带电粒子在电磁场中的运动分类解析
太原市第十二中学姚维明
专题一带电粒子（物体）在电场中的运动
基础知识点拨
1.带电粒子（物体）在电场中的加速
加速电压为U，带电粒子质量为m，带电量为q，假设从静止开始加速，则根据动能定理
qU=?mv2，所以离开电场时速度为v=．
【例1】对公式的适用条件，正确的有（D）
A．只适用于匀强电场中，v0=0的带电粒子被加速
B．只适用于匀强电场中，粒子运动方向和场强方向平行的情况
C．只适用于匀强电场中，粒子运动方向和场强方向垂直的情况
D．适用于任何电场中，v0=0的带电粒子被加速
【练习】如图所示，三个平行金属板a、b、c，ab相距d1，bc相距d2，d1=d2三个金属板上分别有三个小孔A、B、C三个金属板接到电动势为1和2的两个电源上，1<2，在A孔右侧放一个带负电质点，由静止释放后，质点将向右运动，穿过B孔，到达P后再返回A孔，则有(BD)
A．将b板平行向右移动一小段距离，再释放带电质点，质点仍将运动到P点返回
B．将b板平行向右移动一小段距离，再释放带电质点，质点将向右运动，并越过P点返回
C．若将b板平行向右移动足够远，再释放带电质点，质点能够穿过C孔
D．若将带电质点放在C孔左侧，由静止释放，它一定能穿过A孔
【练习】（05上海）在场强大小为E的匀强电场中，一质量为m．带电量为q的物体以某
一初速沿电场反方向做匀减速直线运动，其加速度大小为0．8qE/m，物体运动S距离时
速度变为零．则
(A)物体克服电场力做功qES(B)物体的电势能减少了0．8qES
(C)物体的电势能增加了qES(D)物体的动能减少了0．8qES
【例2】如图所示，带正电小球质量为m＝1×10-2kg，带电量为q＝l×10-6C，置于光滑绝缘水平面上的A点．当空间存在着斜向上的匀强电场时，该小球从静止开始始终沿水平面做匀加速直线运动，当运动到B点时，测得其速度vB＝1.5m／s，此时小球的位移为S＝0.15m．求此匀强电场场强E的取值范围．(g＝10m／s2)
某同学求解如下：设电场方向与水平面之间夹角为θ，由动能定理qEScosθ＝－0得．由题意可知θ＞0，所以当E＞7.5×104V／m时小球将始终沿水平面做匀加速直线运动．
经检查，计算无误．该同学所得结论是否有不完善之处?若有请予以补充．
答案：该同学所得结论有不完善之处，正确结论应为：
【练习】为了研究静电除尘，有人设计了一个盒状容器，容器的侧面是绝缘的透明有机玻璃，它的上下底面是面积的金属板，间距，如图2所示，当连接到高压电源正负两极时，能在金属板间产生一个匀强电场。现在把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器内，每立方米有烟尘颗粒个，假设这些颗粒都处于静止状态，每个颗粒带电荷量，质量为，不考虑烟尘颗粒所受重力，求：
⑴经多长时间烟尘颗粒可以被全部吸附？
⑵除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功？
⑶经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大？
2.带电粒子（物体）在电场中的偏转
如图所示，板长为L，板间距离为d，板间电压为U，带电粒子沿平行于带电金属板以初速度v0进入偏转电场，飞出电场时速度的方向改变角α。
①知道在偏转电场中的两个分运动：垂直电场方向的匀速运动，vx＝v0，平行电场方向的初速度为零，加速度为Eq/m的匀加速直线运动
②偏向角tanα=qUL/mdv02
推导：
在电场中运动的时间t＝L/v0………①
在电场中的加速度a＝qU/dm………②
飞出电场时竖直方向速度vy＝at………③
偏转角的正切值tanα=vy/v0……………④由①②③④可得tanα=qUL/mdv02
③飞出电场时，竖直方向位移y=?at2=qUL2/2mdv02
④经同一加速电场由静止加速的两个质量、电量均不同的粒子，进入同一偏转电场，飞出时偏转角相同U0q=?mv……①tanα=qUL/mdv02……②
由①②得tanα=UL/2dU0所以两粒子的偏转角相同与m与q无关．
