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| 2012年湖北高考数学考试说明（word版） |
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2012年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北
数学学科考试说明
Ⅰ．考试性质
根据教育部考试中心《2012普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合我省高中基础教育的实际情况，制定了《2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷考试说明》的数学科部分.
Ⅰ、考试性质
普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.
Ⅱ、命题指导思想
1.普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试.命题遵循“有助于高校选拔人才，推动高中数学新课程改革”的原则，确保安全、公平、公正、科学、规范.
．
3．命题遵循《普通高中数学课程标准（实验）》和《2012普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，试题在源于教材的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性，既考查考生的共同基础，又考查考生的学习潜能，以满足选拔不同层次考生的需求.
一、知识要求
对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次.分别用A，B，C表示.
（1）了解（A）
要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题.
（2）理解（B）
要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决.
（3）掌握（C）
要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决.
二、能力要求
能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.
（1）空间想象能力
能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.
（2）抽象概括能力
能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从足够的信息材料中，概括出一些合理的结论.
（3）推理论证能力
会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性.
（4）运算求解能力
会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找和设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似运算.
（5）数据处理能力
会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.
（6）应用意识
能够运用所学的数学知识、思想和方法，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
（7）创新意识
能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.
三、考查要求
（1）对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合.
（2）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.
（3）对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向.
（4）注重试题的基础性、综合性和层次性.合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查.
Ⅳ.考试范围与要求层次
根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》，结合我省高中基础教育的实际，确定文史类高考数学科的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列1（选修1-1、选修1-2）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容（详见下表）；
确定理工类高考数学科必做题的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列2（选修2-1、选修2-2、选修2-3）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容；选做题的考试范围为选修课程系列4中的《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》的部分内容.
具体内容及层次要求详见下表.
内容 知识要求 了解（A） 理解
（B） 掌握
（C） 集合与
常用逻
辑用语 集合 集合的含义 √ 集合的表示 √ 集合间的基本关系 √ 集合的基本运算 √ 常用逻辑用语 “若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，及其相互关系 √ 充分条件、必要条件、充要条件 √ 简单的逻辑联结词 √ 全称量词与存在量词 √ 对含一个量词的命题进行否定 √ 函数
概念
与基
本初
等函
数Ⅰ
（指
数函
数、
对数
函数
、幂
函数） 函数 函数的概念与表示 √ 映射 √ 简单的分段函数及其应用 √ 单调性与最大（小）值及其几何意义 √ 奇偶性 √ 指数函数 有理指数幂的含义 √ 实数指数幂的意义 √ 幂的运算 √ 指数函数的概念、图象及其性质 √ 对数函数 对数的概念 √ 对数的运算性质 √ 换底公式 √ 对数函数的概念、图象及其性质 √ 指数函数与对数函数互为反函数，且 √ 幂函数 幂函数的概念 √ 幂函数，，，，的图象及其变化情况 √ 函数的模型及其应用 方程的根与函数的零点 √ 二分法 √ 函数模型的应用 √ 基本初等
函数Ⅱ
（三角
函数）、
三角
恒等
变换、
解三
角形 三角
函数 任意角的概念、弧度制 √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 诱导公式、同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 三角函数，，的图象和性质 √ 函数的图象和性质 √ 三角函数模型的简单应用 √ 三角
恒等
变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的三角恒等变换 √ 解三
角形 正弦定理、余弦定理 √ 解三角形及其简单应用 √ 数列 数列的概念 数列的概念 √ 数列的简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式） √ 等差数列、
等比数列 等差数列、等比数列的概念 √ 等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式 √ 等差数列、等比数列的简单应用 √ 不等式
