【原】6.1 不等式的性质 原文 复制

1. 基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。

• 如果\(a>b\)，那么\(a\pm c>b\pm c\)；

• 如果\(a<b\)，那么\(a\pm c<b\pm c\)。

2. 基本性质 2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

• 如果\(a>b\)，并且\(c>0\)，那么\(ac>bc\)（或\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)）；

• 如果\(a<b\)，并且\(c>0\)，那么\(ac<bc\)（或\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)）。

3. 基本性质 3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

• 如果\(a>b\)，并且\(c<0\)，那么\(ac<bc\)（或\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)）；

• 如果\(a<b\)，并且\(c<0\)，那么\(ac>bc\)（或\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)）。

另外，不等式还具有以下性质：

1. 对称性：如果\(a>b\)，那么\(b<a\)；如果\(b<a\)，那么\(a>b\)。

2. 传递性：如果\(a>b\)，\(b>c\)，那么\(a>c\)。

3. 可加性：如果\(a>b\)，那么\(a + c>b + c\)。

• 推论 1（移项法则）：\(a + b>c\)可以推出\(a>c - b\)。

• 推论 2（加法法则）：如果\(a>b\)，\(c>d\)，那么\(a + c>b + d\)。

4. 可乘性：\(a>b\)，\(c>0\)，则\(ac>bc\)；\(a>b\)，\(c<0\)，则\(ac<bc\)。

• 推论 1（乘法法则）：如果\(a>b>0\)，\(c>d>0\)，那么\(ac>bd\)。

• 推论 2（乘方法则）：如果\(a>b>0\)，那么\(a^{n}>b^{n}\)（\(n\in N\)，\(n>1\)）。

• 推论 3（开方法则）：如果\(a>b>0\)，那么\(\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}\)（\(n\in N\)，\(n>1\)）。

5. 倒数法则：如果\(a>b\)，\(ab>0\)，则\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。

6. 异向可减性：如果\(a>b\)，\(c<d\)，则\(a - c>b - d\)。