注意：这里的U与U0不可约去，因为这是偏转电场的电压与加速电场的电压，二者不一定相等．
⑤沿速度v反方向延长交MN交于Q点，则QN＝L/2,QN＝y/tanα=L/2
⑥粒子在电场中运动，一般不计粒子的重力，个别情况下需要计重力，题目中会说时或者有明显的暗示。
⑦动能增量
⑧反向运动
⑨考虑重力
典型问题解析
一、带电粒子电场中的偏转问题。
【例1】一带电粒子从静止经加速电压U1的加速电场加速后进入板间距离为d，板间电势差为U2的偏转电场，当它飞出偏转电场时，偏转角为θ，要使偏转角θ增大，则需要
A．使粒子的荷质比变大（q/m）B．其它条件不变，只使U1变大
C．其它条件不变，只使U2变大D．其它条件不变，只使d变大
变形：带电粒子的分离
【例2】长为l的平行金属板，板间形成匀强电场，一个带电为十q、质量为m的带电粒子，以初速v0紧贴上板垂直于电场线方向射入该电场，刚好从下板边缘射出，末速度恰与下板成300角，如图所示．求：
（1）粒子未速度的大小；
（2）匀强电场的场强；
（3）两板间的距离d．
【练习】如图所示，电子从负极板边缘垂直射入均强电场，恰好从正极板边缘飞出．现在若使两极板间的距离变为原来的2倍，两极板的电压保持不变，电子入射的方向和位置不变，且电子仍恰从正极板边缘飞出，则电子入射速度大小应为原来的(B)
A．B．1/2倍
C． D．2倍
【例3】有三个质量相等，分别一带有正电，负电和不带电的微粒，从极板左侧中央以相同的水平初速度V先后垂直场强射入，分别落到极板A、B、C处，如图所示，则正确的有
A．粒子A带正电，B不带电，C带负电
B．三个粒子在电场中运动时间相等
C、三个粒子在电场中运动的加速度aA＜aB＜aC
D．三个粒子到这极板时动能EA＞EB＞EC
说明：通过以上几个题目，请体会带电粒子，飞出偏转电场；恰好飞出，没有飞出几种情况的处理方法是什么？
【练习】如图所示，质量为m，电量为e的电子，从A点以速度v0垂直场强方向射入匀强电场中，从B点射出电场时的速度方向与电场线成1200角，则A、B两点间的电势差是多少？
【练习】如图所示的装置，是加速电压，紧靠其右侧的是两块彼此平行的水平金属板，板长为，两板间距离为。一个质量为，带电量为-的质点，经加速电压加速后沿两金属板中心线以速度水平射入两板中。若在两水平金属板间加一电压，当上板为正时，带电质点恰能沿两板中心线射出；当下板为正时，带电质点则射到下板上距板的左端处，为使带电质点经加速后沿中心线射入两金属板，并能够从两金属之间射出，问：两水平金属板间所加电压应满足什么条件，及电压值的范围。
1-8-29所示。求：
（1）小球的初速度V0；
（2）电场强度E的大小；
（3）小球落地时的动能。
【例4】（2005江苏?3）根据粒子散射实验，卢瑟福提出了原子的核式结构模型。图中虚线表示原子核所形成的电场的等势线，实线表示一个粒子的运动轨迹。在粒子从运动到、再运动到的过程中，下列说法中正确的是
A.动能先增大，后减小B.电势能先减小，后增大
C.电场力先做负功，后做正功，总功等于零D.加速度先减小，后增大
变形：
【例5】北京静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置，其中某部分静电场的分布如下图所示。虚线表示这个静电场在xoy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于ox轴、oy轴对称。等势线的电势沿x轴正向增加，且相邻两等势线的电势差相等。一个电子经过P点（其横坐标为-x0）时，速度与ox轴平行。适当控制实验条件，使该电子通过电场区域时仅在ox轴上方运动。在通过电场区域过程中，该电子沿y方向的分速度vy随位置坐标x变化的示意图是
【练习】（2008上海（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），在电场I区域内由静止释放电子的所有位置．
二、带电粒子在交变电场中的运动问题。
【例7】如图（a）所示，A、B表示真空中水平放置的相距为d的平行金属板，板长为L，两板加电压后板间的电场可视为匀强电场，。现在A、B两板间加上如图（b）所示的周期性的交变电压，在t=0时恰有一质量为m、电量为q的粒子在板间中央沿水平方向以速度v0射入电场，忽略粒子的重力，，则下列关于粒子运动状况的表述中正确的是