（含4-5
《不等式选讲》） 一元二次
不等式 一元二次不等式解法及应用 √ 一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系 √ 简单的
线性规划 用二元一次不等式组表示平面区域 √ 简单的线性规划问题 √ 基本不等式 不等式及其简单应用 √ 不等式
的性质、
证明
与解法 不等式的基本性质 √ 绝对值不等式 √ 不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法） √ 用数学归纳法证明一些简单的不等式（仅限理科） √ 不等式
及其简单应用（仅限理科） √ 柯西不等式及其简单应用（仅限理科） √ 推理
与
证明 合情推理与
演绎推理 合情推理 √ 演绎推理 √ 直接证明
与
间接证明 综合法 √ 分析法 √ 反证法 √ 数学归纳法（仅限理科） √ 平面
向量 平面向量 平面向量的相关概念 √ 向量的
线性运算 平面向量的线性运算及其几何意义 √ 平面向量的线性运算的性质及其几何意义 √ 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的基本定理 √ 平面向量的正交分解及其坐标表示 √ 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 √ 用坐标表示平面向量共线的条件 √ 平面向量
的数量积 平面向量数量积的概念 √ 数量积与向量投影的关系 √ 数量积的坐标表示 √ 用数量积表示两个向量的夹角 √ 用数量积判断两个平面向量的垂直关系 √ 向量的应用 用向量方法解决简单问题 √ 导数
及其应用 导数概念
及其几何意义 导数的概念 √ 导数的几何意义 √ 导数的
运算 常见基本初等函数的导数公式 √ 常用的导数运算法则 √ 求简单复合函数的导数（仅限理科） √ 导数在
研究函数
中的应用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数一般不超过三次） √ 函数的极值、最值（其中多项式函数一般不超过三次） √ 利用导数解决某些实际问题 √ 定积分与微积分基本定理（仅限理科） 定积分的概念 √ 微积分基本定理 √ 数系的
扩充
与复数的引入 复数的概
念与运算 复数的基本概念，复数相等的条件 √ 复数的代数表示法及几何意义 √ 复数代数形式的四则运算 √ 复数代数形式加、减法的几何意义 √ 立体
几何
初步 空间
几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体 √ 简单空间图形的三视图 √ 用斜二侧法画简单空间图形的直观图 √ 柱、锥、台、球的表面积和体积 √ 点、直线、
平面间的
位置关系 空间直线、平面的位置关系 √ 公理1、公理2、公理3、公理4、定理 √ 空间直线、平面平行或垂直的判定 √ 空间直线、平面平行或垂直的性质 √ 证明直线、平面位置关系的简单命题 √ 空间
向量
与
立体
几何 空间直角
坐标系 空间直角坐标系 √ 空间两点间的距离公式 √ 空间向量
及其运算（仅限理科） 空间向量的概念 √ 空间向量基本定理 √ 空间向量的正交分解及其坐标表示 √ 空间向量的线性运算及其坐标表示 √ 空间向量的数量积及其坐标表示 √ 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 √ 空间向量
的应用（仅限理科） 空间直线的方向向量 √ 空间平面的法向量 √ 用向量方法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角 √ 用向量方法证明直线、平面位置关系的简单命题 √ 平面
解析
几何
初步 直线
与方程 直线的倾斜角和斜率 √ 过两点的直线斜率的计算公式 √ 两条直线平行或垂直的判定 √ 直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式 √ 两条相交直线的交点坐标 √ 两点间的距离公式、点到直线的距离公式 √ 两条平行线间的距离 √ 圆与方程 圆的标准方程与一般方程 √ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系 √ 用直线和圆的方程解决一些简单的问题 √ 圆锥
曲线与方程 圆锥曲线 椭圆的定义及标准方程 √ 椭圆的简单几何性质 √ 抛物线的定义及标准方程 √（文科） √（理科） 抛物线的简单几何性质 √（文科） √（理科） 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系 √ 曲线与
方程 曲线与方程的对应关系（仅限理科） √ 算法
初步 算法及其
程序框图 算法的含义 √ 程序框图的三种基本逻辑结构 √ 基本算法
语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句 √ 框图（仅限文科） 流程图 流程图 √ 结构图 结构图 √ 计数
原理（仅限理科） 加法原理、
乘法原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 √ 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 √ 排列与组合 排列、组合的概念 √ 排列数公式、组合数公式 √ 用排列与组合解决一些简单的实际问题 √ 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 √ 概率与统计
随机抽样 简单随机抽样 √ 分层抽样和系统抽样 √ 用样本估计总体 频率分布表，直方图、折线图、茎叶图 √ 样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）及其意义 √ 用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 √ 变量的
相关性 最小二乘法 √ 线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆） √ 事件与
概率 随机事件的关系与运算 √ 随机事件的概率 √ 两个互斥事件的概率加法公式 √ 古典概型 古典概型 √ 用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（文科） √ 计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（理科） √ 几何概型 几何概型 √ 概率（仅限理科） 取有限个值的离散型随机变量及其分布列 √ 超几何分布 √ 条件概率 √ 事件的独立性 √ n次独立重复试验模型与二项分布 √ 取有限个值的离散型随机变量的均值、方差 √ 正态分布 √ 坐标系与参数方程（仅限理科） 极坐标系 用极坐标表示点的位置 √ 极坐标和直角坐标的互化 √ 圆、直线的极坐标方程 √ 参数方程 直线的参数方程 √ 圆的参数方程 √ 椭圆的参数方程 √ 几何证明选讲（仅限理科） 相似三角形的判定及有关性质 相似三角形的定义与性质 √ 平行截割定理 √ 直角三角形射影定理 √ 直线与圆的位置关系 圆周角定理 √ 圆的切线判定定理与性质定理 √ 相交弦定理 √ 圆内接四边形的性质定理与判定定理 √ 切割线定理 √
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
Ⅴ、考试形式与试卷结构
一、考试形式
考试采用闭卷笔试形式.考试时间为120分钟，全卷满分为150分.湖北省201年普通高等学校招生全国统一考试仍不使用计算器.
