电磁感应的轨道模型之一
单根导体棒以恒定初速度v0开始运动问题
太原市第十二中学姚维明
模型建构:
【模型一】轨道、杆与电阻构成的回路
【模型】水平光滑轨道足够长,匀强磁场方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动,外电阻为R,其他电阻不计。
【特点】有一个动生电源,导体棒只受一个安培阻力的作用做减速运动,加速度在不断减小,最后可能静止,可能做匀速直线运动。
模型典案:
【典案1】如图所示,水平光滑轨道足够长,轨道的宽度都是l,匀强磁场的大小为B,方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动,外电阻为R,轨道电阻及导体棒的电阻都不计。试分析导体棒的运动过程,判断导体棒最终的运动情况,并作出其v-t图象。
【解析】如图所示,导体切割磁感线产生感应电动势
安培力
根据牛顿第二定律:得:
v↓→a↓当v=0时,a=0导体棒最终静止。
v-t图象如图所示
模型体验:
【体验1】如图所示,、是间距为的平行金属导轨,置于磁感强度为、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中,、间接有一阻值为的电阻.一根与导轨接触良好、阻值为/2的金属导线垂直导轨放置以速度向右匀速滑动以速度向右滑动
(2)若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动,最终静止。动能全部转化为电热。
。
由牛顿第二定律得:即,
∴。
,∴。
【模型二】轨道、杆与电源构成的回路
【模型】光滑水平平行轨道足够长,匀强磁场的方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动。电源电动势为E,外电阻为R,其他电阻不计。
【特点】有一个恒定电源,还有一个动生电源,导体棒只受一个安培阻力的作用,可能做加速运动,做减速运动,也可能做匀速运动,加速度可能增大、减小,也可能为零,最终只能做匀速直线运动。
模型典案:
【典案1】如图所示,水平光滑轨道足够长,轨道的宽度都是l,匀强磁场的大小为B,方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动。电源电动势为E,外电阻为R,其他电阻不计。试分析导体棒的运动过程,判断导体棒最终的运动情况,并作出其v-t图象。
【解析】本案例分三种情况讨论
(1)若E>Blv0,则电源总电动势为,
安培力方向向右,导体棒做加速运动。
v↑→a↓,当时,做匀速直线运动。
(2)若E=Blv0,则电源总电动势为=0
导体棒开始就做匀速直线运动
(2)若E 安培力方向向左,导体棒做减速运动。
v↓→a↓,当时,做匀速直线运动。
v-t图象如图所示,最终都是匀速运动
模型体验:
【体验1】如图所示,水平平行光滑轨道足够长,轨道的宽度都是l,电源电动势为E,外电阻为R,其他电阻不计,匀强磁场的大小为B,方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动。分析导体棒的运动情况,说明最终做什么运动,并作出v-t图象。
【解析】电源总电动势为,
安培力方向左,导体棒向右做减速运动。
,导体棒反向减速运动。
当v=0时,,导体棒返回向左加速
此时电源总电动势为,
导体棒受到的安培力
v↑→a↓当时,a=0
导体棒又开始就做匀速直线运动
运动的v-t图象如右图
【体验2】如图所示,长平行导轨PQ、MN光滑,相距m,处在同一水平面中,磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面.横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Ω,导轨电阻不计.导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Ω的电池接在M、P两端,试计算分析:
(1)在开关S刚闭合的初始时刻,导线ab的加速度多大?随后ab的加速度、速度如何变化?
(2)在闭合开关S后,怎样才能使ab以恒定的速度υ=7.5m/s沿导轨向右运动?试描述这时电路中的能量转化情况(通过具体的数据计算说明).(1)在S刚闭合的瞬间,导线ab速度为零,没有电磁感应现象,由a到b的电流,ab受安培力水平向右,此时瞬时加速度
ab运动起来且将发生电磁感应现象.ab向右运动的速度为υ时,感应电动势,根据右手定则,ab上的感应电动势(a端电势比b端高)在闭合电路中与电池电动势相反.电路中的电流(顺时针方向,)将减小(小于I0=1.5A),ab所受的向右的安培力随之减小,加速度也减小.尽管加速度减小,速度还是在增大,感应电动势E随速度的增大而增大,电路中电流进一步减小,安培力、加速度也随之进一步减小,当感应电动势与电池电动势E相等时,电路中电流为零,ab所受安培力、加速度也为零,这时ab的速度达到最大值,随后则以最大速度继续向右做匀速运动.
设最终达到的最大速度为υm,根据上述分析可知:
所以m/s=3.75m/s.
