机械振动与机械波二轮专题复习
（一）简谐运动的对称性与周期性
一、专题讲解
1、简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
例1、如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为：
A、1Hz
B、1.25Hz
C、2Hz
D、2.5Hz
分析与解：关键是作质点运动过程图景,注意对称性
振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”,说明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s,同理，振子从a经d到a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8S,根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz.故本题答B.
2、简谐运动的周期性
简谐运动具有周期性，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。
例2、有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。
分析与解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：
据单摆的周期公式可知
由以上各式可求得
二、课堂检测
1、一弹簧振子作简谐运动，周期为T，则下列说法中正确的是：
A、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍；
B、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍；
C、若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度一定相等；
D、若△t=T/2，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等。
分析与解：作图求解是最佳选择
综上所述，本题正确答案为C。
2、如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是
A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。
B、重球下落至b处获得最大速度。
C、重球下落至d处获得最大加速度。
D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
分析与解：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。
C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。
三、课后检测
1、一平台沿竖直方向做简谐运动，一物体置于振动平台上随台一起运动.当振动平台处于什
么位置时，物体对平台的正压力最大 （）
A．当振动平台运动到最高点时
B．当振动平台向下运动过振动中心点时
C．当振动平台运动到最低点时
D．当振动平台向上运动过振动中心点时
答案：C物体随平台在竖直方向振动过程中，仅受两个力作用：重力、台面支持力.由这两个力的合力作为振动的回复力，并产生始终指向平衡位置的加速度.
物体在最高点a和最低点b时，所受回复力和加速度的大小相等，方向均指向O点，如图所示.根据牛顿第二定律得：在最高点mg-Na=ma，在最低点Nb-mg=ma，平衡位置N0-mg=0，所以Nb＞N0＞Na故可判得答案C正确.
2、两块质量分别为m1、m2的木板，被一根劲度系数为k的轻弹簧连在一起，并在m1板上加压力F，.为了使得撤去F后，m1跳起时恰好能带起m2板，则所加压力F的最小值为（）
A．m1g
B．2m1g
C．（m1＋m2）g
D．2（m1＋m2）g
答案：C撤去F后，m1板将做简谐运动，其平衡位置是不加压
力F时m1板的静止位置(设为a)，离弹簧上端自然长度为
x0=m1g/k.m1板做简谐运动时的振幅等于施加压力后弹簧增
加的压缩量，即：A=x1=F/k.此时m1板的位置设为b,如图所示.
撤去F后，m1板跳起，设弹簧比原长伸长x2时刚好能提起m2板(处于位置C)，由kx2=m2g，得x2=m2g/k.
根据m1做简谐运动时的对称性，位置b、c必在平衡位置a的对称两侧，即
x1=x0+x2或
所以F=（m1+m2）g
3、如图1所示，摆长为L的单摆，当摆球由A经平衡位置O向右运动的瞬间，另一小球B以速度v同时通过平衡位置向右运动，B与水平面无摩擦，与竖直墙壁碰撞无能量损失，问OC间距离x满足什么条件，才能使B返回时与A球相遇？
答案：A、B相遇一定在O点，B返回O点所用时间为t=2x/v,A到达O点时间为t=n·T/2,(n=1、2、3……）
所以2x/v=nT/2,T=2π.
所以x=nπv(n=1、2、3……)
图1图2
4、甲乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动情况，(1)甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动.试画出甲观察到的弹簧振子的振动图象.已知经过1s后振子第一次回到平衡位置.振子振幅为5cm(设平衡位置向上方为正方向，时间轴上每格代表0.5s)(2)乙在甲观察3.5s后，开始观察并记录时间，试画出乙观察到的弹簧振子的振动图象，画在上图2上.
答案：（1）画出的甲观察到的振子振动图象如图下面左图所示.
（2）画出的乙观察到的振子的振动图象如下面右图所示.
