模型组合讲解：“动力学临界”模型太原市第十二中学姚维明
所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。
解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件。许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。
一、匀变速运动临界极值问题在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。
【】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问：
当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？
相遇前这鸟飞行了多少路程？
【灵犀一点】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。
飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt求路程。
（1）设甲、乙相遇时间为t，则飞鸟的飞行时间也为t，甲、乙速度大小相等v甲=v乙=5m/s，同相遇的临界条件可得：s=(v甲+v乙)t
则：
这段时间，鸟飞行的路程为：
〖点评〗本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。二、平衡中临界极值物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。
【】如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ，滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量．
以B为研究对象，由平衡条件得：
以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示根据平衡条件有：
当摩擦力向上时：
解得，B的质量取值范围是：
〖点评〗本题关键是要注意摩擦力的方向及大小与物体所受外力有关，故在处理问题时．要在物体临界条件下确定可能的运动趋势．
三、动力学中的临界极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词句时，往往会有临界现象。此时要用极限分析法，看物体不同加速度时，会有哪些现象发生，找出临界点，求出临界条件。【】如图所示，一质量为0.2kg的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。（g=10m/s2）
【灵犀一点】要考虑到小球可能离开斜面的情况，用极限法把加速度推到两个极端进行分析。
当时，小球受到三个力（重力、绳的拉力、斜面的支持力）作用，此时绳平行于斜面；当a较大时，小球将“飞离”斜面，此时绳与斜面的夹角未知。
设小球处在刚要离开斜面的临界状态时加速度值为a0，此时斜面对小球的支持力为零，斜面加速向右运动，对小球有：
因为a=10m/s2>7.5m/s2，则小球离开斜面向右加速运动，如图所示。
则绳对小球的拉力和斜面对小球的支持力分别为：
〖点评〗此题中的临界状态就是小球仍与斜面接触但与斜面间无弹力，在用极限法（分别设加速度为无穷大和零）分析出小球的两种可能。找出两种状态的分界点是解决本题的切入点。【典案4】如图所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止在水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？g取10m/s2.设物体M和水平面保持相对静止．当ω具有最小值ω1时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的摩擦力方向和指向圆心方向相反，且等于最大静摩擦力2N．隔离M有：代入数值得：ω1＝2.9rad/s当ω具有最大值ω2时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，大小也为2N．隔离M有代入数值得：ω2＝6.5rad/s故ω范围是：2.9rad／s＜ω＜65rad／s．【典案5】如图所示，两绳系一个质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？两绳张紧时，小球受的力如图1-5-5所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1,则有
F1sin30°=mω12Lsin30°
F1cos30°-mg=0②
代入已知解得，ω1=2.40rad/s.
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2,则有F2sin45°=mω22Lsin30°③
F2cos45°-mg=0几何④
代入已知解得ω2=3.16rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足
2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s.
答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s，在B物块刚要离开地面时弹簧的伸长量也是
（1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能及重力势能的和。即
可解得：
（2）所施力为恒力F0时，物体B不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。
在最低点：F0－mg+kx0=ma1
式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加速度。
在最高点，B恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x0，则：
K（2x0）+mg－F0=ma2
考虑到：kx0=mg
简谐运动在上、下振幅处a1=a2
解得：F0=
也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F0。物体A做简谐运动的最低点压缩量为x0，最高点伸长量为2x0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为所在处。
由：解得：F0=
〖点评〗区别原长位置与平衡位置。与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。
（四）电场中的临界极值问题
【典案7】在光滑的水平轨道上有两个半径都是的小球A和B，质量分别为和2，当两球心间距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度沿两球连心线向原来静止的B球运动，如图7所示，欲使两球不发生接触，必须满足什么条件
