“关联速度”模型
太原市第十二中学姚维明
模型建构：
绳子物体“绳子物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。由于两个物体相互关联，一般地我们都要按运动效果分解成：沿着绳子的速度分量改变绳子速度的大小和垂直于绳子方向的速度分量改变绳子速度的方向。
模型典案：
【典案1】如图1所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达图示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M的上升速度大小为多少？（结果用v和θ表示）
〖解析〗解法一：运动效果分解法
物体M与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v1是相等的。与车相连的端点的实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮边缘顺时针转动。
将车速v分解为沿绳方向的速度v1和垂直绳子方向的速度v2，如图2所示。根据平行四边形定则可得v1＝vcosθ。
所以，物体M上升速度的大小为?v’＝vcosθ。解法二：位移微元法
如图3所示，假设端点A水平向左匀速移动微小位移△s至B，此过程中左段绳子长度增大了△s1（过A向OB作垂线AP，因顶角很小，故OP≈OA），即物体上升了△s1，
显然，△s1＝△s·cosθ
由于△s很小、△t很小，由速度的定义可得v1＝vcosθ。
所以，物体M上升速度的大小为v/=vcosθ。
这种方法从理论上揭示了运动效果分解法的本质。 解法三：功能关系法
不计滑轮、绳子质量及一切摩擦，由功能关系可知，在汽车前行牵引物体上升的过程中，汽车对绳子的拉力F所做的功W（对应功率设为P）等于绳子对物体拉力F’所做的功W’（对应功率设为P’）
设作用时间（相等）为△t，则
F＝F/，W＝W/，故，P＝P’
又因为P＝Fvcosθ，P’＝F/v/
以上几式联立解得物体上升速度的大小为v/＝vcosθ
这种方法从功能关系上揭示了运动效果分解法的本质。【典案2】如图4所示，小船用绳索通过定滑轮牵引，设水对小船阻力不变，在小船以速度v匀速靠岸的过程中拉绳的速度v/应怎样变化？
〖解析〗由题中已知条件，小船的实际运动是以速度v沿水平方向的匀速直线运动，可将其分解为绕滑轮转动和沿绳方向的直线运动
如图5所示，根据平行四边形法则画出小船运动的矢量图
已知小船的速度为v，是题中所给的直接条件，因此我们可以直接求出拉绳的速度。
可得v/=vcosθ，并且逐渐变小。
【典案3】如图6所示，两细棒a、b交叉放置在一平面内，a棒绕O点以角速度ω逆时针转动，b棒固定，O点离b棒距离为d。某一时刻a、b棒的夹角θ，此时交叉点A的速度是多少？
〖解析〗根据题意，我们可以看出，a、b的交叉点A相对于b棒做直线运动，而交叉点A相对于棒a做向O点的运动，与此同时，A点又随棒a做旋转运动。
因此，我们可以把某时刻交叉点A沿b棒的运动分解为：
沿a棒径向的直线运动和切向的圆周运动。
而A的实际速度是径向速度vx和切向速度vy的合速度。
如图7所示，根据平行四边形法则画出A运动的矢量图。
题中给出a棒转动的角速度为ω，并未直接给出速度，因此我们要根据这个间接条件来求a棒转动的线速度。我们求出的线速度也是切线方向的速度，而A点的速度为径向和切向的合速度，还需要再转化。
vy＝ω·OA，OA＝，v＝因此，v＝
〖点评〗解此题的关键是掌握好径向和切向运动，有时一个直线运动分解为一个直线运动（径向运动）和一个圆周运动（切向运动），会使问题简单化。
【典案4】如图8所示，跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m，物体A在水平面上。A由静止释放，当B沿竖直方向下落h时，测得A沿水平面运动的速度为v，这时细绳与水平面的夹角为θ，试分析计算B下降h过程中，地面摩擦力对A做的功？（滑轮的质量和摩擦均不计）
〖解析〗把物体A、B看成一个整体，对该系统进行受力分析。
B下降过程中，B的重力做正功mgh，摩擦力对A做负功，设为Wf。
由于A与水平面间的正压力是变化的，又不知动摩擦因数、Wf不能用功的定义求得，只能通过动能定理来求解Wf。
A的实际运动沿速度v的方向，它可以分解为分别是沿绳方向和绕滑轮转动两个分运动；
根据第1步的分析和平行四边形法则，画出如图9的矢量图；
由图9中可知，v1为绳的速度，也就是该时刻物体B的瞬时速度，v1＝vcosθ。
对系统列动能定理表达式：mgh－Wf＝Mv2＋mv12
可得Wf＝mgh－Mv2－m（vcosθ）2
