1.3二次根式的运算（1）
【要点预习】
1.二次根式的运算法则：
(1)；(2)
【课前热身】
1.(02湖州市)计算：·=.
答案：9
2.计算：.
答案：
3.若长方形的长与宽分别是与,则此长方形的面积是.
答案：
4.(2008广州中考)的倒数是.
答案：
【讲练互动】
【例1】计算：
(1)；(2)；(3).
解：(1)原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
【绿色通道】二次根式乘除运算的一般步骤：一是运用法则，化归为根号内的实数运算；二是完成要根号内相乘、相除（约分）等运算；三是化简二次根式.
【变式训练】
1.计算：
(1)；(2)；(3)；(4).
答案：(1)；(2)；(3)；(4).
○【例2】若一个等边三角形的高为cm，求此等边三角形的面积.
分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故要求面积的关键是求等边三角形的边长，这可在△ABD中由勾股定理可求得.
解：如图，AD是等边△ABC的一条高，且AD=cm.
设等边△ABC的边长为xcm，则BD=CD=cm.
∵AB2=BD2+AD2，∴，
∴，x2=32，∵x>0，∴x=.∴S△ABC=.
【黑色陷阱】注意当题中没有预定精确度的要求时，最后结果可用化简的二次根式表示.
【变式训练】
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=,AC=,求斜边AB上的高CD.
解：∵∠ACB=90°,∴AB2=AC2+BC2=.
∵AB>0，∴AB=.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴.
【黑色陷阱】
【同步测控】
基础自测
○1.(2007淮安中考)计算的结果是……………………………………………（）
A.2B.4C.8D.16
答案：4
2.计算：的结果是……………………………………………………………（）
A.B.C.D.
答案：B
3.下列各式，计算正确的是…………………………………………………………………（）
A.B.
C.D.
答案：C
4.(2007厦门中考)计算=.
答案：
5.如果等边三角形的高是3cm，那么它的边长是___________cm.
答案：
6.方程的解是.
答案：
7.计算：
(1)；(2)；(3)；(4).
答案：(1)；(2)；(3)；(4).
8.已知梯形的上底为cm，下底是上底的2倍，高为cm，求这个梯形的面积(精确到0.1cm2)．
解：S=cm2.
能力提升
9.已知直角三角形的斜边长为，一条直角边为,则此直角三角形的面积是……（）
A.2B.4C.8D.
解析：由勾股定理可得另一条直角边的长为，于是可得此直角三角形的面积为.
答案：A
10.(2007青岛中考)计算：＝.
解析：原式=.
答案：1
11.不等式的解是.
解析：不等式两边同除以得，x<.
答案：x<
○12.小刚在学习了与后，认为它们是一样的.因此他认为一个化简过程：=是正确的.你认为他的化简对吗?说说理由.
分析：公式与成立的前提是必须满足a≥0且b>0，而本题在化简过程中、都不符合这一前提，故化简不对.
解：不对.因为根号内的被除数开方数必须为非负数才有意义，所以、等都无意义.
创新应用
○13.已知等腰三角形的两边长分别为方程组的两个根，求这个等腰三角形的面积.
分析：先利用加减消元法求得x，y的值，然后分x为腰长、y为底边及x为底边、y为腰长两种情况进行讨论，最后利用勾股定理分别求得两种情况下的等腰三角形底边上的高的长，进而求得这等腰三角形的面积.
解：①+②，得2x=5，∴x=.
①-②，得，∴.
∴等腰三角形的腰长为，底边长为；或腰长为，底边长为.
∴底边上的高长为或.
∴S=或S=.
1.3二次根式的运算（2）
【要点预习】
1.二次根式的运算法则：
整式运算的均适用于二次根式的运算.
二次根式的加减运算实质是把合并.
【课前热身】
1.计算，结果应是……………………………………………………………………（）
A.B.C.D.12
答案：B
2.（2007长春中考）计算：＝_________．
答案：
3.计算：＝_______．
答案：2
【讲练互动】
【例1】先化简，再求出近似值.(精确到0.01)：.
解：原式=.
【绿色通道】可以合并的项的特征是所含的二次根式完全相同，合并的方法与多项式中合并同类项的方法一样.