全卷分选择题、填空题、解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题；填空题要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答写出文字说明、演算步骤或推证过程.全卷题型、题量和赋分如下：
全卷22道试题均为必做题；
试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；
填空题7道，每道5分，共35分；
解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分.
理科卷：
全卷22道试题，分为必做题和选做题.其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题；
试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；
填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；
解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；
试容易题、中等题和难题难度在0.70以上的题为容易题，难度在0.40～0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题.控制三种试题合适分值比例，试卷总体难度适中
Ⅵ.题型示例
为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（湖北卷）和其他省市的高考试题中选择了部分试题编制成题型示例.题型示例中的试题与2012年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有任何对应关系.
理科题型示例
一、必考内容题型示例
（一）选择题
【试题1】（2011年湖北卷理科卷第2题）
已知，，则
A． B．C．D．
【答案】A
【说明】本题主要考查集合、对数函数和幂函数的基本概念性质．
【试题2】（2008年湖北卷理科第1题）
设,,,则
A.B.C.D.
【说明】本题考查向量的加法、实数与向量的积和平面向量的数量积等向量的有关概念.
【试题3】（2011年安徽卷理科第7题
命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【说明】本题考查正确地对含有一个量词的命题进行否定.本题属于容易题.
【试题4】（2009年湖北卷理科第8题）
在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元
【说明】本题考查简单的线性规划
【试题5】（2011年湖北卷理科第7题）
如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
【说明】本题主要考查相互独立事件和互斥事件的概率计算
【试题6】（2011年湖北卷理科第5题）
已知随机变量服从正态分布，且，则
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【说明】本题主要考查正态曲线的性质及正态分布相关概率计算
【试题7】（2010年湖北卷理科第8题）
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A.B.C. D.
【说明】本题考查有限制条件下的排列组合问题
【试题8】（2011年全国卷理科第11题）
设函数的最小正周期为，且，则
A.在单调递减B.在单调递减
C.在单调递增D.在单调递增
【答案】A
【说明】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换以及图象.本题属于中等题.
【试题9】（2011年江西卷理科第6题）
变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5），变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11，4)，(11，3)，(12，2)(13，1)表示变量Y与之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数
（可参考两个变量的相关系数的计算公式：）
<<0B.0<
【答案】C
【说明】本题考查两个变量的线性相关.本题属于中等题.
【试题10】（2011年湖北卷理科第4题）
将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则
A． B． C． D．
【说明】本题考查直线与抛物线的位置关系.本题属于中等题.
【试题11】（2011年山东卷理科第8题）
已知双曲线的两条渐近线均和圆C：相切且双曲线的右焦点为圆C的圆心则该双曲线的方程为
B.C.D.
【答案】A
【说明】本题考查双曲线、圆的方程和圆的切线的性质.本题属于中等题.
【试题12】（2007年湖北卷理科第6题）
若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”.
甲数列是等方比数列乙数列是等比数列.则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
“等方比数列”条件
【试题13】（2005年湖北卷理科第4题）
函数的图象是
A.B.C.D.
