 e^(iθ) = cos θ + i sin θ，当 θ = π 时，得到 e^(iπ) = -1，即著名的欧拉恒等式。这个公式之所以被视为美丽，是因为它以极其简洁的形式连接了指数函数、三角函数和复数，展示了看似不相关的数学概念之间存在的和谐统一。

▲从  开始，以  的速度相对于自身位置移动  的时间长度，再加上 1，就到达了 0。(这可以在复平面的阿尔冈图上直观表示)

【遇见数学】：这个描述实际上是欧拉恒等式的几何解释。在复平面上，e^(iπ) 对应于单位圆上的点 -1，再加上 1 就到达了原点 0。这就像在圆周上行走半圈，然后再向原点移动一个单位距离。

现代数学中的深刻结果也同样令人惊叹。

例如，谷山-志村定理（modularity theorem）建立了椭圆曲线和模形式这两个看似毫不相关的数学对象之间的重要联系。这方面的研究使安德鲁·怀尔斯和罗伯特·郎兰兹获得了沃尔夫奖。

另一个例子是'怪兽月光理论'（monstrous moonshine）现象，它通过弦理论将一个巨大的有限单群（怪兽群）与模函数联系起来，理查德·波杰蒂斯因这项工作获得了菲尔兹奖。

深刻结果的其他例子还包括那些对数学结构提供意外洞见的定理。比如，高斯的'绝妙定理'（Theorema Egregium）告诉我们，曲面的高斯曲率在保持距离的变形（等距变换）下保持不变。这一发现深刻地揭示了曲面几何的内在性质。

另一个例子是微积分基本定理及其向量形式（包括格林定理和斯托克斯定理），它们建立了微分和积分这两种看似相反的运算之间的深刻联系。

【遇见数学】：微积分基本定理说明了导数（局部变化率）和积分（累积总和）这两个看似不同的概念实际上是互逆的。这就像是告诉我们，知道每时每刻的速度可以计算出总行程，反之，知道行程也可以推导出速度变化。

'深刻'的反义词是'平凡'（trivial）。平凡定理通常是指那些可以从已知结果直接推导出的结果，或者只适用于特定简单对象（如空集）的结果。有时候，一个定理的表述可能富有创见而被认为是深刻的，尽管其证明过程相对简单明了。

G.H.哈代（G.H. Hardy）在他1940年的经典著作《一个数学家的辩白》（A Mathematician's Apology）中提出，一个美丽的证明或结果应该具有'必然性'、'意外性'和'简洁性'。

关于什么构成数学美，数学家们对此并非总有共识。

1997 年，美国数学家吉安-卡洛·罗塔（Gian-Carlo Rota）不同意将'意外性'作为美的充分条件，他举例说：

'数学中有许多定理在首次发表时确实令人惊讶，但并不因此被认为美丽。比如，约20年前（从1977年算起）数学家们证明了高维球面可以有多种不同的'光滑结构'——这个发现虽然令人惊讶，但当时和现在都没有人会称它为美丽的数学结果。'

然而，另一位数学家莫纳斯特尔斯基在 2001 年却持相反观点：

'很难在数学史上找到像米尔诺关于七维球面不同光滑结构的构造这样优美的发明。虽然米尔诺最初的证明方法不够直观，但后来数学家布里斯科恩发现这些不同的结构可以用一种极其清晰和美丽的方式来描述。'

这一争论生动地展示了数学美的主观性：对于同一个数学发现，不同的数学家可能有截然不同的审美判断。同时也表明，数学美不仅存在于结果本身，还在于表达这些结果的方式。就像一首诗，不仅内容重要，表达形式同样关键。在奇异球面的例子中，不仅是它们存在的事实令人惊叹，找到描述它们的优雅方法同样可以成为数学美的源泉。

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原文：en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty#In_results

翻译：【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片