〖点评〗此题是一道综合题，它涉及到了变力做功，动能定理这两个方面的知识，有一定的难度。但关键点是利用运动合成与分解的知识求出速度，才能列出动能定理表达式。由此可见，学好运动的合成与分解是至关重要的。
【典案5】如图10所示，某人与一平直公路的垂直距离h＝50m，有一辆汽车以速度v0＝10m/s沿此公路从远处驶来，当人与汽车相距L＝200m时，人开始匀速跑动，若人想以最小的速度赶上汽车，人应沿与v0成多大角度的方向以多大的速度跑动？
〖解析〗方法一：物理方法
本题主要考查巧选参考系，应用运动的合成与分解研究相遇极值问题。
如图11所示，以汽车为参照系，人相对于汽车的合运动v合的方向如图中虚线OP所示，人相对于地面的运动速度为v，由图可知，要使v最小，v的方向显然应垂直于OP连线方向，设汽车运动方向（即v0方向）与OP连线夹角为θ，
则tanθ＝＝。
vmin＝v0sinθ＝10×sin(arctan0.25)m/s＝2.4m/s。
方法二：数学方法
在本题中，如果我们仍以地面为参照系，可以假设经过时间t人正好在B点赶上汽车，如图12所示。
设人车方向OP与公路夹角为α（α为定值），OB与公路的夹角为θ（θ为变量）
根据正弦定理
当时，OB最小，所需速度最小
由速度矢量三角形得：
vmin＝v0sinθ＝10×sin(arctan0.25)m/s＝2.4m/s。
〖点评〗如果汽车静止在路面上，这个问题就非常简单，人只要沿着人、车的连线方向运动即可。在本例中，由于汽车在运动，问题就较为复杂，但是，如果我们以汽车为参照系，这个问题就变得较为简单，同样只要人沿着人、车的连线方向运动（即人相对于汽车的运动方向沿人、车的连线方向）就可赶上汽车，这时，由于是以汽车为参照系，人相对汽车来说已经具有一个分速度－v0（负号表示方向相反），我们需要解决的是另一个分运动（即人相对于地面的运动）的大小和方向的问题。灵活选择参考系往往可使问题得到简化。
【典案6】一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图13所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）。
〖解析〗选取物与棒接触点B为连结点。（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）
因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2。
因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，
由速度矢量分解图得：v2=vsinθ
设此时OB长度为a，则a=h/sinθ
令棒绕O点转动角速度为ω
则：ω=v2/a=vsin2θ/h
故：A的线速度vA=ωL=vLsin2θ/h
〖点评〗本题的命题意图是考查综合分析及推理能力。学生容易出现的错误是①不能恰当选取连结点B来分析，题目无法切入。②无法判断B点参与的分运动方向。
【典案7】如图15所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置。SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？
〖解析〗由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°，
OS′=L/cos60°。
选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动，速度为v1和绕O点转动，线速度为v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图16可得：
v1=vsin60°，v2=vcos60°
又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω
则：v2=2ωL/cos60°
vcos60°=2ωL/cos60°，解得：v=8ωL
〖点评〗光斑的运动是合运动，它可以分解成沿光线方向的传播速度与垂直于光线方向上的转动速度。而转动速度，这与“绳子斜拉物体”的速度分解类似。
【典案8】如图17所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中
（1）斜劈的最大速度。
（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）
〖解析〗（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒。
mg（h-r）=mvA2+mvB2 几何①