【说明】本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想.本题属于中等题.
【试题14】（2008年湖北卷理科第10题）
0810.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：
①；②；③；④.
其中正确的式子序号是
A.①③B.②③C.①④D.②④
【答案】B
【试题15】（2009年湖北卷理科第9题）
设球的半径为时间t的函数.若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A．成正比，比例系数为c B．成正比，比例系数为2c
C．成反比，比例系数为c D．成反比，比例系数为2c
【说明】本题考查导数概念、求导公式、球的体积和表面积公式
【试题16】（2011年全国卷理科第12题）
函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A． B．C． D．
【答案】D
【说明】本题考查函数的图象与性质.本题属于难题
（二）填空题
【试题17】（2007年湖北卷理科第12题）
复数，且，若是实数，则有序实数对可以是.（写出一个有序实数对即可）
（或满足的任一非零实数对
【说明】本题考查复数的概念和运算.本题属于容易题.
【试题18】（2010年天津卷理科第11题）
甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和.
乙 9 8 1 9 7 1 0 1 3 2 0 2 1 4 2 4 1 1 5 3 0 2 0 【答案】24，23
【试题19】（2011年湖北卷理科第11题）
的展开式中含的项的系数为．（结果用数值表示）
【说明】本题考查二项式定理
【试题20】（2011年浙江卷理科第12题
某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是
【答案】5
【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.本题属于中等题.
【试题21】（2008年湖北卷理科第13题）
已知函数，其中，为常数，则方程的解集为.
【说明】本题考查函数的概念、待定系数法以及二次方程的解集等内容.
【试题22】（2010年陕西卷理科第13题）
从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y）,则点M取自阴影部分的概率为.
【答案】
【说明】本题与定积分结合，考查几何概型.本题属于容易题.
【试题23】（2009年湖北卷理科第14题）
已知函数，则的值为.
【说明】本题主要考查函数导数的概念、求法
【试题24】（2011年天津卷文科第10题）
一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为.
【答案】
【说明】本题考查简单组合体的三视图及其体积.本题属于中等题.
【试题25】（2010年湖北卷理科第15题）
设，称为的调和平均数．如图，为线段上的点，且，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连结,,．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是的算术平均数，线段的长度是的几何平均数，线段的长度是的调和平均数．
CD；DE
【说明】本题主要考查算术平均、几何平均的概念与即时定义的理解运用
【试题26】（2008年湖北卷理科第15题）
观察下列等式：
，
，
，
，
，
，
………………………………………………
，
可以推测，当时，，，，．
；0
【说明】本题考查学生的创新思维，通过观察、综合进而合情推理得到答案
（三）解答题
2011年全国卷第17题
等比数列的各项均为正数，且，
（）求数列的通项公式.
（）设求数列的前n项和.
（）设数列的公比为q，由得，所以.
由条件可知,故.
由得，所以.
故数列的通项式为.
（）.
故，
.
所以数列的前n项和为.
【试题28】（2011年理科
已知数列的前项和为，且满足：，.
（）求数列的通项公式；
（）若存在，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.
【】
（）由已知，可得，两式相减可得
，即.又，所以
当时，数列即为：，，…，，…；
当时，由已知，所以，于是由可得
，由定义知，，…，，…成等比数列，
所以当时，.
综上，可得数列的通项公式为
（）对于任意的，且，，，成等差数列.证明如下：
当时，由（）知，，，即数列是等差数列，且对于任意的，且，，，成等差数列；
当时，，．
若存在，使得，，成等差数列，则，
，即.
由（）知，，，…，，…的公比，于是
对于任意的，且，，从而，
，即，，成等差数列.
【说明】本题考查等差数列、等比数列基础知识.
【试题29】（2011年湖北卷理科第16题）
设△的内角、、所对的边分别为、、.已知，，．
（）求△的周长；
（）求的值．
【】
（），
.
∴△的周长为.
（），.
∴.
∵，，故为锐角，
.
∴.
【说明】本题考查三角函数的基本知识，包括余弦定理、正弦定理、和角差角公式的综合应用．
【试题30】（2008年湖北卷理科第16题）
已知函数，，.
（）将函数化简成的形式；
（）求函数的值域.
（）解法1：
，，.
.
