第二章水动力学基础
一、拉格朗日法.
运动要素(水力要素)指表示液体运动的各种物理量。运动要素不仅是空间坐标的函数，还是时间的函数，即
拉格朗日（Lagrange）法就是把液体运动看作是无数质点运动的总和，以研究个别液体质点的运动为基础，通过研究足够多的液体质点的运动来掌握整个液流的运动情况。所以，这种方法又称为质点系法。
取某一瞬时质点的位置坐标来代表该质点，则质点的运动坐标既与质点的初始坐标有关，又与时间有关，即认为运动坐标是初始坐标与时间的函数，可以表示为：
拉格朗日法在概念上并无新鲜之处，和以往所习惯使用的方法一样，因此，易于掌握。但由于液体的运动轨迹非常复杂，要寻求为数众多的单个质点的运动规律，除了较简单的情况外，将会在数学上导致难以克服的困难。况且从实用的观点来看，实际工程中并无必要了解液体质点运动的详尽过程，因此，这种方法在水力学上很少采用，仅在个别情况下，例如研究波浪运动和射流轨迹等问题时，才考虑应用该方法。在水力学中普遍采用的是欧拉法。
二、欧拉法
欧拉法就是把液体的运动看作是各个空间点上不同液体质点运动情况的总和。也就是说，在液体运动的空间里取许多空间点，研究某一瞬时经过这些空间点的不同质点的运动情况（如流速、压强的变化等），所有这些质点的运动情况的总和就使我们掌握了这一瞬时整个液流的运动情况；如果研究很多瞬时，就能了解某一时段液流的运动情况。显然，这种研究方法并不注意液体质点的运动历程，即这些质点在来到该空间点以前和经过该空间点以后是如何运动的，而集中注意当质点流经该空间点时的运动情况。
根据欧拉法的思想，在不同时刻有不同的液体质点经过同一空间点,它们的运动速度一般来讲是不同的，即对固定空间点而言，速度随时间t而变；在同一时刻t，处于不同空间点上的液体质点其速度一般来讲也是不同的，即对固定瞬时而言，速度是随着空间位置坐标而变的。综上所述，速度应该是空间位置坐标和时间的函数，即，这是一个矢性函数，在应用上常写成投影式，其中的坐标变量称为欧拉变数。
由复合函数求导数的方法，可得到流速
液体质点的加速度由二部分组成，，称为.二是同一时刻由于空间位置的不同而引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度。
最后必须说明，两种描述流动的方法只是看问题的角度不同，着眼点不同，并没有本质上或原则上的区别，拉格朗日表达法和欧拉表达法是可以相互转化的。究其原因，从物理概念上讲，流场是运动的液体质点占据整个流动区域构成的，因而流场空间点上反映出来的运动要素值及其随时间的变化当然是质点运动的结果。换言之，流场中的流动情况自然也可反映或转化成质点的运动情况。这些就是上述两种方法可以转化的依据。不过，欧拉法的着眼点是流场，便于直接运用场论分析液流问题；而且对加速度来讲，在欧拉法中是速度场的一阶偏导数，但在拉格朗日法中是位移的二阶偏导数。因此，数学处理上欧拉法也较为方便，故今后除特别说明外，都采用欧拉法的观点研究问题。
液体运动的基本概念
一、恒定流与非恒定流
?恒定流与非恒定流是根据运动要素是否随时间变化来划分的。
?恒定流是指流场中任一点处所有的运动要素不随时间而变化的流动，也称为稳定流、定常流。即
。
?非恒定流是指流场中任一点处有任何一个运动要素随时间而变化的流动，也称为非稳定流、非定常流。在非恒定流条件下，其运动要素表达式为，，。
二、迹线与流线
迹线--------液体质点在运动的过程中不同时刻所占据的空间位置的连线，。
--------某一瞬时在流场中绘出的一条空间曲线，
????流线的性质：①流线上任一点的切线方向代表该点的流速矢量方向。同一瞬时的流线不能相交，也不能转折，只能是一条光滑的曲线。恒定流时流线的形状不随时间改变，非恒定流时的流线随时间改变，即非恒定流的流线具有瞬时性，不同瞬时流线各不相同。恒定流时流线与迹线相重合。流线分布的疏密程度反映流速的大小，密则大，疏则小。流线的形状总是尽可能接近边界的形状。