A．粒子在垂直于板的方向上的分运动可能是往复振动
B．粒子在垂直于板的方向上的分运动是单向运动
C．只要周期T和电压U0的值满足一定条件，粒子就可沿与板平行的方向飞出；
D．粒子不可能沿与板平行的方向飞出
【例8】两平行金属板间所加电压随时间变化的规律如图所示，大量质量为m、带电量为e的电子由静止开始经电压为U0的电场加速后连续不断地沿两平行金属板间的中线射入，若两板间距恰能使所有子都能通过．且两极长度使每个电子通过两板均历时3t0，电子所受重力不计，试求：
①电子通过两板时侧向位移的最大值和最小值．
②侧向位移最大和最小的电子通过两板后的动能之比．
【练习】如图甲所示，、是在真空中平行放置的金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场。、两板间距=15cm。今在、两极上加如图乙所示的电压，交变电压的周期=1.0×10-6s；=0时，板电势比板电势高，电势差=108V。一个荷质比=1.0×108C/kg的带负电的粒子在=0时从板附近由静止开始运动，不计重力。问：
(1)当粒子的位移为多大时，粒子速度第一次达到最大值？最大速度为多大？
(2)粒子运动过程中将与某一极板相碰撞，求粒子撞击极板时的速度大小。
【例9】、如图所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）。在两板之间有一带负电的质点P。已知若在A、B间加电压U0，则质点P可以静止平衡。
现在A、B间加上如图所示的随时间t变化的电压U。在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0。已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而又不与两板相碰，求图8中U改变的各时刻t1、t2、t3及tn的表达式。（质点开始从中点上升到最高点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次。）
三、带电物体在电场中的运动
带电物体（一般要考虑重力）在电场中受到除电场力以外的重力、弹力、摩擦力，由牛顿第二定律来确定其运动状态，所以这部分问题将涉及到力学中的动力学和运动学知识。
【例10】在方向水平的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为、电量为+的带电小球，另一端固定于点。将小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放，则小球沿圆弧作往复运动。已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为（如图）。求（1）匀强电场的场强。
（2）小球经过最低点时细线对小球的拉力。
BC是半径为R的1/4圆弧形的光滑且绝缘的轨道，位于竖直平面内，其下端与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度为E.今有一质量为m、带正电q的小滑块（体积很小可视为质点），从C点由静止释放，滑到水平轨道上的A点时速度减为零。若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，求：
(1)滑块通过B点时的速度大小；
(2)水平轨道上A,B两点之间的距离。
巩固训练试题
1.一带电粒子仅在电场力的作用下从点运动到点，其速度图像如下图所示。则（）
A.点的场强一定大于点的场强B.点的电势一定比点的电势高
C.粒子在点的电势能一定大于在点的电势能D.电场力一定对粒子做正功
2.如上图所示，、两水平带电平行金属板间的电压为，、为一对竖直放置的带电平行金属板，板上有一小孔，小孔在、两板间的中心线上。一质量为、带电量为+的粒子（不计重力）从板边缘的点以速度斜向射入、板间，穿过板的小孔运动到紧靠板的点时速度恰好为零，则、两板间的电压为（）
A.B.C.D.