（二）简谐运动的图象的应用
一、知识讲解
1、分析简谐运动情况
简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。
例1、如图1中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则
A、如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧；
B、如果mA
C、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧；
D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧。
分析与解：由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，因此A球的振动图象就有两种情况，如图6中A1和A2。从图2中很容易看出无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞只能发生在平衡位置。即CD选项正确。
从例1可以看出，利用振动图象分析问题非常简便。希望同学们养成利用图象分析问题的习惯。
2、利用某两质点的振动图象进行分析计算
例2、一列机械波沿直线ab向右传播，ab=2m,a、b两点的振动情况如图3甲所示，下列说法中正确的是：
A．波速可能是
B．波长可能是
C．波长可能大于
D．波长可能大于。
分析与解：t=0时刻，a质点在波谷，b质点在平衡位置且向y轴正方向运动，根据波由a传向b（如图3甲所示），可知波长λ满足
这样，由此可知波长不可能大于（对应的波速也不可能大于）。当n=0时，；当n=10时，，由V=λ/T得对应的波速。故选项AB正确。
二、课堂检测
1、一个弹簧振子在AB间作简谐运动，O是平衡位置，以某时刻作为计时零点（）。
经过周期，振子具有正方向的最大加速度。那么以下几个振动图中哪一个正确地反映了振子的振动情况？ （D）
2、甲、乙两个单摆的振动图线如图所示。根据振动图线可以断定（A）
A．4∶9
B．2∶3
C．D．B．振子的速度方向指向x轴的正方向
C．在0～4s内振子作了1.75次全振动
D．在0～4s内振子通过的路程为0.35cm，位移为0
解：由图可知A在t轴上方，位移x＝0.25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0．5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0.50cm＝4cm，故选项D错误．
综上所述，该题的正确选项为B．
4、摆长为L的单摆做简谐振动，若从某时刻开始计时，（取作t=0），当振动至时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是图中的（??）?
?解：从t=0时经过时间，这段时间为，经过摆球具有负向最大速度，说明摆球在平衡位置，在给出的四个图象中，经过具有最大速度的有C、D两图，而具有负向最大速度的只有D。所以选项D正确。
三、课后检测
1．一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，
由图可知t=4s时质点（）
A．速度为正的最大值，加速度为零
B．速度为零，加速度为负的最大值
C．位移为正的最大值，动能为最小
D．位移为正的最大值，动能为最大
2．如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度
、加速度a的大小的变化情况为（）
A．变大，a变小
B．变小，a变小
C．变大，a变小
D．变小，a变大
3．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在
t=35s时，速度、加速度α的方向应为（）
A．为正，a为负
B．为负，a为正
C．、a都为正
D．、a都为负
4．如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2
时刻，运动质点相同的量为（）
A．加速度
B．位移
C．速度
D．回复力
?5．如下图所示为质点P在0～4s内的振动图象，
下列说法中正确的是（）
A．再过1s，该质点的位移是正的最大
B．再过1s，该质点的速度方向向上
C．再过1s，该质点的加速度方向向上
D．再过1s，该质点的加速度最大
6．一质点作简谐运动的图象如下图所示，则该质点（）
A．在0至001s内，速度与加速度同方向
B．在001至002s内，速度与回复力同方向
C．在0025s末，速度为正，加速度为负
D．在004s末，速度为零，回复力最大
．如下图所示，下述说法中正确的
是（）
A．第2s末加速度为正最大，速度为0
B．第3s末加速度为0，速度为正最大
C．第4s内加速度不断增大
D．第4s内速度不断增大
．一个做简谐振动的质点的振动图象如
下图所示，在t1、t2、t3、t4各时刻中，
该质点所受的回复力的即时功率为零
的是（）
A．t4B．t3
C．t2D．t1
．如下图所示为一单摆做间谐运动的图象，
在01～02s这段时间内（）
A．物体的回复力逐渐减小B．物体的速度逐渐减小
C．物体的位移逐渐减小D．物体的势能逐渐减小
向上做匀变速直线运动．一个频率为5Hz的振动方向为水平且固定的振针，
在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm．求拉力F的大小．（不计一切摩擦阻力，取g=10m/s2）
答案：1．B、C2．C3．A4．C5．A、D6．A、D7．A、B、C8．D
9．A、C、D
10、解：OA=1cmAB=3cmBC=5cm 因为：TOA=TAB=TBC=T/2=0.1s
根据:Δs=aT2 a==2m/s2
F-mg=ma 得：F=mg+ma=24N
（三）波的图象的应用
一、知识讲解
1、已知波的图象，求某质点的坐标?例1一列沿x方向传播的横波，其振幅为A，波长为λ，某一时刻波的图象如图1所示。在该时刻，某一质点的坐标为(λ，0)，周期后，该质点的坐标：
A．B.,-AC.λ,AD.