【变式训练】
1.计算的结果是………………………………………………………()
A.Ｂ.1C.Ｄ.
答案：A
【例2】计算:
(1)；(2).
解：(1)原式=.
(2)原式=.
【绿色通道】二次根式的四则混合运算的次序是先乘除，后加减；同时运算律同样适用于二次根式的计算.
【变式训练】
2.计算：
(1)；(2)
答案：(1)；(2).
【例3】计算：
(1)；(2).
解：(1)原式=.
(2)原式=.
【绿色通道】多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的多项式相乘.
【变式训练】
3.计算：
(02达州市)(1)；(2).
答案：(1)；(2).
【同步测控】
基础自测
1.(2007威海中考)下列计算正确的是………………………………………………………（）
A. B. C. D.
答案：C
2.(2007荆门中考)下列计算错误的是………………………………………………………()
A.B.C.D.
答案：D
3.(2007绍兴中考)下列计算正确的是………………………………………………………()
A.B.C.D.
答案：A
4.（2007长沙中考）计算：．
答案：
5.(2007黄冈中考)计算：=.＝_________________.
答案：
7.(2007宜昌中考)化简的结果是.
答案：
8.计算：
(1)(02贵阳市)；(2)；(3)(2007温州中考)；
(4).(5).
答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
能力提升
9.(2007临汾中考)计算的结果是………………………………（）
A.6B.C.D.12
解析：先分别对每个二次根式化简，得原式＝
答案：D
10.计算的结果是………………………………………………………（）
A.＋1B. C.1 D.-1
解析：原式=.
答案：A
11.(2008烟台中考)已知，则的值为………………（）
A.3B.4C.5D.6
解析：原式=.
答案：C
12.(2007桂林中考)规定运算：，其中a、b为实数，则.
解析：原式＝.
答案：3
○13.(2008徐州中考)已知
解：原式=.
○14.解方程：.
解：，，.
创新应用
○15.阅读下列解题过程
.
.
请回答下列问题
(1)观察上面解题过程，请直接写出的结果为______________________.
(2)利用上面所提供的解法,请化简：
的值.
(3)不计算近似值,试比较与的大小,并说明理由.
分析：对于(1)，注意到，因此；对于(2)，可依次取n=2，3，…，99代入即可进行化简；对于(3)可用倒数法进行比较，即通过它们倒数大小的比较，进而来比较这两数的大小.
解：(1)；
(2)
(3)；
.
∵,∴,∴>.
1.3二次根式的运算（3）
【要点预习】
1.二次根式的应用：
在日常生活和生产实践中，在解决一些问题,尤其是涉及边长计算的问题时，经常用到及其运算.
【课前热身】
1.下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（）
A.B.C.D.
答案：B
2.在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,记
(1)若则=；(2)若a=.
答案：(1)∶2；(2).
【讲练互动】
【例1】一铁路路基的横断面是梯形ABCD,如图,已知AD=BC,CD=8m,路基的高度DE=6m,斜坡BC的坡比是,求路基下底宽AB的长度(精确到0.1m).
解：作CF⊥AB于F,则CF=DE=6m.
∵iBC=,∴BF=m.
在Rt△ADE中,AD=BC,DE=CF,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF,∴AE=BF=m.
∵EF=CD=8m,∴AB=()m.
【绿色通道】坡比是坡的垂直高度与水平宽度的比值.有关坡比问题，往往通过作梯形的两条高（这两条高相等），将问题转化为解两个直角三角形和一个长方形的问题来解.
【变式训练】
1.水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长(结果精确到0.01).
答案：198.07m
【例2】如图，B地在A地的正东方向，两地相距28km，A，B两地之间有一条东北走向的高速公路，A，B两地分别到这条高速公路的距离相等．上午8:00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处．至上午8:20，B地发现该车在它的西北方向Q处，该段高速公路限速为110km／h，问该车有否超速行驶?
分析：要判断汽车有否超速，必须求出汽车在PQ路段的速度，由于该路段行驶时间已知为20分钟，故只需求出PQ的长即可，亦即求出PC和CQ的长即可，这可分别通过△APC和△BCQ来求得.
解：由题意,得∠ACP=∠BCQ=45°,∠B=45°,AP⊥AB,则
APC和△BCQ均为等腰直角三角形.