3.如图所示两平行金属板相距为，加上如图所示的方波形电压，电压的最大值为，周期为。现有一离子束，其中每个离子的质量为，电荷量为，从与两板等距处沿着与板平行的方向连续地射入两板间的电场中。设离子通过平行板所需的时间恰为（与电压变化周期相同），且所有离子都能通过两板间的空间打在右端的荧光屏上。离子重力忽略不计，屏与平行金属板的间距忽略不计。试求：离子击中荧光屏上的位置的范围（也就是与点的最大距离与最小距离）。
4.如图所示，电子质量为m，电量为e，电子束以平行于轴的速度v0从y轴上的点射入第一象限区域。为了使电子束能经过轴上的点，可在第一象限某处加一个沿y轴正方向的匀强电场，如果此电场场强为E，沿y方向足够长，沿x方向宽度为s,且已知点在电场之外，求所加电场的位置。
专题二带电粒子在有界磁场中的运动
考点与方法提示：
带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。
洛仑磁力的特点：
（1）只改变速度的方向，不改变速度的大小（F⊥v，F⊥B）
（2）洛仑磁力对运动的电荷永不做功
1、一个基本思路：定圆心、找半径、画轨迹、求时间
（1）圆心位置的确定：始末位置定圆心。
因为洛伦兹力F指向圆心，根据Fv画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点）的F的方向，沿两个洛伦兹力F画其延长线，两延长线的交点即为圆心。
（2）半径的确定和计算：三角关系求半径
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径。
运用的公式：①qvB=m，R=②T=
并注意以下两个重要几何特点：
①粒子速度的偏向角（φ）等于回旋角（α），并等于AB弦与切线的夹角（弦切角θ）的2倍（如图所示），即φ=α=2θ=ωt。
②相对的弦切角（θ）相等，与相邻的弦切角（θ′）互补，即θ+θ′=180°。
（3）粒子在磁场中运动时间的确定：
利用回旋角（即圆心角α）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，由公式，或。可求出粒子在磁场中的运动时间。
2、一个重要结论
如右图，带电粒子以速度v指向圆形磁场的圆心入射，出磁场时速度方向的反向延长线肯定经过圆形磁场的圆心（对称性）
3、一个重要方法
对于一些可向各个方向发射的带电粒子进入有边界的匀强磁场后出射问题，可以用假设移动圆法：假设磁场是足够大的，则粒子的运动轨迹是一个完整的圆，当粒子的入射速度方向改变时，相当于移动这个圆。
当带电粒子在足够大的磁场中以速度v向某一方向射出时，其运动轨迹都是一个圆；若射出粒子的初速度方向转过θ角时，其运动轨迹相当于以入射点为轴，直径转动θ得到的圆的轨迹，如图所示；用这种方法可以解决：
a.带电粒子在磁场中在同一点向各个方向射出的问题。
b.粒子在不同的边界射出的问题。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析
?①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
?a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）
b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）
?c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
?②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
?a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）
?b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动
模型方法:
典型案例:
【案例1】如图所示．直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场，正、负电子先后从同一点O以与MN成300角的同样速度v射人磁场(电子质量为m,带电量为e)，则它们从磁场中的射出点相距多远?在磁场中运动的时间差是多少?