????从上述流线的性质可以理解到，流线是空间流速分布情况的形象化，它类似于电力线和磁力线。如果获得了某一瞬时许多流线，就了解了该瞬时整个液流的运动图景。
在水流中任意取一微分面积，通过该面积周界上的每一点均可作出一条流线，这无数条流线组成的封闭的管状曲面就称为流管。
根据流线的性质，不难得到流管的性质：①恒定流时流管的形状不随时间改变，非恒定流时流管的形状随时间而变。②由于流管的侧壁是由流线构成的，由流线不能相交的性质可得出液体只能在流管以内或以外运动，不能穿越流管侧壁由里向外或有外向里流动。
四、元流(微小流束)
充满以流管为边界的一束液流就称为微小流束或元流。流管的性质也就是微小流束的性质，但还需要补充一点，由于微小流束的横断面面积是微分量，故在一般的水力学分析中均认为该断面上的水力要素是均匀分布的，即以某一点的流速和压强代表该面上的平均流速和平均压强。
有一定大小尺寸的实际水流都称为总流。总流可以看作是由无数多个元流所组成。一切实际水流均可视为总流。
与微小流束或总流流线呈正交的横断面称为过水断面，其面积以dA或A表示，单位为m2。过水断面可能是平面，也可能是曲面，其形状主要与流线分布情况有关。
单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流量，以Q表示，单位为m3/s。
微小流束流量：。
总流流量
显然，要利用该式计算流量，必须知道过水断面上的流速分布u的表达式，但由于流速分布u的表达式一般不易得到，故工程实际中常直接或间接来量测流量。对河渠或管道而言，流量的大小是它们输运液体能力大小的体现。
断面平均流速是假想的在过水断面上均匀分布的流速，以它通过的流量和真实流速分布通过的流量相等。断面平均流速常用v表示，单位为m/s。
由断面平均流速的定义可知：。
根据水力要素与空间自变量的关系,水流分为一元流、二元流、三元流。
流场中任一点的液体运动要素仅与一个空间自变量（流程坐标）有关，这种水流称为一元流，其一般的数学表达式为。这里流程坐标s既可以是直线，也可以是曲线，实际水流常有一主要的运动方向。
流场中任一点的液体运动要素与二个空间自变量有关，这种水流称为二元流，或称平面运动。其一般的数学表达式为。实际工程中，当水流某一方向的几何尺度远远大于其余两个方向的尺度时，就可作为平面运动处理。
流场中任一点的液体运动要素与三个空间自变量有关，这种水流称为三元流，或称空间运动。其一般的数学表达式为。
1、
当水流的流线为相互平行的直线时，该水流称为均匀流。管径不变的直线管道中的水流就是均匀流的典型例子。
??均匀流的特点:流线为相互平行的直线。流速沿程不变，即均匀流为等速直线运动。过水断面为平面，且形状尺寸沿程不变。任一过水断面上的流速分布均相同，断面平均流速均相等。均匀流同一过水断面上的动水压强按静水压强规律分布，即均匀流同一过水断面上各点的测压管水头维持同一常数。
2>非均流
若水流流线不是相互平行的直线，该水流称为非均匀流。按流线不平行和弯曲的程度，又将非均匀流分为渐变流和急变流两种类型。
当水流的流线近乎于平行的直线时，这样的水流称为渐变流。流线近乎于平行的直线从数学上讲，是指流线之间夹角很小或流线的曲率半径很大。至于流线的夹角小到什么程度或流线的曲率半径大到什么程度，一般并无定量的标准，要看对于一个具体问题所要求的精度。由于渐变流的流线近乎于平行的直线，因此，可以近似地认为：过水断面为平面，其上动水压强也按静水压强规律分布。
??2>急变流
若水流的流线之间夹角很大或曲率半径很小，这种水流称为急变流。急变流条件下，动水压强不按静水压强规律分布。至于急变流的动水压强分布规律往往要通过实验加以确定。但根据流线弯曲的方向，可以初步判定动水压强与静水压强之间的大小关系。
水流运动和其它物质运动一样,在运动过程中遵循质量守恒定律。。
式中，A1,v1,A2,v2分别为1—1断面和2—2断面的过水断面面积和断面平均流速。