（）解法1：由，得，
在上为减函数，在上为增函数，
又，所以当时，恒有成立，
即，，
故的值域为.
解法：，，，
[，) (，] 极小值
所以得到当时，；又，
故因此函数的值域为.
本题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.
【试题31】（2007年理科第18题
如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，
（）求证：平面平面；
（）当角变化时，求直线与平面所成的角的取值范围.
【】
解法1：（），是等腰三角形，又是的中点，又底面，于是平面，
又平面，平面平面
（）过点在平面内作于，则由（）知平面
连接，于是就是直线与平面所成的角.
在中，；
设，在中，，
∵，
，又，
即直线与平面所成角的取值范围为.
解法2：（）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
于是，，.
从而，即
同理，即
又，平面.又平面，
平面平面
（）设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由
得
可取，又，
于是
，
，，又，
即直线与平面所成角的取值范围为.
【说明】本题考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识.考查应用向量知识解决数学问题的能力.属于容易题.
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（）求的值及的表达式；
（）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【解题思路与方法】首先在的表达式中，令，求出常数，得到每年的能源消耗费用函数．然后分别写出建造费用与20年能源消耗费用表达式，得到．再利用导数或均值不等式求出的最小值点与最小值．
解：（）设隔热层厚度为cm，由题设，每年能源消耗费用为，
再由，得，因此．而建造费用为．
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
．
（）由平均值不等式有：
，
当且仅当即时，等式成立，此时函数取得最小值，最小值为．
当隔热层修建cm厚时，总费用达到最小值万元．
【】本题主要考查函数、导数及最值等基础知识．
【试题33】（2008年湖北卷理科第20题）
水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
（）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以表示第月份，问一年内哪几个月份是枯水期？
（）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.
（Ⅰ）①当时，，
化简得，
解得，或，又，故.
②当时，，
化简得，
解得，又，故.
综上得，或，
故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最大值只能在内达到.
由，
令，解得（舍去）.
当变化时，与的变化情况如下表：
极大值
在时取得最大值（亿立方米）
故知一年内该水库的最大蓄水量是亿立方米.
【说明】本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数知识分析和解决实际问题的能力.
【试题34】（2011年安徽卷理科第20题）
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，p2，p3,互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3，其中q1,q2,q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；
（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小.
【答案】
（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于
.
（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为
X 1 2 3 P 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是
.
（Ⅲ）（方法一）：由（Ⅱ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明：对于的任意排列，都有
(※)
事实上,
即(※)成立.
（方法二）：①可将（Ⅱ）中所求的EX改写为，若交换前两人的派出顺序，则变为.
由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.
②也可将（Ⅱ）中所求的EX改写为若交换后两人的派出顺序,则变为.
由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.
综合①②可知，当时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
【说明】本题考查相互独立事件的概率计算，离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识.本题属于难题.
【试题36】（2006年湖北卷理科第20题）
设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.
（）求椭圆的方程；
（）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.
（）解：依题意得解得从而，
故椭圆方程为
（）由（）得.设
点在椭圆上，①
又点异于顶点、，
由、、三点共线可得.
从而
②
将①式代入②式化简得
，.
于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内.
本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
【试题37】（2007年湖北卷理科第19题）
在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点.
（Ⅰ）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
.
【答案】（Ⅰ）依题意，点的坐标为
方法1：
，
又由点到直线的距离公式得，
从而，
方法2：利用面积和的方式
，
方法3：利用向量形式的三角形面积公式
∵，
∴
而
，
由此可见，当时，
（Ⅱ）假设满足条件的直线：存在，的中点为，与以为直径的圆相交于点、，的中点为，则，点的坐标为.
∵，
，
∴
，
∴
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为
，即抛物线的通径所在的直线.
【】本题考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查代数化研究解析几何问题的思想和方法，以及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
【试题38】（2007年理科第21题
已知为正整数.
（）用数学归纳法证明：当时，；
（）对于，已知，求证；
（）求出满足等式的所有正整数.
【】
（）证：用数学归纳法证明：
（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，
因为，所以左边右边，原不等式成立；
（）假设当时，不等式成立，即，则当时，
，于是在不等式两边同乘以得
，
所以即当时，不等式也成立.
综合（）、（）知，对一切正整数，不等式都成立.