【案例2】如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B.一带正电的粒子以速度υ0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比。()
精品练习:
【精练1】如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响，图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R=，哪个图是正确的是（）
【】如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3．0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。【精练3】如图所示，在真空中坐标平面的区域内，有磁感强度B=1.0×10-2T的匀强磁场，方向与平面垂直，在轴上的点P(10,0)，有一放射源，在平面内向各个方向发射速率v=1.0×104m/s的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg，电量为，求带电粒子能打到轴上的范围。
【精练4】如图所示，L1和L2为距离d=5.0cm的两平行虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度均为B=0.02T的匀强磁场，A、B两点都在L2上．质量m=1.67×l0-27kg、电量q=1.60×l0-19C的质子，从A点以v0=5.0×105m/s的速度与L1成300角斜向上射出，经过上方和下方的磁场偏转后正好经过B点，且经过B点时的速度方向也斜向上．(结果保留两位有效数字)
求：(1)质子在磁场中运动的半径．
(2)A、B两点间的最短距离．
(3)质子由A运动到B的最短时间．
二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动
模型方法:
典型案例:
【案例1】如图所示，一束电子(电量为e)以速度v垂直射入磁感强度为B，宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是，穿透磁场的时间是。
【案例2】如图所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度，已知电子的质量，电子电量，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：
（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．
（2）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围。
【练】如图所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围？
D）
A.右边界:-4cm
B.右边界:y>4cm和y<-4cm有粒子射出
C.左边界:y>8cm有粒子射出
D.左边界:0
【精练3】如图，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为，两板不带电，现有质量为，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件。
三、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动
模型方法:
典型案例:
【案例1】圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图3所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。
【例】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
??（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
的匀强磁场区域边界在轴右边跟轴相切于坐标原点O，磁感强度，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子．已知粒子质量，电量，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角．
【练】如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，L），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e）从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好从x轴正方向上的b点（图中未标出），射出磁场区域，此时速率方向与x轴正方向的夹角为，
求：（1）磁场的磁感应强度；
（2）磁场区域的圆心O1的坐标；
（3）电子在磁场中的运动时间。【】（2006年天津市理综试题）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图10所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。
??（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？
v射入半径为R绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求：正离子在磁场中运动的时间t？(设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力)
四、带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动
例17、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示的是一个截面为内径、外径的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比，磁场的磁感应强度，不计带电粒子重力．
（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度的大小与它在磁场中运动的轨道半径有关，试导出与的关系式．