方程的意义：（1）不可压缩实际液体一元恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。（2）不可压缩实际液体一元恒定总流中，任意两个过水断面的断面平均流速与过水断面面积成反比。
连续方程是水力学的三大方程之一，是一个运动学方程，也是解决水力学问题的重要公式之一，它总结和反映了过水断面面积与断面平均流速沿流程的变化规律。
当沿程有流量的分出和汇入时，连续方程可推广应用。根据质量守恒原理，流入的流量必然等于流出的流量，即。
?一元恒定总流的能量方程
式中，z表示过水断面上单位重量的液体具有的平均位能，称为平均位置水头；表示过水断面上单位重量的液体具有的平均压能，称为平均压强水头；表示过水断面上单位重量的液体的具有的平均动能，称为平均流速水头；表示过水断面上单位重量的液体从1—1断面流到2—2断面过程中的平均能量损失，称为平均水头损失。表示过水断面上单位重量的液体具有的平均势能，称为测压管水头；表示过水断面上单位重量的液体具有的总机械能，称为总水头。
能量方程的应用条件及注意事项：
应用能量方程时应满足下列条件：(1)水流必须是恒定流。(2)作用于液体上的质量力只有重力。(3)在所选取的两个过水断面上，水流符合渐变流条件，而两断面间可以有急变流。(4)流量保持不变，即无液体流出或流入。(5)液体是均质的，不可压缩的。(6)液体运动的固体边界静止不动。在有流量分出和汇入的情况下，能量方程可以推广应用。
能量方程有7项，一个方程只能求解一个未知量，考虑连续方程可减少一个未知量，那还有5项必须是已知的。在实际问题中，能提供5项已知量的情况是不多的，因此，在应用能量方程时应设法减少未知量数目，这就使能量方程应用中的“三选”显得更为重要，也更有技巧。所谓“三选”是指基准面选择、渐变流过水断面选择、液流质点选择，具体分述如下：
?(1)基准面选择：基准面可以任意选，但一定要是水平面，并且1-1与2-2断面必须用同一基准面。一般将基准面选在某一过水断面液流质点所在的水平面上，这样z=0，相当于减少了一个未知量。
(2)渐变流过水断面选择：选择的过水断面必须符合渐变流条件。可以选任意的渐变流断面列方程，但渐变流断面的序号却不是任意编的，约定：上游断面为1-1，下游断面为2-2，即从上游向下游断面序号递增。一般水箱或水池的液面、收缩断面c-c、自由出流压力管道的出口断面等都是较理想的渐变流断面。
(3)液流质点选择：过水断面上充满了液流质点，每个液流质点的单位势能和单位动能都相等。因此，过水断面上的值可以任选一方便的液流质点来计算。通常选管轴线上或液面上的液体质点建立能量方程。值得注意的是，渐变流断面上中的两个动水压强值必须采用同一个压强量度基准。在计算中，压力表或真空表的读数都是相对压强，而且其读数值常作为管轴线上或液面上的压强值。
具体解题时，“三选”应结合起来进行，并注明在图上，以便验算。除此而外，能量方程应用时还要注意以下两点：
(4)动能修正系数α1、α2，严格说并不相同，但可近似取1.0（特殊情况例外，如水跃的跃后断面）。
(5)水头损失不得遗漏，并且能量方程常与连续方程配合应用。
二、水头线图
能量方程反映液流机械能守恒与转化规律，能量方程中的每一项都具有长度量纲，因此，就可以用纵坐标表示水头的大小，以横坐标表示流程，按一定的比例尺把位置水头、压强水头、流速水头分别绘于图上，这个图称为水头线图。
水头线图(总水头线和测压管水头线)形象地反映了液体运动过程中各项机械能沿程变化情况，具有直观、清晰、明了的优点，尤其在管道设计中，绘出水头线图更易于了解沿程各断面压强的变化，是否存在负压等问题。
借助水头线图可以判断水流流向；可以确定任一流段上水头损失的大小；可以了解任一断面上位置水头、压强水头、测压管水头、流速水头、总水头的大小及上述各项水头沿流程的变化情况。
或
????????