由图中几何知识知：h=cot30°·r=r②
B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图18所示。
由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2
即vAcos30°=vBsin30° ③
解得vA=vB=
（2）A球落地后反弹速度vA′=vA
做竖直上抛运动的最大高度：Hm=
模型体验：
【体验1】如图19所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是（提示：先做绳子末端速度分解）
A．绳的拉力大于A的重力B．绳的拉力等于A的重力
C．绳的拉力小于A的重力D．拉力先大于重力，后变为小于重力
〖解析〗设小车的速度为v，小车的速度可以分解为沿着绳子方向的速度分量v∥和垂直绳子方向的速度分量v⊥，沿着绳子方向的速度分量v∥就是物体A的速度。
v∥=vA=vcosα（α为绳子与水平方向的夹角）
随着α减少，物体A的速度减小，加速度a<0
再根据牛顿第二定律：F-mg=ma得到F
正确答案为A
【体验2】如图21，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度vˊ为多少？
〖解析〗物体M的速度就是合运动的速度。它可以分解成沿着绳子的速度v/（即小车的速度）和改变绳子方向的速度v//。
由几何关系得：小车的速度v/=vcosα
【体验3】如图23所示，A、B以相同的速率v下降，C以速率vx上升，绳与竖直方向夹角α已知，则vy=______v
〖解析〗本题最容易出现的错误是，按图25分解，认为
正确方法是：按图24分解，物体C的运动能分解成沿着绳子的分量v和垂直绳子的速度分量v/。
由几何关系得：
〖点评〗由于学生对物体运动的性质不明确，因此特别容易出现如图15所示的速度分解。同时有的同学认为物体C的速度是2vy，这也是错误的。这道题目的结果与上面体验题3有类似的地方，请同学们仔细斟酌。
【体验4】如图26所示，重物A、B由刚性绳拴接，跨过定滑轮处于图中实线位置，此时绳恰好拉紧，重物静止在水平面上，用外力水平向左推A，当A的水平速度为vA时，如图中虚线所示，求此时B的速度vB＝______。
〖解析〗分别对A、B进行速度的分解如图
解得：
〖点评〗本题中绳子的速度是联系两者速度的桥梁，按照运动的效果分解后，列出速度方程，问题应能解决。
【体验5】如图27所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D。BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v。〖答案〗v=
【体验6】如图28所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小。
〖解析〗小球的运动是合运动，小球的速度分解如图29所示，
v为沿着木杆方向的速度分量。
对A：
对B：
解得：
同理，小球运动的加速度与速度的分解图像相同，故小球运动的加速度关系也类同。
aA=aBtanα
【体验7】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图30所示。绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上。设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计。开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H。提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。
〖解析〗以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0。随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加。当车子运动到B点时，重物获得一定的上升速度v0，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图31所示。
vQ=vB1=vBcos45°=vB
于是重物的动能增为Ek2=mvQ2=mvB2
在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为
h=H-H=（-1）H
WG=-mgh=-mg（-1）H
于是由动能定理得WT+WG=ΔEk=Ek2-Ek1
即WT-mg（-1）H=mvB2-0
所以绳子拉力对物体做功WT=mvB2+mg（-1）H