〖解析〗据题意，当A、B两球球心间距离小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。故A减速而B加速。当时，A、B间距离减小；当时，A、B间距离增大。可见，当时，A、B相距最近。若此时A、B间距离，则A、B不发生接触（图8）。上述状态即为所寻找的临界状态，时则为临界条件。
两球不接触的条件是：①
L+sB-sA>2r②
其中、为两球间距离最小时，A、B球的速度；sA、sB为两球间距离从L变至最小的过程中，A、B球通过的路程。
设为A球的初速度，由动量守恒定律得：③
由动能定律得④
⑤
联立解得：
〖点评〗本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为且此时
（五）磁场中的临界极值问题
【典案8】如图9所示，一带电质点，质量为，电量为，以平行于轴的速度从轴上的点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从轴上的点以垂直于轴的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。
〖解析〗质点在磁场中作半径为R的圆周运动，
，得（1）
根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆弧，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切。过点作平行于轴的直线，过点作平行于轴的直线，则与这两直线均相距R的O＇为圆心、R为半径的圆（圆中虚线圆）上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上。
在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为
（2）
所求磁场区域如图10中实线圆所示。
〖点评〗临界值可能以极值形式出现，也可能是边界值（即最大值和最小值）此题中最小值是利用几何知识判断而得到的。A、B两点及AB圆弧分别是磁场的边界点和磁场内的一段弧，是寻找最小圆形磁场区域的依据。
（六）光学中的临界极值问题
【典案9】圆筒形的薄壁玻璃容器中，盛满某种液体，容器底部外面有光源S，试问液体折射率至少为多少时，才不能通过容器壁在筒外看到光源S（壁厚不计）。
〖解析〗要在容器外空间看不到光源S，即要求光源S进入液体后，射向容器壁光线的入射角（临界角），如图所示，由折射定律可知
（1）
由图可知，，（2）
在A点入射处，由折射定律有
所以（3）
由（1）（3）两式可知，
由（2）式可知：越小越好，临界角C也是越小越好：由可知，越大，C越小；而由可知，当一定时，越大，小。
所以液体的折射率
〖点评〗本题临界条件有两个，当折射角为90°时的入射角为临界角C和当入射角为90°时最大。一般几何光学中习题涉及前一个临界条件的较多，涉及后一个临界条件的较少。而求出折射率的临界值为，还要进一步利用（3）式进行讨论的范围。该题的分析方法是从结果利用临界值C，采取倒推的方法来求解。一般来讲，凡是求范围的物理问题都会涉及临界条件。
模型体验：
【】在平直公路上一汽车的速度为15m/s，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s2的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s末车离刹车点的距离是m.
【灵犀一点】在汽车刹车问题中，汽车速度为0后将停止运动，不会反向运动。在分析此类问题时，应先确定刹车停下来这个临界状态所用的时间，然后在分析求解。
设汽车从刹车到停下来所用时间为t0，
由运动学规律得：
由于t0<10s，所以在计算时应将t=7.5s代入公式求解。
则有：
〖点评〗本题经常犯的错误是不考虑汽车刹车后速度为零所需时间这一临界状态，直接把题目中所给的时间代入公式。汽车刹车后不可能再倒行，此类问题应注意验证结果的合理性，若给定的时间内汽车仍未停下，则可直接套用运动学公式；若给定时间汽车早以停下，就应先计算刹车时间，然后再把这一时间代入位移公式求解。
【】A、B两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度匀加速开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出。问：B车追上A车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？
【灵犀一点】速度相等是解决追及和相遇问题的临界点。
【解析】〖解法1〗由于当A车的加速度度小于B车的加速度，B车后启动，则B车一定能追上A车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。设当A车运动t时间时，两车速度相等，则有
解得：
把t代入两车之间距离差公式得：
〖解法2〗设A启动ts两车相距最远，A车的位移：，B车的位移：
两车间距离为
由数学知识可知，当时，
两车间有最大距离：
〖点评〗在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。【】如图1所示，质量为m的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。
依题意可知，当mgsinθ=μmgcosθ
物体处于临界状态，即tanθ=μ
则θ≤arcotμ
讨论：tanθ=μ是一重要临界条件。其意义是：tanθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tanθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tanθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。
〖点评〗对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置于斜面上，如tanθ≤μ，则物体保持静止；如tanθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan<μ，则物体减速，最后静止；如tanθ=μ，则物体保持匀速运动；如tanθ>μ，则物体做加速运动。因此，tanθ=μ这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
【】一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m的物体，有一水平的板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示，现让木板由静止开始以加速度a(a