三、有能量输入或输出的能量方程
前面介绍的恒定总流能量方程是针对总流本身在断面1—1和断面2—2之间各项机械能的转化和损耗，而没有考虑到另外的能量输入或输出。当管路系统有水泵或水轮机等水力机械，而能量方程的1-1与2-2过水断面之间又正好包括了这些水力机械时，就必须采用有能量输入或输出的能量方程，其形式为：
式中：Hm为单位重量液体所获得或失去(输入或输出)的机械能，对水泵取“+”，
对水轮轮机取“-”,hw1-2为两断面间管路系统的水头损失，不包括水流流经水泵或水轮机的损失。
由于水流通过水泵时有漏损和水头损失，水泵自身还有机械磨损，所以，水泵所做的功必须大于水流实际获得的能量。常用水泵效率来反映损失的大小，其配套功率按下式计算。
式中，HP为水泵扬程，，z为地形扬程或几何扬程，等于出水池与进水池之间的水位差，为整个管路系统的全部水头损失。
对水轮机而言，水流通过水轮机时同样有漏损和水头损失，水轮机自身也有机械磨损，所以，水轮机的处处功率要小于水流给予水轮机的功率，其损失影响可用水轮机效率来表示，水轮机的实际出力可用下式计算。
式中，Ht为水轮机的作用水头，，z为静水头，等于进水池与尾水之间的水位差，为整个管路系统的全部水头损失。
?广泛应用于测量渠道、管道中水流点流速的仪器.利用能量转化(动能转化为势能)原理可得：
????或??
式中，为校正系数常取0.98~1.0。
二、文丘里流量计
用来测定管道中流量的仪器.由收缩段、收缩段、喉管、扩散段三部分组成。将文丘里流量计安装在欲测量流量的管道上，在管道和喉管上分别设置测压管或差压计，以测得这两个断面上的测压管水头差值，然后，运用能量方程即可计算出通过管道的流量。
管道断面为圆形，设进口直径为d1，喉管断面直径为d2，通过管道的流量：
其中，，显然，系数K只是管径d1和d2的函数，当已知管径d1和d2时，K为定值，可以预先算出。故只要测出两断面测压管水头的差值h，就可方便地算出流量Q。
?实际流量为，其中μ称为文丘里流量计的流量系数，μ值随流动情况和管道收缩的几何形状而不同，使用文丘里流量计时应事先加以率定。通常是通过试验直接测定Q～h关系，绘制曲线，以备查用。μ的一般值约为0.95～0.98。
如果文丘里流量计上直接安装水银差压计，由差压计原理不难推导出此时通过文丘里流量计的流量为，式中，h为水银差压计两支水银面的高差。
?三、孔口出流
工程实际中常利用孔口和管嘴控制流量或量测流量，因此，其水力计算的主要任务就是确定其泄流量的大小。
在贮水容器的底部或侧壁开一小孔，液体经孔口流出的水力现象称为孔口出流。水利工程中小型水库的多级卧管放水孔、船闸闸室的充水或放水孔等都是孔口出流的例子。
薄壁锐缘小孔口恒定自由出流的泄流量公式:
式中，?，称为流速系数；，称为孔口的收缩系数，它与孔口的形状、大小、位置以及水头等因素有关，可由实验测定；，称为孔口出流的流量系数，其值可由实验测定。
根据实验，薄壁锐缘小孔口完善收缩的局部水头损失系数ζ＝0.05～0.06,动能修正系数α＝1,则流速系数φ＝0.97～0.98,收缩系数ε＝0.63～0.64,流量系数μ＝0.60～0.62。其它形状孔口的有关系数可查阅水力计算手册。
当孔口为淹没出流时，作用于孔口任一点的上下游水位差都相等，因此，对淹没出流就无大孔口和小孔口之分，公式的推导仍然用能量方程，得到的计算公式与上式相同，即，式中，z为上下游水位差；μ为流量系数，实验证实，自由出流与淹没出流的流量系数几乎相等，实际计算时就取自由出流的流量系数值进行计算。
??四、管嘴出流