方法：求解位移的方法——去整留零
分析与解：如图1所示，波上P质点此刻的坐标为(λ，0)，由于此列波向周期，它运动到负向最大位移处，其坐标变为(λ，-A)，显然选项B正确。
作t时间后的波形图t时间波传播的距离Δx=VΔt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去nλ留零x的方法，只需平移x即可。
方法二、特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t,由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形。
例如图2所示，a图中有一条均匀的绳，1、2、3、4…是绳上一系列等间隔的点。现有一列简谐横波沿此绳传播。某时刻，绳上9、10、11、12四点的位置和运动方向如图b所示(其他点的运动情况未画出)，其中点12的位移为零，向上运动，点9的位移达到最大值。试在周期时点3、4、5、6的位置和速度方向，其他点不必画(图c的横、纵坐标与图a、b完全相同)。
分析与解：作某一时刻的波形图或通过作图确定波上某些质点的位置和速度方向问题，是一个难点问题，主要考查学生的空间想像能力和推理判断能力。
根据图12b9、10、11、12各质点的振动情况，可画出此时刻的波形图，如图13所示。由逆向复描波形法可确定各质点的运动(速度)方向(见图3)。3此时在负向最大位移处，再经过3T/4，它到达平衡位置且向下运动；质点6此时在平衡位置且向下运动，再经过3T/4它将到达正的最大位移处。因此，质点3、4、5、6的位置和速度方向如图4所示。
3、已知波的图象，求波速
例一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0m，b点在a点的右方，如图所示。当一列简谐横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动，经过1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移达到负极大，则这简谐横波的波速可能等于()
A．4.67m/s???????????????B．6m/s
C．10m/s????????????????D．14m/s分析与解：本题考查振动以及波动的传播规律，只有理解波动(图象)传播的规律，准确把握波动过程中的图象关于时间和空间的周期性，才能作出确切和完整的判断。
由于波向右传播，据“a点位移达正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动”，可画出此时a、b间的最简波形，如图所示。因未明确a、b距离与波长的约束关系，故a、b间的距离存在“周期性”。即
(n1+(n1=0,1,2,……)
因所给定时间与周期的关系未知，故运动时间也存在“周期性”。即
(n2=0,1,2,…)
因此可能的波速为
n2=0,n1=0时，V=4.67m/s;
当n2=0,n1=1时，V=2m/s;
(n2=0,V随n1增大还将减小。)
当n2=1,n1=0时，V=23.3m/s;（n1=0,V随n2的增大而增大.）
n2=1,n1=1时，V=10m/s;
据以上计算数据，不可能出现B和D选项的结果，故选项A、C正确。
t=20s时的波形图，图19乙是这列波中P点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是：
?A．V=25cm/s,向左传播；
B．V=50cm/s,向左传播；
C．V=25cm/s,向右传播；
D．V=50cm/s,向右传播。
方法：抓时间对应性
注意：去整留零思想。
解：cm,由图7乙读出T=2S，据v=λ/T得V=50cm/s.
