“物体能否上升到最高点”模型
太原市第十二中学姚维明
模型建构：
我们经常会遇到这样的问题，物体在竖直光滑轨道上运动，有时就能上升到最高点，有时就不能上升到最高点。这类问题往往隐含条件比较多，考点比较多，分析起来比较麻烦。下面我就把这类问题归纳成一种物理模型，共同探究。
模型特点：
物体能否上升到最高点，要满足三个条件。
一是要满足速度条件：如竖直面内圆周运动条件是沿着内轨道，沿着外轨道；
二是要满足压力条件：；
三是能量条件：机械能守恒。
模型典案：
【典案1】如图所示，一物体以初速度v0冲向光滑斜面AB，并恰好能沿斜面升高h，下列说法中正确的是（）
A．若把斜面从C点锯断，物体冲过C点后仍升高h
B．若把斜面弯成圆弧形D，物体仍沿圆弧升高h
C．若把斜面从C点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高h
D．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到B点……①
（1）若把斜面从C点锯断，物体冲过C点后可见A错
（2）若把斜面弯成圆弧形D，物体沿圆弧升高h
实际上物体在半圆轨道的上方已经对轨道无压力，要做斜抛运动。
到达最高点也有水平速度v。由机械能守恒定律得：
可见B也是错误的。
（3）若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到B点一小球以一定的初速度v0竖直上抛，它能达到的最大高度为H问下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H。（阻力）
答案：只有c
【典案2】如图所示，足够长的水平传送带以速度ν沿顺时针方向运动，传送带的右端与光滑曲面的底部平滑连接，曲面上的A点距离底部的高度为h=0.45m。一小物块从A点静止滑下，再滑上传送带，经过一段时间又返回曲面，g取10m／s2，则下列说法正确的是（）
A=1m／s，则小物块能回到A点
B．若ν=2m／s，则小物块能回到A点
C．若ν=5m／s，则小物块能回到A点
D．无论ν等于多少，小物块均只能回到A点
【解析】本题运动过程比较复杂。A到达最低点的速度。因物体都能返回到曲面，说明曲面足够长。
讨论：
（1）若皮带的速度为，物体先减速到零，然后返回加速。由于只受滑动摩擦力的作用，由对称关系知（初速度、位移、加速度都不变），物体一直加速到皮带右端，到达右端的速度也正好是。再根据机械能守恒定律，物体刚好回到A点。
（2）若皮带的速度为，物体先减速到零，然后返回加速，最终以共同速度匀速返回曲面。上升的高度。
（3）若皮带的速度为，物体先减速到零，然后返回加速，最终以共同速度匀速返回曲面。上升的高度。
（4）若皮带的速度为，物体先减速到零，然后返回加速。由于只受滑动摩擦力的作用，由对称关系知（物体的初速度、位移、加速度都不变），物体一直加速到皮带右端，到达右端的速度还是。再根据机械能守恒定律，物体刚好回到A点。
正确答案为：C
〖注意〗物体从右端刚到达皮带上的速度是不变的。若皮带以相反方向运动的速度，则返回到皮带右端的运动一定是先加速后匀速，最后与皮带达到共同的速度，都不能上升到原高度。
若皮带以相反方向运动的速度，则返回到皮带右端的运动一定是一直加速，最后的速度只能是3m/s，类似于竖直上抛运动，都恰好能返回到原高度，不会比原来更高。
【体验2】上题中若皮带的速度为ν=1m／s，=2m／s，求物体沿着曲面上升的高度。
答案:0.05m,0.2m,0.45m【体验3】一根长为l不可伸长的轻绳，一端系一小球，另一端悬挂于O点.将小球拉起使轻绳拉直并与竖直方向成60°角，如图所示，在O点正下方有A、B、C三点，并且有当在A处钉钉子时，小球由静止下摆，被钉子档住后继续摆动的最大高度为hA；当在B处钉钉子时，小球由静止下摆，被钉子档住后继续摆动的最大高度为hB；当在C钉子时，小球由静止下摆，被钉子挡住后继续摆动的最大高度hC，则小球摆动的最大高度hA、hB、hC之间的关系是（）
A．hA=hB=hC B．hA>hB>hC C．hA>hB=hC D．hA=hB>hC
r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：
（1）A球转到最低点时的线速度是多少？
（2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？
【解析】该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为A，B球的速度为B，则据机械能守恒定律可得：
mgr-mgr/2=mvA2/2+mB2/2
据圆周运动的知识可知：A=2vB
由上述二式可求得A=
设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ，则据机械能守恒定律可得：mgr.cosθ-mgr(1+sinθ)/2=0得θ=sin-13/5。【体验5】如图所示，质量m=0.5kg的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽半径R=0.4m。小球第一次到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽右端边缘飞出……，如此反复几次，设摩擦力恒定不变，求：（设小球与槽壁相碰时不损失能量）（1）小球第一次离槽上升的高度h；（2）小球最多能飞出槽外的次数（取g=10m/s2）。
【体验6】如图所示，长为l的细绳一端固定在O点，另一端拴质量为m的小球，在O点正下方距离O点d处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d应满足什么条件？
【解析】为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运动的轨道半径为R，则小球在最高点的速度应满足：．
由此可解得：R≤0.4l．所以，d满足的条件是：0.6l≤d
【体验7】如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计线与钉子碰撞时的能量损失。
这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题。题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（是做圆周运动的半径）。
设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x，则：
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：
①
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：
结合可得
②
由机械能守恒定律得：
即：③
由①②③式联立解得：
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径约大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了。
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x’如图解,则
④
在最高点：⑤
由机械能守恒定律得：⑥
由④⑤⑥联立得
在水平线上EF上钉子的位置范围是：
μ，其余各段均光滑。为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象.试设计CD段的长度。
【提示】小球滑上乙轨道而不撞轨，小球可以通过乙轨道的最高点；也可以使小球到乙轨圆心等高处之前再返回.)
【解析】(1)小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点
最小速度为
设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1
由机械能守恒定律：
解得：
∵>∴小球能通过甲轨道而不撞轨
(2)设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，则需满足：得：
x≤
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：
且得：
≤x＜
总结论：CD≤或≤CD＜
【答案】CD≤或≤CD＜
【体验9】一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右的场强为E的匀强电场中，如图所示，环上a、c是竖直直径的两端，b、d是水平直径的两端，质量为m的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动，已知小球自a点由静止释放，沿abc运动到d点时速度恰好为零，由此可知()
A．小球所受重力与电场力大小相等
B．小球在b点时的机械能最小
C．小球在d点时的电势能最大ks5u
D．小球在c点时的动能最大
所以mg=Eq
“等效重力”为
d两点的速度为零，是单摆的最高点。
bc两点机械能应相等。其中间的速度最大（平衡位置）
建构物理模型，巧手解决问题
3
m
F
B
D
E
A
x
r
m
F
B
D
E
A
x’
r’
v’
A
B
θ
v0
v
E
d
c
b
a
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