在孔口是接一段长为（3～4）d的短管,液体经短管流出的水流现象称为管嘴出流。拱坝上的泄水孔、渠壁上的放水孔都属于管嘴出流。液体经管嘴流出时，一般情况下是首先发生液流的收缩，然后扩大到充满全管,收缩断面将有负压出现。
式中，流速系数φ、收缩系数ε及流量系数μ与孔口出流的数值相同。由此可见，在孔口和管嘴面积相同、作用水头相等的情况下，管嘴的泄流量要比孔口大，其原因是管嘴的有效水头多了一项，这一项正好是收缩断面的真空度值，实验表明，收缩断面的真空度。
这样一来，上式可改写为，式中，μn称为管嘴的流量系数，其值为0.82。它与孔口出流具有相同表达式，只是将管嘴因负压增大泄流量的部分反映在流量系数当中。
在孔口上接管嘴之后，虽然增大了水头损失，但因负压存在而增加的作用水头大大超过了加管嘴之后水头损失的增加值，最终表现为管嘴的泄流量仍然比孔口的泄流量大。为了利用管嘴的负压增大泄流能力，就必须维持管嘴中真空区的存在。真空度是具有一定限度的，如果管嘴中真空度过大，外面的空气就会经过管嘴的出口断面被吸入真空区，从而造成真空的破坏。一般管嘴中允许真空度不宜大于7米水柱,故由可知，圆柱形外伸管嘴的作用水头不宜大于9米。此外，为形成管嘴出流，管嘴长度宜为（3～4）d,不能太短，也不能太长。管嘴长度太短，流出的水股尚未扩散到充满全管就已流到出口，因而管嘴中不能形成并维持真空区。管嘴太长，其水头损失将会随管嘴长度的增加而增大，这是的流动应按管道恒定流处理。因此，保证圆柱形外伸管嘴正常工作的条件是：①，②。
第六节恒定流总流的动量方程
一元恒定总流动量方程的一般形式可表示为：
动量方程是矢量方程，在应用时必须写为投影式：
显然，上述投影式中忽略了动量修正系数在x、y、z三个方向上的差别。此外，上述推证过程中，流量沿程不变，上游输入动量，下游输出动量。但实际工程中有的问题不至于此，常见的有分岔管，对此，可将动量方程推广应用，仍然以输出的动量减去输入的动量来表示单位时间内动量的变化量，该变化量仍应等于作用在该脱离体上所有外力的代数和。
应用动量方程时要注意以下几点：
(1)动量方程式是矢量式，须设投影轴，列投影方程求解。只有选定了投影轴的正方向，才能确定各外力及流速投影正负号。
(2)控制体可任选，但一般取整个总流的边界为控制体边界。横向边界一般取过水断面，而且要求为渐变流断面。
(3)动量变化一定是输出动量减去输入动量，不可颠倒。
(4)当力为未知量时，可先假定力的方向。实际方向可从力的计算结果的正负号判断。正号与假设方向相同，负号与假设方向相反。
动量方程的应用步骤大致如下
①取脱离体。脱离体由下列诸控制面围成：液流两端的过水断面，与流动方向相垂直；固体(或气体)边界与液流的接触面，与流动方向相切。脱离体是任意取的，一般应使脱离体内包括尽可能多的已知条件和待求的量。
②分析脱离体上所受诸外力，即以外力代替控制面对脱离体内液流的作用。外力包括质量力，只计脱离体内液流的重力G，不包括惯性力。如计及惯性力，则∑F=0。表面力，有脱离体两端过水断面上的动水总压力P1(顺流向)和P2(逆流向)；脱离体侧表面上所受固体(或气体)对它的反作用力R(表现为压力)；脱离体侧表面上的水流阻力T；若脱离体内有被液流所环绕的不动的固体，其对液流的作用力N，也是一种表面力。
③选坐标平面xoy。坐标平面xoy的方位可以任意选，通过选坐标平面使动量方程中的未知项尽量减少。
④列动量方程式。动量和外力是矢量，它们被投影到坐标轴上时，应注意其正、负号。动量的方向由流速方向确定。待求量按先行假定的方向计算，若计算结果待求量是正值，则表明假定是正确的；若计算结果是负值，则表明当初假定的方向是错误的，应该相反。