将图7乙之y-t图延长到t=20s时刻，可以看出P点运动方向向上，再看图7甲，波若向右传播，则P运动方向向下，波若向左传播，则P运动方向向上，故判定波是向左传播的。
综上所述，本题应选B。
5、已知某两时刻的波动图象进行分析计算
例5、一列横波如图8所示，波长m，实线表示时刻的波形图，虚线表示s时刻的波形图．求：
（1）波速多大？
（2）若，波速又为多大？
（3）若，并且波速为3600m/s，则波沿哪个方向传播？
考点：周期性、时间约束问题、传播方向不定的多解问题
方法：抓n是整数
分析与解：（1）因为题中没有给出波的传播方向，故需要对波沿x轴正方向和x轴负方向传播分别进行讨论．又因为题中没有给出与周期T的关系，故需要考虑到波的重复性．
若波沿x轴正方向传播，则可看出是波形传播的最小距离
m
波传播的可能距离是（m）
则可能的波速为m/s）,（n=0、1、2、……，）
若波沿x轴负方向传播，则可看出是波形传播的最小距离m
波传播的可能距离是（m）
则可能的波速为m/s）,（n=0、1、2、……，）
（2）当时，根据波动与振动的对应性可知，这时波速的通解表达式中n=1．
若波沿x轴正方向传播，则波速为（m/s）
若波沿x轴负方向传播，则波速为（m/s）
（3）当，波速为3600m/s时，根据波动与振动的对应性可知，所以波向前传播的距离大于波长，而且可以计算出
（m）
由于波长等于8m，这样波向前传播了个波长．由波形图不难判断出波是沿x轴向右传播的．也可以由波速的通解表达式来判断：
若波沿x轴正方向传播，则波速为（m/s），当n=2时，（m/s）．
若波沿x轴负方向传播，则波速为（m/s），当n=1时，（m/s），当n=2时，（m/s）．
所以波是沿x轴向右传播的．
二、课堂检测
1．M、N为介质中波的传播方向上的两点，间距s=1.5
m，它们的振动图象如图所示。这列波的波
速的可能值为 （ACD）
A．15m/s B．7.5m/s
C．5m/s D．3m/s
2．（2001年全国高考试题）如图所示，在平面xy内有一沿水平轴x正向传播的简谐横波，波速为3.0m/s，频率为2.5Hz，振幅为8.0×10-2m.已知
t=0时刻P点质元的位移为y=4.0×10-2m，速度
沿y轴正向.Q点在P点右方9.0×10-1m处，对
于Q点的质元来说（BC）
A．在t=0时，位移为y=-4.0×10-2m
B．在t=0时，速度沿y轴负方向
C．在t=0.1s时，位移为y=-4.0×10-2m
D．在t=0.1s时，速度沿y轴正方向
3．如图所示，S为振源，其振动频率f=100Hz，所产生的简谐横波向右传播，波速v=80m/s，P、Q为波的传播途径中的两点，已知SP=4.2m，SQ=5.4m，当S点通过平衡位置向上运动时，则（B）
A．P在波峰，Q在波谷
B．P在波谷，Q在波峰
C．P通过平衡位置向上运动，Q通过平衡位置向下运动
D．P、Q都在波峰
4、一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值A．1个???????B．2个C．3个???????D．4个
分析与解：解答本题，必须做出在题设条件下可能的波的图形，然后才能作出判定。题中指出：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。
若波的传播方向由M到N，那么：
在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且，所以波速．
在B图中，经过时间t，波峰传到N点，则波在时间t内向右前进的距离，且，所以波速．
在C图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
在D图中，经过时间t，波向右前进的距离，且，所以波速．
若波的传播方向从N到M，那么：
在A图中，质点N此时要向下振动，经过时间t，N到达波峰，则时间，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
在B图中，经过时间t，N到达波峰，则时间，在此时间内波向左前进的距离，所以波速．
在C图中，波在时间t内向左前进的距离，且，所以波速．