(2)如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动,则ab中感应电动势
V=3V
由于>,这时闭合电路中电流方向为逆时针方向,大小为:A=1.5A
直导线ab中的电流由b到a,根据左手定则,磁场对ab有水平向左的安培力作用,大小为N=0.6N
所以要使ab以恒定速度m/s向右运动,必须有水平向右的恒力N作用于ab.
上述物理过程的能量转化情况,可以概括为下列三点:
①作用于ab的恒力(F)的功率:W=4.5W
②电阻(R+r)产生焦耳热的功率:W=2.25W
③逆时针方向的电流,从电池的正极流入,负极流出,电池处于“充电”状态,吸收能量,以化学能的形式储存起来.电池吸收能量的功率:W=2.25W
由上看出,,符合能量转化和守恒定律(沿水平面匀速运动机械能不变).,
3、两个极值规律
当v=0时,E反=0,电流、安培力和加速度最大且分别为
这就是大型电动机启动时,为了防止电流过大而烧坏绕组线圈是串联启动电阻的原因。
当a=0时,ΣF=0,速度最大,电流最小,安培力最小。
据平衡条件有:
μmg=Fmin=BIminl=
所以最大速度为:
当μ=0时,,即E=Blvm=E反,这是电路中电流为零。
【模型三】轨道、杆与电容器构成的回路
【模型】已知轨道足够长,轨道的宽度都是l,匀强磁场的大小为B,方向始终与轨道平面垂直,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动,外电阻为R,其他电阻不计。轨道串联一个电容器,开始时电容器不带电。
【特点】有一个动生电源,电容器开始被充电,当电容器上的电压与电源电动势E相等时,充电完毕,电荷不再移动,最终导体棒只能做匀速直线运动。
模型典案:
【案例1】如图所示,光滑轨道足够长,轨道的宽度都是l,匀强磁场的大小为B,方向始终与轨道平面垂直,外电阻为R,轨道电阻及导体棒的电阻都不计,轨道串联一个电容器,开始时电容器不带电,导体棒与双轨也垂直,并且以初速度v0开始运动。试分析导体棒的运动过程,判断导体棒最终的运动情况,并作出其v-t图象。
【解析】导体棒向右运动,产生感应电动势
电容器开始被充电,产生充电电流,导体棒从而受到了安培阻力作用,做减速运动,当电容器上的电压UC=Blv时,电荷不再转移,导体棒做匀速直线运动。
其v-t图图象如图所示.
模型体验:
【体验1】光滑U型金属框架宽为L,足够长,其上放一质量为m的金属棒ab,左端连接有一电容为C的电容器,现给棒一个初速v0,使棒始终垂直框架并沿框架运动,如图所示。求导体棒的最终速度。
【解析】当金属棒ab做切割磁感线运动时,要产生感应电动势,这样,电容器C将被充电,ab棒中有充电电流存在,ab棒受到安培力的作用而减速,当ab棒以稳定速度v匀速运动时,有:
Blv=UC=q/C
而对导体棒ab利用牛顿第二定律可得:
由上述二式可求得:
【体验2】如图所示,光滑水平轨道的间距为l,处在大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。导轨上皆有电动势为E的电源和电容为C的电容器,一根质量为m的导体静止在导轨上,若将单刀双掷开关s先掷于位置1,对电容器充电;然后掷于位置2,让电容器放电。
1、电路特点:放电式导轨
2、电流特点:当电容器对导体放电时,导体在安培力的作用下开始向右运动,同时产生阻碍放电的反电动势,使电流减小直到电流为零为止。
3、运动特点:导体在安培力作用下,先做加速度减小的加速运动,当电流为零时,速度达到最大值,然后开始做匀速运动。
4、匀速运动的条件
电流I=0,即导体的反电动势等于电容器的电压
U=E反=Blvm
电容器的充电电压为E,放电过程中电压降低;导体在加速过程中速度增加,凡电动势增大当导体中的反电动势等于电容器的电压时,电路中电流为零,导体开始以最大速度vm匀速运动。
5、最大速度的计算
根据电容器的充电量为Q0=CE,放电结束时的电量为Q=CU=CBlvm,素以电容器放电结束时的电量为ΔQ=Q0-Q=CE-CBlvm①
根据动量定理有mvm=ΣFΔt=ΣBilΔt=BlΔQ②
所以,导体的最大速度为
顺便指出,此结果代入①式,还可计算出电容器的放电量。
根据动量定理和动能定理,安培力对导体的冲量为
安培力对导体做功为
建构物理模型,巧手解决问题
1
×××××
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v0
R
B
l
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×××××
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v0
R
B
l
F
t
v
0
v0
E
E
v
t
v
t
t
v
0
v0
a
b
C
v0
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