运用动量方程进行水力计算时，关于动水总压力P有两点需要注意：a)脱离体两端的过水断面应避免为急变流断面，因为急变流断面上的动水总压力难以求解。b)动量方程多用于计算液流对管、渠等固体边界的作用力。由于大气压强到处存在，真正起作用的是相对压强值，为了求得该作用力，动水总压力P1和P2应当以相对压强计算。
运用动量方程进行水力计算时，由于脱离体的流段较短，水流阻力较其他外力很微小，可忽略不计。因此，一般可认为：①脱离体内液流的能量损失hw=0；②水平射流与光滑壁面接触后，射流只改变方向不改变大小；③光滑壁面对水平射流的反作用力R与壁面相垂直，表现为压力。
一、流线及其微分方程
流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，曲线上所有质点的流速矢量均与该曲线相切。根据流线的定义，很容易建立流线的微分方程。
在流线上取一微分段，因其无限小，故可近似看作直线。由流速与流线相切关系可知流速与具有相同的方向余弦，即
联立上式可得流线的微分方程
?????????
式中，、、均是空间坐标、、及时间变量的函数。又因流线是某一指定时刻的一条曲线，故在流线微分方程中时间变量不能作为独立变量，只能是参变量。即要求某一时刻的流线时，只需将时间变量作为常数代入流线微分方程，然后积分处理。实际上，上式就是空间直线的标准方程，不过这里是一段无限小的直线罢了。
对平面流动，流线微分方程将简化为
?????????
二、迹线及其微分方程
某一液体质点在不同时刻所流经的路线称为迹线。设在微分时段内，液体质点运动的位移为，相应的流速为，相应的投影式为
联立上式可得迹线的微分方程
????????????????（12—3）
式中，是自变量，空间坐标、、都是时间变量的函数。在恒定流时，各运动要素与时间无关，流速只是位置坐标的函数，此时迹线与流线相重合，相应的微分方程表达式也是一样的。
液体微团的运动形式
一、液体微团的运动形式
在理论力学中，刚体有两种基本运动形式，即平移和绕某瞬时固定轴的转动。而液体能够流动，发生变形，因此液体微团具有四种基本运动形式，即：
（1）平移运动：平移的速度为ux,uy,uz
（2）线变形运动：线变形速度为
（3）角变形运动：角变形速度为
（4）旋转运动：旋转角速度为
式中：εi─边线变形速度，θi─角变形速度，ωi─旋转角速度。
在液体上述四种基本运动形式中，我们最关心的是旋转运动，它对讨论液体的运动和运动的求解十分重要。
如果液体微团的旋转角速度ωx=ωy=ωz=0，则液体是无旋流动或有势流动；当ωx、ωy、ωz有一个不为0，则液体作有旋流动或有涡流动。
液体微团没有旋转运动即旋转角速度为零的运动称为无旋运动，又称无涡流、无涡运动；液体微团有旋转运动即旋转角速度不为零的运动称为有旋运动，又称有涡流、有涡运动。必须注意的是，这里所讲的液体微团有无旋转运动是指液体微团绕其自身的轴旋转，它与通常的旋转运动并不相同。习惯上，将液体微团绕其自身轴的旋转运动称为涡。液体运动是否为有旋运动，不能单纯地从液体质点的运动轨迹来看，而应该看液体质点本身是否作旋转运动。液体质点作圆周运动，质点本身可以无旋转；反过来看，液体质点作直线运动，质点本身也可以有旋转。所以，必须弄清楚圆周运动与有旋运决不是一回事。
对于无旋运动而言，由可得
?????????????????????
上式是无涡流必须满足的条件。从高等数学可知，上式恰好是使为某一函数全微分的必要和充分条件，因此，对无涡流必然存在着下列关系。
???????????