（）证：当，时，由（）得，
于是，
（）解：由（）知，当时，
，
，
即.即当时，不存在满足该等式的正整数.
故只需要讨论的情形：
当时，，等式不成立；
当时，，等式成立；
当时，，等式成立；
当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；
当时，同的情形可分析出，等式不成立.
综上，所求的只有.
【说明】本题考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识，考查观察、猜测等数学方法的运用以及方程思想.
【试题39】（2006年理科第21题
设是函数（）的一个极值点.
（）求与的关系（用表示），并求的单调区间；
（）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
【】
（）
由得.
所以，
令得
由于是的极值点，故，即
当时，故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数；
当时，故在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数.
（）解法1：（顺向思考方法）当时，故在上为增函数，在上为减函数，
因此在上的值域为
而在上为增函数，所以值域为
注意到－，故由假设知
解得故的取值范围是
（）解法2：（逆向思考方法）“存在使得成立”的否定是“对任意的，都有成立”，同解法1的推理可得到
从而应有在的前提下，可解得，
故取补集可得问题（）所求的取值范围为
【】本题将函数与不等式有机整合，主要考查函数的单调性和值域的概念，围绕着这个概念，重点考查函数的单调区间和最值的求法.考点涉及到复合函数的求导、函数性质、不等式解法、集合关系等
【试题39】（2011年湖北卷理科第21题）
（）已知函数，求函数最大值；
（）设均为正数，证明：
（1）若，；
（2）若，.
【答案】
（Ⅰ）解：的定义域为.令，解得.当时，，所以在内是增函数；
当时，，所以在内是减函数；
故函数在处取得最大值.
（）（1）由（）知，当时，有，即.
，，从而有，得.
求和得.
，，即.
（2）先证.
令，则，
于是由（1）得，即，
.
再证.
记，令，则
于是由（1），
即，.
综合，（2）得证.
（1）由（）知，当时，有，即.
因为，所以.
又由，得.
于是由，可得
，即.
（2）先证.
由（）知，当时，有，即.
所以当时，有，即.
从而由，有.
因为，且，所以
，
即，故.
再证.
记，则同前可得，
于是
，即，故.
综合，（2）得证.
本题
二、选考内容题型示例
【试题1】（2011年广东卷理科第14题）
（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.
【答案】
【试题2】（2011年陕西卷理科第15题）
（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（为参数）和曲线上，则的最小值为.
【答案】3
【试题3】（2011年陕西卷理科第15题）
（几何证明选做题）如图，，
且，则.
【试题4】（2011年广东卷理科第15题）
（几何证明选讲）如图，过圆外一点P分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则.
【答案】
科题型示例
一、选择题
【试题1】（2011年湖北卷文科第1题）
已知，，，则
A． B． C．D．
【说明】本题考查考生是否能理解集合、并集、全集、补集的定义．
【试题2】（2008年湖北卷文科第2题）
的展开式中常数项是
A.B.C.D.
【说明】本题考查二项式定理和二项展开式的性质
【试题3】（2011年山东卷文科第5题）
已知a,b,c,命题a+b+c=3，则a+b+c≥3的否命题是
Aa+b+c3，则a+b+c?3B．若a+b+c=3，则a+b+c?3
C．若a+b+c3，则a+b+c≥3Da+b+c?≥3，则a+b+c=3
【说明】本题考查对“若p，则q”形式的命题的否命题.本题属于容易题.
【试题4】（2011年湖北卷文科第2题）
若向量，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
【说明】本题考查向量的加法、实数与向量的积数量积向量的有关概念.
【试题5】（2009年湖北卷文科第4题）
从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A．120种B．96种C．60种D．48种
【说明】本题考查在一定限制条件下的排列组合问题
【试题6】（2006年湖北卷文科第6题）
关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①若∥，∥且∥，则∥；②若，且，则；
③若，∥且∥，则；④若∥，且，则∥
其中真命题的序号是
A.①、②B.③、④C.①、④D.②、③
【答案】D
【说明】本题考查空间线面关系、线线关系以及面面关系.
【试题7】（2009年湖北卷文科第5题）
已知双曲线的准线经过椭圆的焦点，则
A．B．C．D．
【说明】本题主要考查双曲线、椭圆相关参数的概念、性质和有关的计算
【试题8】（2006年湖北卷文科第5题）
甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【说明】本题考查互斥事件与对立事件两者的定义，区别和联系同时考查逻辑的知识.