在D图中，质点N经过变为波峰，所以，在时间t内波向左前进的距离，所以波速．
所以该列波可能的波速有五种、、、、．
其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N点的距离S，波速v就等于．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N点的距离，所以波速．其它情况读者可自行解决．
三、课后检测
1．图所示是一列向右传播的横波在某一时刻
的波形图象.如果此列波的波速为2.4m/s，则在传
播过程中位于x轴上0.3m～0.6m间的某质点P，
从这一时刻起在1s内所经过的路程为（）
A．2.56cm B．2.4cm
C．0.16m D．0.02m
2．（2001年全国高考综合能力试题）如图（a）所示为一列简谐横波在t=20s时的
波形图，图（b）是这列波中P点的振动图线，那么该波的传播速度和传播方向是（）
A．v=25cm/s，向左传播 B．v=50cm/s，向左传播
C．v=25cm/s，向右传播 D．v=50cm/s，向右传播
3．在均匀的介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两个质点的距离均为a，如图（a）所示，振动从质点1开始并向右传播，其振动初速度方向竖直向上，经过时间t，前13个质点第一次形成的波形图如图7—2—6（b）所示，则该波的周期T，波速v分别是
A．T=，v= B．T=t，v=
C．T=t，v= D．T=t，v=
4．一列沿x正方向传播的横波，其振幅为A，波长为λ，某时刻波的图象如图所示，在该时刻，某一质点的坐标为（λ，0），经过四分之一周期后，该质点的坐标为（）
A．λ，0 B．λ，A
C．λ，－A D．5/4λ，A
5．如图所示，S为向上振动的波源，频率为100Hz，所产生的正弦波向左、右传播，
波速为80m/s.已知SP=17.4m，SQ=16.2m，则当S通过平衡位置向上振动时（）
A．P在波峰，Q在波谷 B．P、Q都在波峰
C．P在波谷，Q在波峰 D．P、Q均在平衡位置
6．（12分）一列波沿x轴正方向传播的简谐波，在t=0时刻的波形图如图7—2—14所示，已知这列波在P出现两次波峰的最短时间是0.4s，求：
（1）这列波的波速是多少？
（2）再经过多少时间质点R才能第一次到达波峰？
（3）这段时间里R通过的路程是多少？
图7—2—14
参考答案
1．C2．B3．A4．C5．A
6．P点两次出现波峰的最短时间是0.4s，所以这列波的周期T=0.4s.
（1）由波速公式得v=x/T=4/0.4m/s=10m/s
（2）由t=0时刻到R第一次出现波峰，波移动的距离s=(9-2)m=7m.则t=s=0.7s
（3）在上述时间内，R实际振动时间t1=0.7s－0.4s=0.3s，
因此R通过的路程为s路=4×2×cm=6cm.例1、如图所示，在半径为R=45m的圆心O和圆周A处，有两个功率差不多的喇叭，同时发出两列完全相同的声波，且波长=10m。若人站在B处，正好听不到声音；若逆时针方向从B走到A，则时而听到时而听不到声音。试问在到达A点之前，还有几处听不到声音？
分析与解：因为波源A、O到B点的波程差为r=r1—r2=R=45m=，所以B点发生干涉相消现象。
在圆周任一点C上听不到声音的条件为：
r=r1—r2=（2k+1）=5（2k+1）
将r2=R=45m代入上式得：r1=5（2k+1）+r2
所以：r1=10k+50或r1=—10k+40
而0
求得:—5
即k=—4、—3、—2、—1、0、1、2、3，所以在到达A点之前有八处听不到声音。
2、如何作出两列波叠加后的波形图。
确定两列波相遇后的波形问题的思路是首先根据波的独立传播原理分别画出给定时刻的两列波的波形；再根据波的叠加原理，对各个质点的位移进行合成，画出叠加以后的波形图。
例2、如图2甲所示，两列相同的波相向传播，当它们相遇时，图2乙中可能的波形是：
A．图（a）和图(b);
B．图（b）和图(c);
C．图（c）和图(d);
D．图（a）和图(d).
分析与解：当两列相遇时，达到图3所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(b).