【体验8】如图32所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？
〖答案〗vB=
【体验9】在一个半径为Ｒ的半圆形轨道边缘上，固定着一个定滑轮，一根轻绳两端分别系着质量为ｍ和ｍ的物体，且ｍ＞ｍ，绳子跨在定滑轮上，放手后，ｍ１将从半圆形轨道边缘处沿光滑轨道滑下，如图所示，求当ｍ１经过半圆形轨道最低点时的速度。〖解析〗物体ｍ=
对系统根据动能定理：
解得：
【体验10】如右图3所示，在水平固定的光滑细直杆上穿着A、B两个刚性小球，并用两根长度均为L、不可伸长的轻绳分别将A、B两小球与另一小球C连接。已知三个小球质量均相同且都可看作质点，现将两根轻绳拉直呈水平状，并同时自由释放三个小球，试求：在A、B两小球相碰前的某一时刻，A、B两小球的速度大小v与C小球下落高度h之间的关系式。
〖解析〗如右图所示，设在A、B相碰前的某一时刻轻绳与竖直方向间的夹角为，此刻小球C的速度为V。不失一般性，取其中A小球和C小球作牵连运动关系分析：①
考虑到A、B两小球的运动对等性和两根轻绳的拉力做功情况，对
三个小球组成的系统建立机械能守恒方程：
………………………………………②
………………………………………………③
由①②③联立可求得v与h之间的关系式：
【体验11】如右图所示，竖直平面内固定一直角杆，杆的水平部分粗糙，竖直部分光滑，两杆上分别套有质量mA＝2kg、mB＝1kg的小球A和B，其中小球A与水平杆之间的动摩擦因数＝0.2，A、B间用不可伸长的细线相连接，图示位置处OA＝1.5m、OB＝2m。现用水平力F沿杆向右拉动小球A，并使小球B以vB＝1m/s的速度匀速上升，试求：在小球B经过图示位置上升h＝0.5m的过程中，水平力F做了多少功？（tan37°＝、tan53°＝、g＝10m/s2）
〖解析〗由题意可知，要使小球B沿竖直杆匀速上升，作用于小球A的水平力F不可能为恒力，故不能用W＝Fs来计算F对小球A做功，又因为小球A与水平杆之间有摩擦，系统也不满足机械能守恒定律，应对系统适用动能定理或一般意义的功能关系求解。
显然，当小球B经过图示位置时，细线与竖直杆之间的夹角应满足
（即α＝37°，图所示），此刻两小球之间的速度
牵连关系为：，即：m/s当小球B经过图示位置上升h＝0.5m时，细线与竖直杆之间的夹角β应满足（即β＝53°，右图所示）此刻两小球之间的速度牵连关系为：，即：m/s于是，可以对小球A、B组成的系统在此过程中适用动能定理：
并注意到式中m取各已知量代入可解得水平力F做功：（J）。
或者也可考察水平力F做功效果，建立一般意义的功能关系式：求得：【体验12】如图40所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，与钢板的动摩擦因素为μ。由于受到相对于地面静止的光滑导槽A、B的控制，物体只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时用力F拉动物体（方向沿导槽方向）使物体以速度v2沿导槽匀速运动，求拉力F大小。
分析与解：物体相对钢板具有向左的速度分量v1和侧向的速度分量v2，故相对钢板的合速度V的方向如图41所示，滑动摩擦力的方向与V的方向相反。根据平衡条件可得：
F=fcosθ=μmg
从上式可以看出：钢板的速度v1越大，拉力F越小。
建构物理模型，巧手解决问题
1
图24
α
α
vy
v
v
图26
v/
vy
α
v
图23
图22
θ
v//
v/
v
M
图20
图19
α
图21
v⊥
v∥
v
B
B
图9
图7
图6
图5
图4
图8
图13
图17
图30
vB1
vB2
图15
图27
v
S？
S
30°
M
O
v2
v1
B
A
vA
vB
v
v
α
图29
α
图28
图18
图14
vB
θ
P
α
B
v0
O
v
图12
v0
θ
P
O
v0
图10
h
L
θ
v1
v2
v
图2
P
A
B
θ
△s1
v
O
△s
图3
A
图1
M
θ
图25
vy
v合
vA
vB
300
vA/
v
v
v//
v
－v0
图11
B
N
A
M
O
B
图31
B
S？
S
30°
M
O
图16
v2
v1
B
A
vA2
vB
r
vB1
vB2
vA1
vA
图32
图34
图33
45°
v
vx
vy
图33
A
B
C
图35
A
B
h
C
v
V
L
图36
A
B
F
图37
O
A
B
O
vB
vA
图38
O
A＇
B＇
vB
vA＇
图39
图40
θ
V
图41
f
V2
V1
B
A
C
v2
v1
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