（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．
（3）若氦核在平行于截面从A点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．
五、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动
典型案例：
【案例1】两个同位素离子质量分别为和（）,经同一电场加速后，进入顶角为30°的三角形磁场区域，进入的速度方向与磁场边界垂直，如图所示，两种离子均能穿过磁场区域，其中质量为的离子射出时速度方向恰与边界垂直，另一质量为的离子射出时速度方向与边界成角（角为钝角且为弧度单位）。
?（1）求质量分别为的两种同位素离子在磁场中运动半径之比；
?（2）若质量为的离子穿过磁场用时为t，求质量为的离子穿过磁场所用的时间。
【案例2】在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为的匀强磁场，有一带正电，质量为的粒子从距Ａ点的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．
提示:
精品练习：
【精练1】如图所示，在倾角为30°的斜面OA的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P，现有一质量m=4×10－20kg，带电量q=+2×10－14C的粒子，从小孔以速度v0=3×104m/s水平射向磁感应强度B=0.2T、方向垂直纸面向里的一正三角形区域．该粒子在运动过程中始终不碰及竖直档板，且在飞出磁场区域后能垂直打在OA面上，粒子重力不计．求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）正三角形磁场区域的最小边长．
提示:
六、相邻有界磁场的问题
模型案例：
【案例1】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O为原点，如图所示，在y>0，00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q(q>0)的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮，从射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2∶5，在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。
专题三带电粒子在复合场中的运动
知识点和方法技巧
一、带电粒子在复合场中的运动本质是力学问题
1．复合场指电场、磁场和重力场并存,或其中某两场并存,或分区域存在。带电粒子在电场、磁场和重力场等共存的复合场中的运动，其受力情况和运动图景都比较复杂，可以涉及力、运动、能量各个方面的内容。其本质是力学问题，只是力的情况更复杂，仍应按力学的基本思路，运用力学的基本规律研究和解决此类问题。
2．各力的特点：
（1）重力
对于微观粒子，如电子、质子、离子等一般不做特交待就可以不计其重力，因为其重力与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；
对于一些物体，如带电小球、液滴等不做特交待时就应当考虑重力
（3）磁场力：带电粒子在磁场中只有运动(且速度不与磁场平行)时才会受到洛仑兹力，力的大小随速度大小而改变，方向始终与速度垂直。
3．各力做功的特点：
（1）重力和电场力：只与初、末位置有关，与运动路径无关
（2）洛仑兹力：对带电粒子不做功
二、自由带电粒子在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中的运动的基本模型
1．直线运动
当时，粒子做匀速直线运动，应根据平衡条件列方程求解。
当时，粒子做匀变速直线运动，可以根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解。
2．匀速圆周运动
自由的带电粒子在复合场中作匀速圆周运动时，必定满足，往往同时应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。
3．较复杂的曲线运动。在复合场中，若带电粒子所受合力是变力，且与速度不在一条直线上时，带电粒子作非匀变速曲线运动。此类问题，通常用能量观点分析解决。
三、除场力以外还有其他力的作用
由于洛伦兹力的变化会导致弹力、摩擦力的相应改变，可设计出较为复杂的受力问题。要全面结合力与运动的关系，并灵活利用能量动量知识进行辅助。
受力分析的顺序为：先场力，（包括重力、电场力、磁场力），再弹力、摩擦力
四、处理复合场还可以用等效的方法
匀强电场和重力场的叠加场可以等效为一个简单场，与重力场中的力问题类比求解
总之，正确分析带电粒子在复合场中的受力并判断其运动的性质及轨迹是解题的关键，在分析其受力及描述其轨迹时，要有较强的空间想象能力并善于把空间图形转化为最佳平面视图。当带电粒子在电磁场中作多过程运动时,关键是掌握基本运动的特点和寻找过程的边界条件.
典型例题分析
一、直线运动
【例1】同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系OXYZ（Z轴正方向竖直向上），如图所示。已知电场方向沿Z轴正方向，场强大小为E，磁场方向沿Y轴正方向，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g。问：一质量为m、带电量为+q的从原点出发的质点能否沿某一坐标轴上以速度v做匀速运动？若能，m、q、E、B、v及g应满足怎样的关系？试讨论各种可能情况。
【例2】如图所示，空间同时存在匀强电场和匀强磁场，且场强为E，方向与水平面成300，磁感应强度为B，但方向未知。今有一质量为m、电量为+q的带电粒子以一定的速度进入该复合场，且，若要求该粒子做匀速直线运动，试讨论其进入复合场的速度和磁场方向的可能情况（已知磁场总与速度垂直）。
【例3】质量为m，电量为+q的小球以初速度v0以与水平方向成θ角射出，如图所示，如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v0方向做匀减速直线运动，试求：（1）所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向；
（2）加了这两个场后，经多长时间小球速度变为零?