当两列相遇时，达到图4所示的状态时，叠加以后的波形应是图23乙(c).
所以正确答案应是B.
3、如何确定两列频率不相同的波叠加后的各质点的运动情况。
不同频率的两列波相遇也可以叠加，也存在振动加强和振动减弱的点，但这些点不是固定的，而是随时变化的，因此看不到稳定的干涉图样。
例3、如图所示，一波源在绳的左端发生半个波1，频率为f1,振幅为A1；同时另一波源在绳的右端发生半个波2，频率为f2,振幅为A2.图中AP=PB，由图可知（）
A、两列波同时到达P点；
B、两列波相遇时，P点的波峰可达（A1+A2）；
C、两列波相遇后各自保持原来波形独立传播；
D、两列波相遇时，绳上振幅可达（A1+A2）的质点只有一点。
分析与解：1、2两列波在同一条绳上传播，波速相同，所以A、B的运动状态传播相同距离历时相同，两列波应同时到达P点，选项A是正确的；两列波到达P点后，在彼此穿过区间，P处质点的位移为两列波独立引起的位移之和，由于两波频率不同，波长不同，相向传播时，两波峰不会同时到达P点，故在P处两列波叠加的位移峰值不会达到（A1+A2），选项B是错误的；两波峰可同时到达的一点应是与图28中现正处于波峰的两质点的平衡位置等距的一点：如果f1>f2,则λ1<λ2,则P点右侧某处质点振幅可达到（A1+A2），而如果f1λ2,则P点左侧某处质点振幅可达到（A1+A2），选项D是正确的；根据波的叠加原理，两列波相遇后各自保持原来的波形，即如选项C所述。
综上所述，本题正确答案为ACD.
4、如何确定两列波叠加后某质点的振动方向
在两列波相遇的区域里，任何一个质点的振动速度，都等于两列波分别引起的振动速度的矢量和。
例4、.两列沿相反方向传播的振幅和波长都相同的半波，如图（甲）所示，在相遇的某一时刻两列波“消失”,如图（乙），此时图中a、b质点的振动方向是：
A．a向上，b向下；
B.a向下，b向上；
C.a、b都静止；
D.a、b都向上。
分析与解：两列波在相遇的某一时刻两列波“消失”了，是因为两列波分别引起各质点的位移矢量和为零。但两列波分别引起各质点总的振动速度的矢量和不为零。对于a点，波1使其振动的速度为零，波2使其振动的速度也向下，故a点的振动合速度应向下。而对于b点，波1使其振动的速度方向向上，波2使其振动的速度为零，故b点的振动合速度应向上。所以B选项正确。
二、课堂检测
1、如图所示，S1、S2是两个相干波源，它们振动同步且振幅相同。实线和虚线分别表示在某一时刻它们所发出的波的波峰和波谷。关于图中所标的a、b、c、d四点，下列说法中正确的有
A．该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，d质点振动既不是最强也不是最弱
B．该时刻a质点振动最弱，b、c、d质点振动都最强
C．a质点的振动始终是最弱的，b、c、d质点的振动始终是最强的
D．再过T/4后的时刻a、b、c三个质点都将处于各自的平衡位置，因此振动最弱
解：该时刻a质点振动最弱，b、c质点振动最强，这不难理解。但是d既不是波峰和波峰叠加，又不是波谷和波谷叠加，如何判定其振动强弱？这就要用到充要条件：“到两波源的路程之差是波长的整数倍”时振动最强，从图中可以看出，d是S1、S2连线的中垂线上的一点，到S1、S2的距离相等，所以必然为振动最强点。
本题答案应选B、C
说明：描述振动强弱的物理量是振幅，而振幅不是位移。每个质点在振动过程中的位移是在不断改变的，但振幅是保持不变的，所以振动最强的点无论处于波峰还是波谷，振动始终是最强的。
2、如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷。设两列波的振幅均为5cm，且图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1m/s和0.5m。C点是BE连线的中点，下列说法中正确的是（）
A．C、E两点都保持静止不动