又AC=BC=AB=km.
∴PC=km,PQ=km,∴PQ=42km.
∴V=km/h.∴超速行驶.
【变式训练】
2.从一张斜边为30cm等腰直角三角形的纸板中剪一个尽可能大的正方形，某同学分别给出了两种不同的剪法,但他不知道这两种剪法哪个正方形的面积大?你能通过计算帮他解决这个问题吗?
分析：只需求出这两个正方形的边长即可，图甲中正方形的边长显然是以斜边的一半即15cm为斜边的等腰直角三角形的直角边的长；图乙中正方形的边长显然为斜边长的三分之一，即10cm.
解：S1=；S2=,∴S1>S2.
【同步测控】
基础自测
1.一个正方形鱼池的边长是6cm,另一个正方形鱼池的面积比第一个大45cm2,则另一个鱼池的边长为……………………………………………………………………………………（）
A.8B.9C.10D.11
答案：B
2.如图,有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了…………………
A.41米米米米米C.5米D.米
答案：B
4.(2007莱芜中考)王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，这时王英同学离地的距离是……………………………………（）
A.150m B. C.100m D.
答案：D
5.一个等腰三角形的腰长为，底上的高为，则底为.
答案：
6.若的整数部分是,小数部分是,则的值为.
答案：
7.(2007辽宁中考)已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是．答案：
8.某村兴修水利,要挖一条深为1米,上口宽为1.5米的灌水渠道.如图是渠道横断面的示意图.已知渠道两侧内坡的坡比均为2∶1.
(1)求渠道内坡AB和渠道底面宽BC的长;
(2)已知渠道总长为500米,求挖出的土石方是多少立方米?
答案：(1)m,BC=0.5m；(2)500立方米.
能力提升
○9.若，0＜x＜1，则的值是……………………………………（ ）
A． B．－2 C．±2 D．±
解析：，由于0＜x＜1，故，即.
答案：A
10.(2007苏州中考)如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积.然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积.用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是…………………（）
A.B.C.D.
解析：边长为1的正△A1B1C1的面积为，取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2后，易证得△A1B2C2≌△A2B1C2≌△A2B2C1≌△A2B2C2，故△A2B2C2的面积为△A1B1C1的面积的，即，同理，△A3B3C3的面积为△A2B2C2的面积的，即△A1B1C1的面积的，亦即，以此类推，△AnBnCn的面积为△A1B1C1的面积的，即.当n=10时，即得正△A10B10C10的面积.
答案：C
11.(2007佳木斯中考)如图，等腰直角△ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰，做第一个等腰直角△ADE；再以所做的第一个等腰直角△ADE的斜边上的高AF为腰，做第二个等腰直角△AFG；……以此类推，这样所做的第个等腰直角三角形的腰长为．
解析：由于等腰直角三角形中直角边是斜边的，由于本题中第一个等腰直角三角形的直角边恰为第二个等腰直角三角形的斜边长，故每次变化腰长缩小为原来的倍，以此类推，便可求得第个等腰直角三角形的腰长.
答案：
12.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.
分析：本题即求森林公园中心A点到公路BC的距离AH与300米的半径的大小关系.
解：作AH⊥BC于H.设AH=xm.
∵∠ABC=45°，∠ACB=30°，∴BH=xm,CH=xm.
∵BC=1000m,∴,∴≈366m>300m,∴不会穿过该森林公园.
○14.(2007宁夏中考)如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点在格点上，求中边上的高．
分析：要求AB边上的高，只需求出△ABC的面积和AB边的长即可.
解：∵S△ABC=
∴AB边上的高=.
创新应用
14.如图，自卸车车厢的一个侧面是长方形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度为45°，问此时车厢的最高点A距离地面多少米（精确到0.01米）？
分析：作AP⊥CE于P，DF⊥CE于F，DQ⊥AP于Q后，车厢的最高点A距离地面即为AQ，PQ(DF)，1.2米三线段的和.
解：作AP⊥CE于P，DF⊥CE于F，DQ⊥AP于Q.
∵∠DCE=45°，∴∠DAQ=45°.
∴AQ=DQ=m，PQ=DF=m.
∴AP=m.
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C
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