【试题9】（2011年福建卷文科第5题）
阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A.3B.11
C.38D.123
【答案】B
【说明】本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.本题属于中等题.
【试题10】（2005年湖北卷文科第4题）
054．函数的图象是
A.B.C.D.
【答案】D
【说明】本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想.本题属于中等题.
【试题11】（2011年江西卷文科第7题）
为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十
分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则
A.B.C.D.
【答案】D
【说明】本题结合图考查众数、中位数、平均数的定义.本题属于中等题.
【试题12】（2008年湖北卷文科第5题）
在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的
ABCD
【答案】C
【说明】本题考查考生用含绝对值的二元一次不等式表示平面区域.
【试题13】（2011年全国卷文科第11题）
设函数，则
A.在单调递增，其图像关于直线对称
B.在单调递增，其图像关于直线对称
C.在单调递减，其图像关于直线对称
D.在单调递减，其图像关于直线对称
【答案】D
【说明】本题考查三角函数的图象及其性质.本题属于中等题.
【试题14】2009年湖北卷文科第9题
设，记不超过x的最大整数为，令，则，，
A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列
【说明】本题考查新定义等差数列、等比数列的概念与性质
【试题15】（2011年全国卷文科第10题）
在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A.B.C.D.
【答案】C
【说明】本题考查函数零点的判断.本题属于中等题.
【试题16】（2011年全国卷文科第12题）
已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有
A． B．
C． D．
【答案】A
【说明】本题考查对周期函数的理解，含绝对值的对数函数图象的做法和数形结合的思想.本题属于难题.
二、填空题：把答案填在题中横线上.
【试题17】（2008年湖北卷文科第11题）
一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是.
【答案】10
【说明】本题考查分层抽样方法
【试题18】（2011年上海卷文科第7题）
若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为．
【答案】
【说明】本题考查简单空间图形的三视图及其侧面积的计算公式.本题属于容易题.
【试题19】（2010年浙江卷文科第17题）
在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是、
甲 乙 8 2 9 9 1 3 4 5 2 5 4 8 2 6 7 8 5 5 3 5 6 6 7
【答案】45、46
【说明】本题考查茎叶图.本题属于容易题.
【试题20】（2010年湖北卷文科第12题）
已知，式中变量满足约束条件则的最大值为．
【答案】5
【说明】本题考查二元一次不等式表示平面区域，以及线性规划．
【试题21】（2007年湖北卷文科第12题）
过双曲线左焦点的
【说明】本题考查双曲线的定义及其标准方程.本题属于中等题.
【试题22】（2007年湖北卷文科第13题）
已知函数的图象点的切线方程是，则.
【说明】本题考查了函数与导数的几何意义，考查了数形结合的思想.本题属于中等题.
【试题23】（2011年湖北卷文科第15题）
里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍．
【说明】本题考查对数的恒等变换以及与指数的关系，同时考查运用对数与指数知识解决实际问题的能力．
【试题24】（2006年湖北卷文科第15题）
半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量，
①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.
对于半径为的球，若将看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
②
②式可用语言叙述为：.
【答案】；球的体积函数的导数等于球的表面积函数.
本题考查球的体积、表面积公式知识，同时考查考生的、类比思维意识
三、解答题
已知等比数列中，，公比.
（）的前n项和，证明：；
（），求数列的通项公式.
【答案】
（），，
所以.
（）
所以的通项公式为.
【说明】本题考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和公式.本题属于容易题.
【试题26】（2011年湖北卷文科第17题）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的．
（）求数列的通项公式；
（）数列的前项和为，求证：数列是等比数列．
（）设成等差数列的三个正数分别为．
依题意，得，解得
所以数列中的依次为．
依题意，有，解得或（舍去）．
故的第3项为5，公比为2．
由，即，解得．
所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为
．
（）数列的前项和即．
所以，．
因此是以为首项，公比为2的等比数列.
等差数列等比数列前项的和．
【试题27】（2011年湖北卷文科第16题）
设△的内角、、所对的边分别为、、.已知，，．
（）求△的周长；
（）求的值．
（），
∴.