【灵犀一点】当木板与物体之间作用力为零时，是两者分开的临界点。
木板与物体分离的临界条件是它们之间的作用力为零。
对于m物体由牛顿运动定律得：，
当F=0以后，随着x的增大，物体m的加速度减小，二者开始分离。
物体与木板分离的临界点为F=0时，此时由上式可得：
由木板一直作加速度为a的匀加速运动，则由运动学规律得：
〖点评〗分清物体运动过程受力情况的变化情况是本题的切入点，找到F=0时的是两物体分离临界点是解题的关键。【】如图所示，将一物体用两根等长OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（）
A.由小变大B.由大变小
C.先减小后增大D.先增大后减小
【灵犀一点】在进行动态分析时，要找到不变的因素和力发生变化的临界点
悬挂点A由位置C移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。
以结点O为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO绳的拉力方向不变，在AO绳由位置C到D移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图所示。由图可知OB绳的拉力由小变大，OA绳的拉力由大变小，当OA垂直于OB时绳OA的拉力达到最小值，此时，绳OA的接力由减小到增大的临界点。则C正确。
〖点评〗作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，TB的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存在极值和临界点，这是判断力变化的切入点。
质量为0.5kg的球用细线吊在倾角的斜面体的顶端。斜面体静止时，球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图6所示，不计摩擦。
（1）斜面体以多大的加速度向右加速运动时，斜面体对小球的支持力为零？
（2）当斜面体为的加速度向右加速运动时，线对球的拉力为多大？（1）对小球的受力分析如图7所示：
由牛顿第二定律得：
所以
是小球离开斜面体的临界加速度，一旦超过这一加速度，小球就离开斜面。
（2）当斜面以的加速度向右加速运动时，小球已离开斜面。设此时细线与水平方向的夹角为α，小球的受力分析图如图8所示，则有
点评：这是一道临界问题，小球对斜面体的压力恰好为零的状态，就是它离开斜面体的临界状态，明确了这一点，问题就会迎刃而解。
如图所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m=1.0kg的均匀小球，a线与水平方向成53°角，b线水平。两根细线所能承受的最大拉力都是Fm=15N。当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值是_____m/s2；当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值是_____m/s2。（取g=10m/s2）27.5
【体验8】如图20所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内运动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M和m(M>m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的u倍，两物体用长为L的轻绳连在一起，L
(1)要使轻绳的拉力为零，圆盘旋转的角速度最大不得超过多少?
(2)要使两物体与圆盘不发生相对滑动，圆盘旋转的角速度最大不得超过多少?
〖解析〗（1）因M在转轴上，所以圆盘转动时，m先滑动。设绳子的拉力为F
对m，F+μmg=mω12L
显然当F=0时物体m不能滑动的角速度最大。
解得：
要使绳子的拉力等于零，角速度最大不能超过
（2）角速度ω继续增大，m首先达到最大静摩擦力。
对m：F+μmg=mω22L
对M：当F=μMg时，两者相对圆盘都发生滑动
此时ω有最大值
解得：
要使两物体都不发生滑动，角速度的最大值是
〖体验9〗如图21所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连质量相等的两物体A和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加大到两物体刚好还未发生滑动时绕断细线，则下列判断中错误的是（）
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
D．物体A仍随圆盘一起转动，不会发生滑动
【体验10】如图22所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为r=0.2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为f=2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围内m处于静止状态（取）？
〖解析〗设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最小值时，M有向着圆心O运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向背离圆心向外，
且等于最大静摩擦力，
对于M：所以
当ω具有最大值时，ω有离开圆心O的趋势，水平面对M摩擦力的方向指向圆心，对于M：
∴
故ω的范围是：2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
【体验11】如图23所示，一个质量为的物体固定在劲度系数为的轻弹簧右端，轻弹簧的左端固定在竖直墙上，水平向左的外力推物体把弹簧压缩，使弹簧长度被压缩了，弹性势能为E。已知弹簧被拉长（或者压缩）x时的弹性势能的大小，求在下述两种情况下，撤去外力后物体能够达到的最大速度？
（1）地面光滑。
（2）物体与地面的动摩擦因数为。
〖答案〗（1）
（2）
建构物理模型，巧手探析题目
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图22
图21
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TB
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A
B
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图14
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图12
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