〖练习1〗有一个带电量为+q，重为G的小球，从两竖直的带电平行板上方h处自由落下，两极板间匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图所示，则带电小球通过有电场和磁场的空间时（）
A．一定做曲线运动
B．不可能做曲线运动
C．有可能做匀速运动
D．有可能做匀加速直线运动
〖练习2〗如图所示，套在绝缘棒上的小球，质量为0.1g，带有q=4×10-4C的正电荷，小球在棒上可以自由滑动，直棒放在互相垂直且沿水平方向的匀强电场E=10N/C和匀强磁场B=0.5T之中，小球和直棒之间的动摩擦因数为=0.2，求小球由静止沿棒竖直下落的最大加速度和最大速度。（设小球在运动过程中电量不变）。
〖练习3〗在相互垂直的匀强磁场和匀强电场中，有一倾角为，足够长的光滑绝缘斜面，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，电场强度为E，方向竖直向上，一质量为m、带电量为+q的小球静止在斜面顶端，这时小球对斜面的正压力恰好为零，如图所示。若迅速使电场方向竖直向下时，小球能在斜面上连续滑行多远？所用时间是多少？
二、匀速圆周运动
【例4】如图所示，虚线EF的下方存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B.一带电微粒自离EF为h的高处由静止下落，从B点进入场区，做了一段匀速圆周运动，从D点射出。下列说法正确的是()
A．微粒受到的电场力的方向一定竖直向上
B．微粒做圆周运动的半径为
C．从B点运动到D点的过程中微粒的电势能先增大后减小
D．从B点运动到D点的过程中微粒的电势能和重力势能之和在最低点C最小
【例5】如图所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示。粒子的重力不计，试求：
（1）圆形匀强磁场的最小面积；
（2）c点到b点的距离s。
〖练习4〗如图所示的坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面（纸面）向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x=－2h处的P2点进入第三象限，带电质点恰好能做匀速圆周运动，之后经过y轴上y=－2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g。求：
（1）粒子到达P2点时速度的大小和方向；
（2）第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
（3）带电质点在第四象限空间运动过程中最小速度的大小和方向。
〖练习5〗如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：
（1）中间磁场区域的宽度d；
O点所用时间t.
三、其他曲线运动
【例6】设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示.已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零.C点是运动的最低点.忽略重力,以下说法中正确的是（）
A．离子必带正电荷.
B．A点和B点位于同一高度.
C．离子在C点时速度最大.
D．离子到达B点后,将沿原曲线返回A点.
【例7】在某一个空间中，存在匀强电场和匀强磁场，方向相同，大小分别为E、B。带正电的粒子垂直射入电场线和磁感应线平行的复合场中，如图14。试讨论粒子的运动情况。（不考虑重力）
【例8】如图示，水平向左的匀强电场的场强E=4V/m，垂直纸面向内的匀强磁场的B=2T，质量为1Kg的带正电的小物块A从竖直绝缘上的M点由静止开始下滑，滑行0.8m到达N点时离开墙面开始做曲线运动，在到达P点开始做匀速直线运动，此时速度与水平方向成45°角，P点离开M点的竖直高度为1.6m，试求：
（1）A沿墙下滑克服摩擦力做的功
（2）P点与M点的水平距离，取g=10m/s2
〖练习6〗如图所示，带电平行板中匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由滑下，经过轨道端点P进入板间后恰好沿水平方向做直线运动，现使小球从稍低些的b点开始自由滑下，在经P点进入板间的运动过程中不可能的是（）
A．其动能将会增大
B．其电势能将会增大
C．小球所受的洛仑兹力将会增大
D．小球所受的电场力将会增大
〖练习7〗如图所示，一根水平光滑的绝缘直槽轨连接一个竖直放置的半径为R=0.50m的绝缘光滑槽轨。槽轨处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。有一个质量m=0.10g，.6×10-3C的小球在水平轨道上向右运动。若小球恰好能通过最高点，则下列说法正确的是（）
A．小球在最高点受到洛伦兹力压力和重力的作用
B．小球到达最高点和小球在水平轨道上的机械能不一定相等
C．如果设小球到达最高点的线速度是v，小球在最高点时mg+qvB=成立；
D．如果重力加速度取10m/s2，则小球的初速度v0=4.6m/s