B．图示时刻A、B两点的竖直高度差为20cm
C．图示时刻C点正处于平衡位置且向水面上运动
D．从图示的时刻起经0.25s，B点通过的路程为20cm
解：由波的干涉知识可知图6中的质点A、B、E的连线处波峰和波峰或波谷和波谷叠加是加强区，过D、F的连线处和过P、Q的连线处波峰和波谷叠加是减弱区。C、E两点是振动的加强点，不可能静止不动。所以选项A是错误的。
在图示时刻，A在波峰，B在波谷，它们振动是加强的，振幅均为两列波的振幅之和，均为10cm，此时的高度差为20cm，所以B选项正确。
A、B、C、E均在振动加强区，且在同一条直线上，由题图可知波是由E处向A处传播，在图示时刻的波形图线如右图所示，由图可知C点向水面运动，所以C选项正确。
波的周期T=/v=0.5s，经过0.25s，即经过半个周期。在半个周期内，质点的路程为振幅的2倍，所以振动加强点B的路程为20cm，所以D选项正确。
说明：关于波的干涉，要正确理解稳定的干涉图样是表示加强区和减弱区的相对稳定，但加强区和减弱区还是在做振动，加强区里两列波分别引起质点分振动的方向是相同的，减弱区里两列波分别引起质点分振动的方向是相反的，发生变化的是振幅增大和减少的区别，而且波形图沿着波的传播方向在前进。
三、课后检测
1、A、B两波相向而行，在某时刻的波形与位置如下图左所示，已知波的传播速度为V，图中标尺每格长度为L，在图中画出又经过t=7L/V时的波形。
解：根据波的叠加原理很容易确定经过t=7L/V时的波形如上图右所示。
2、如图中实线和虚线所示，振幅、周期、起振方向都相同的两列正弦波（都只有一个完整波形）沿同一条直线向相反方向传播，在相遇阶段（一个周期内），试画出每隔T/4后的波形图。并分析相遇后T/2时刻叠加区域内各质点的运动情况。
解：根据波的独立传播原理和叠加原理可作出每隔T/4后的波形图如①②③④所示。相遇后T/2时刻叠加区域内abcde各质点的位移都是零，但速度各不相同，其中a、c、e三质点速度最大，方向如图所示，而b、d两质点速度为零。这说明在叠加区域内，a、c、e三质点的振动是最强的，b、d两质点振动是最弱的。
（五）《机械振动与机械波》典型错例分析
典型错误之一：因忽视周期性引起的多解而出错。
例1、如图1所示，光滑的弧形槽的半径为R（R远大于弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点。同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大？
错解?:对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：对B球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点.
tB=tC,即，解得：。
分析纠错：上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为C球在圆形轨道上自C点释放后可以做往t=TC/4+NtC(N=0,1,2……)的时间都可以与A相碰。正确答案是：
(n=1,2,3,4……)
典型错误之二：因对波的叠加原理理解不深刻而出错。
例2、两列简谐波均沿x轴传播，传播速度的大小相等，其中一列沿x轴正方向传播，如图2中实线所示。一列波沿x负方向传播，如图2中虚线所示。这两列波的频率相等，振动方向均沿y轴，则图中x=1,2,3,4,5,6,7,8各点中振幅最大的是x=的点，振幅最小的是x=的点。
错解：从图中可以看出：振幅最大的是x=2，6的点，振幅最小的是x=4，8的点。
分析纠错：对于x=4、8的点，此时两列波引起的位移的矢量和为零，但两列波引起的振动速度的矢量和最大，故应是振动最强的点，即振幅最大的点。对于x=2和6的点，此时两列波引起的位移矢量和为零，两列波引起的振动速度的矢量和也为零，故应是振动最弱的点，即振幅最小的点。