∴△的周长.
（），∴.
∴.
∵，∴，故为锐角，
∴.
∴.
【说明】本题考查三角函数的基本知识，包括余弦定理、正弦定理、和角差角公式的综合应用．本题属于中等题.
【试题28】（2008年湖北卷文科第16题）
已知函数.
（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
【】
，故的周期为.
（Ⅱ）由，得.
因为在上是减函数，
在上是增函数.故当时，有最小值；
而，，所以当时，有最大值.
【说明】本题考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.本题属于中等题.
【试题29】（2006年江苏卷文科第18题）
请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：）
故底面正六边形的面积为：=，（单位：）
帐篷的体积为：
（单位：）
求导得.
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
∴当时，最大.
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为.
【说明】本题考查简单空间图形的体积计算，以及利用导数求函数的最值.本题属于中等题.
【试题30】（2009年广东卷文科第17题）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示.墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.
（Ⅰ）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（Ⅱ）求该安全标识墩的体积；
（Ⅲ）证明：直线平面.
图4图5图6
【答案】
（Ⅰ）侧视图同正视图
（Ⅱ）该安全标识墩的体积为：
连结EGHF及BD，EG与HF相交于O
由正四棱锥的性质可知平面EFGH
又平面PEG
又平面PEG
【】
【说明】本题考查简单空间图形的三视图和体积的计算，以及空间直线和平面的位置关系.本题属于中等题.
【试题31】（2011年北京卷文科第17题）
如图，在四面体PABC中，PCAB，PABC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（）求证：DE平面BCP；
（）求证：四边形DEFG为矩形；
（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的
距离相等？说明理由.
（）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC.
又因为DE平面BCP，
所以DE//平面BCP.
（）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PCAB，
所以DEDG，
所以四边形DEFG为矩形
（）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，G，设Q为EG的中点
由（）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，
MG，MN
与（）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且QM=QN=EG，
所以Q为满足条件的点.
【试题32】（2010年湖北卷文科第19题）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为（单位：m2）,其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10％建设新住房,同时也拆除面积为（单位：m2）的旧住房.
（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；
（）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积是多少？（计算时可取）
【】
（）第年末的住房面积：；
第年末的住房面积：．
（）第年末的住房面积：
第年末的住房面积：，
第年末的住房面积：
，
依题意可知，，解得，每年应拆除的旧住房面积为．
【】本题考查运用所学数列等相关知识分析和解决实际问题的能力．
【试题33】（2011年天津卷文科第15题）
编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；
区间 人数 （Ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，
①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2人得分之和大于50的概率．
【答案】
（Ⅰ）4，6，6
（Ⅱ）①得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：
，
，共15种.
②“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）的所有可能结果有：，共5种.
所以
【说明】本题考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型以及概率计算公式等基础知识.本题属于中等题.
【试题34】（2006年湖北卷文科第21题）
设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.
（）求椭圆的方程；
（）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.
【】解：（）依题意得解得从而，
故椭圆方程为
（）由（）得.设
点在椭圆上，①
又点异于顶点、，
由、、三点共线可得.
从而
②
将①式代入②式化简得
，.于是为锐角，从而为钝角，
故点在以为直径的圆内.
【】本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.本题属于难题
【试题35】（2010年湖北卷文科第21题）
设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．
（）确定的值；
（）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；
（）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．
（）由得：，，．
又由曲线在点处的切线方程为，得．故．
（），．
由于点处的切线方程为，而点在切线上，
所以，化简得，即满足的方程为．
下面用反证法证明．
假设，由于曲线在点及处的切线都过点，则下列等式成立：
由（3）得．由得
又，
故由（4）得，此时，与矛盾．所以．
由（）知，过点可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根．
设，则．由于，故有
0 + 0 － 0 + ↗ 极大值1 ↘ 极小值 ↗
由的单调性知：要使有三个相异的实根，当且仅当，即．
的取值范围是．
本题以三次多项式作为载体，考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，本题较好地考查了综合运用数学知识进行推理论证的能力.本题属于难题.
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Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
k=2
k=k+1
开始
结束
输出k
是
否
y
3
O1x
x
B
A
C
O
N
C
E
B
D
A
O
·
A
P
B
C
3
3
2
O1
O
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