〖练习8〗竖直放置的平行板电容器，A板接电源正极，B板接负极，在电容器中加匀强磁场，磁场方向与电场方向垂直，在图中垂直纸面向里，从A板中点C的小孔入射一批带正电的微粒，入射的速度大小、方向各不相同（入射速度方向与电场方向夹角小于90°），考虑微粒重力，微粒在平行板A、B间的运动过程中（）
A．所有微粒的动能都将增加
B．所有微粒的机械能都将不变
C．有的微粒可能做匀速直线运动
D．有的微粒可能做匀速圆周运动
四、等效场
【例9】如图所示，半径为R的光滑绝缘竖直环上，套有一电量为q的带正电的小球，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中，已知小球所受的电场力与重力的大小相等。磁场的磁感强度为B，求：
（1）在环顶端处无初速释放小球，小球运动过程中所受的最大磁场力；
（2）若要小球能在竖直圆环上做完整的圆周运动，在顶端释放时初速必须满足什么条件？
课后练习
1．如下图所示，两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场E和匀强磁场B，有一个带正电小球（电量为+q，质量为m）从正交或平行的电磁复合场上方的某一高度自由落下，那么，带电小球不可能沿直线通过下列哪个电磁复合场（）
2．空间存在相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B，其方向如图所示。一带电粒子+q以初速度v0垂直于电场和磁场射入，则粒子在场中的运动情况可能是（）
A．沿初速度方向做匀速运动
B．在纸平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动
C．在纸平面内做轨迹向下弯曲的匀变速曲线运动
D．初始一段在纸平面内做轨迹向下（向上）弯曲的非匀变速曲线运动
3．三个质量相同的质点a、b、c，带有等量的正电荷，它们从静止开始，同时从相同的高度落下，下落过程中a、b、c分别进入如图所地的匀强电场、匀强磁场和真空区域中，设它们都将落到同一水平地面上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（）
A．落地时a的动能最大
B．落地时a、b的动能一样大
C．b的落地时间最短
D．b的落地时间最长
4．地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直于纸面向里．一个带电油滴沿着一条与竖直方向成?角的直线MN运动．由此可以判断()
A．如果油滴带正电，它是从M点运动到N点
B．如果油滴带正电，它是从N点运动到M点
C．如果水平电场方向向左，油滴是从M点运动到N点
D．如果水平电场方向向右，油滴是从M点运动到N点
5.如图所示，一个带正电的滑环套在水平且足够长的粗糙绝缘杆上，整个装置处在与杆垂直的水平方向的匀强磁场中，现给滑环一水平向右的初速度，滑环在杆上的运动情况可能是（）
A．始终作匀速运动
B．先作加速运动，后作匀速运动
C．先作减速运动，后作匀速运动
D．先作减速运动，最后静止在杆上
6．如图所示，空间存在着彼此垂直并作周期性变化的匀强电场和匀强磁场，电场和磁场随时间变化分别如图乙、丙所示（电场方向竖直向上为正，磁场方向垂直纸面向里为正）。某时刻有一微粒从点以初速开始向右运动，图甲中虚线是微粒的运动轨迹（直线和半圆相切于A、B、C、D四点，图中、和都未知）。
（1）此微粒带正电还是带负电？可能是什么时刻从A点开始运动的？
（2）求微粒的运动速度和BC之间的距离。
7.如图，与水平面成倾角的绝缘正方形斜面，边长，有一质量，电荷量的小滑块，与斜面间的动摩擦因数，整个装置处在垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度。滑块在点具有沿方向、大小为的初速度，取10。则：
（1）要使滑块由点沿直线运动到达点，应在绝缘斜面内加一个怎样的匀强电场？
（2）若所加匀强电场方向竖直向上，大小为，求滑块由到达绝缘斜面边界的时间。
8.如图所示，在竖直平面内放置一长为L的薄玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为—q、质量为m。玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场的复合场。匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为mg/q。电磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远。玻璃管带着小球以水平速度v0垂直于左边界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管b端滑出并能在竖直平面内自由运动，最后从左边界飞离电磁场。设运动过程中小球的电量保持不变，不计一切阻力。求：（1）小球从玻璃管b端滑出时速度大小；（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t的变化关系。
高三物理总复习第二轮姚维明
高二物理备课组第26页共28页
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