典型错误之三：因没有理解波的图像会随时间变化而出错
例3如图3所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x=5m的M点时开始计时，已知P点相继出现两个波峰的时间间隔为0.4s，下面说法中正确的是A．这列波的波长是4m
B．这列波的传播速度是10m/s
C．质点Q（x=9m）经过0.5s才第一次到达波峰
D．M点以后各质点开始振动时的方向都是向下
错解：由质点Q（x=9m），经过0.4s）Q所以C对。分析?：（1）从图3上可以看出波长为4m，选A。
（2）实际上“相继出现两个波峰”应理解为，出现第一波峰与出现第二个波峰之间的时间间隔。因为在一个周期内，质点完成一次全振动，而一次全振动应表现为“相继出现两个波峰”，即T=0.4s。则V=10m/s,所以B选项正确。
（3）质点Q（x=9m）经过0.4s开始振动，而波是沿x轴正方向传播，即介质中的每一个质点都被它左侧的质点所带动，从波向前传播的波形图4可以看出，0.4s波传到Q时，其左侧质点在它下方，所以Q点在0.5s时处于波谷。再经过0.2ss即总共经过0.7s才第一次到达波峰，所以选项C错了。
（4）从波的向前传播原理可以知道，M以后的每个质点都是先向下振动的。所以选项D是对的。
此题正确答案为A，B，D例4、如图5所示,S为上下振动的波源，振动频率为100Hz，所产生的横波左右传播，波速为80m/s，已知P、Q两质点距波源S的距离为SP=17．4m，SQ=16．2m。当S通过平衡位置向上振动时，P、Q两质点的位置是：
A．P在波峰，Q在波谷；
B．都在波峰；
C．都在波谷；
D．P在波峰，Q在波峰。
错解：根据λ=VT=0.8m,SP=17．4m=(21+3/4)λ,SQ=16．2m=(20+1/4)λ,据此可作出波形图如图6所示，故可得到“P在波峰，Q在波峰”，而错选D。
分析纠错：波源S在振动的过程之中要形成分别向左右传播的两列波，波形应如图7所示，故可得到“P在波峰，Q在波谷”，而应选A。
典型错误之五：因忽视各质点的振动方向与波源的起振方向相同而出错。。
例5、在均匀介质中，各质点的平衡位置在同一直线上，相邻两质点的距离均为s，如图8甲所示。振动从质点1开始向右传播，质点1开始运动时的速度方向竖直向上。经过时间t，前13个质点第一次形成如图38乙所示的波形。关于这列波的周期和波速有如下说法
A.这列波的周期T=2t/3
B这列波的周期T=t/2
C.这列波的传播速度v=12s/T
D.这列波的传播速度v=16s/T
错解：由图8可知：波长λ=8s,而在时间t内波向前传了3λ/2,所以周期T=2t/3，传播速度v=12s/T，即AC正确。
分析纠错：上述解答错在没有理解题意，题说“经过时间t，前13个质点第一次形成如图8乙所示的波形”，并不说波只传到前13个质点。如果是只传到前13个质点，由于第13个质点此时振动方向向下，所以质点1开始运动时的速度方向也应该竖直向下，这与题给条件矛盾。所以在时间t内波向前传了2λ,所以周期T=t/2，传播速度v=16s/T，即BD正确。
1
daobc
va
vb
C
a
b
d
C
a
b
d
a,
图8
图7
图6
图35
图4
图3
图2
8
7
6
5
4
3
2
1
0x
y
Vx
Vx
x
M
图1
C
N
B
A
t
x
0
图2
B
A1
A2
A
B
图1
t/s
y/cm
0
2
4
a
图3（甲）
b
a
b
图3乙
图1
图3
图4
a
b
图5
a
b
图6
图7(甲)
x/cm
y/cm
0.2
0
50
100
150
200
P
t/s
y/cm
0.2
0
1
2
3
4
5
图7(乙)
x
y
O
图8
A
C
B
D
图18
图2甲
图2乙
a
b
c
d
图3
图4
A
B
P
1
2
a
b
甲
乙
1
2
1
2
A
B
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