这个函数称为流速势函数，即无涡流的流速矢量是有势的，故无涡流又称有势流动，简称势流。在有势流动中，存在着势函数构成了标量场，如果为非恒定流动，这个标量场应为，其中，为代表时间的参数。
需要说明的是，流速势函数虽然采用了“势”这一物理名称，但却没有明确的物理意义，只是为了研究问题方便而引入的概念。因为对无涡流，引入流速势函数之后，流速分量、、可以通过流速势函数求得。因此无旋运动问题可归结为求流速势函数的问题，使未知量由三个减少为一个，从而使流动分析过程大大简化。实际工程中的孔口出流、渗流、高坝溢流等问题都可按势流求解，其正确性已为实验所证实。
只要中有一个不等于零，流动就是有旋运动，不存在流速势函数，这是有涡流与无涡流之间的根本区别。有涡流的基本特征是：流场中有旋转角速度存在，与流速一样，旋转角速度也是矢量，故可用描述流速矢量相类似的方法来描述旋转角速度。各点旋转角速度的方向可涡线来表示。涡线是某一瞬时有涡流场的一条曲线，曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度矢量与涡线相切。据此可写出涡线的微分方程如下：
????????????????????
涡线的绘制方法与流线相同，涡线本身也不会相交，在恒定流时涡线的形状也保持不变。与流管的概念类似，在有涡流场中任取一微分面积，通过该面积周界上的每一点作出一条涡线，无数条涡线组成的管状曲面称为涡管，涡管内的液流称为元涡或微小涡束或涡带。
类似于流量，微小涡束的断面面积与2倍旋转角速度的乘积称为涡通量或称为旋涡强度。
式中，，称为旋度，也称涡量。可以用矢量表示为
和有涡流有关的另一重要概念是速度环量。在流场中任取一封闭周线，流速矢量沿该曲线的积分称为沿曲线的速度环量，以表示。
规定积分的绕行方向逆时针为正，顺时针为负。
速度环量与涡通量之间的关系为
式中，为以封闭周线为周界的曲面。上式表明：沿封闭周线的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任一曲面的涡通量。这个关系式称为斯托克斯定律。根据这个关系，可以通过分析速度环量来研究旋涡运动。如果封闭曲线包围的是有势流动区，引旋转角速度为零，故沿该曲线的速度环量也一定为零。
自然界和工程实际中出现的绝大多数流动属于有涡流，如大气中龙卷风、管道渠道中的流体运动、绕流物体表面的边界层及其尾部的流动都是有旋运动。
第十节恒定平面势流的流函数和流速势函数
一、流函数及其性质
平面流动中的流线方程uxdy-uydx=0能够进行积分的条件是：它必须是某函数ψ(x,y)的全微分，我们把ψ称为流函数。
流函数ψ存在的充分必要条件是满足不可压缩液体的连续方程（推到略）：?
对于连续的平面运动，流函数ψ总是存在的。
流函数与流速之间的关系可以表示为：
流函数具有如下四个重要的性质：
在平面无旋运动中，流函数满足拉普拉斯方程，即
在数学上把满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，所以流函数ψ是调和函数。
等流函数线就是流线，即ψ=常数，它代表一条流线。
两条流线的流函数值之差等于两条流线之间通过的单宽流量。
4）流函数的增值方向是流速矢量方向逆时针旋转90°的方向。
二、流速势函数及其性质
(x,y,z)，流速势函数φ对各个坐标轴的偏导数等于流速向量在该坐标轴上的投影，即
也可以表示为dφ=uxdx+uydy
流速势函数具有下面四个性质：
某瞬时流速势函数φ对某方向的偏导数等于流速在该方向上的投影。
不可压缩液体的流速势函数也满足拉普拉斯方程，即φ也是调和函数。
当势函数φ=常数，它表示一条等势线。
4）流速势函数的增值方向与流速方向一致。
三、流函数与势函数之间的关系
流函数与流速间的关系为??，
势函数与流速间的关系为?，
由上两式可得到流函数与势函数间的关系为
，?
正是因为流函数与势函数之间的关系为共轭调和关系，已知一个就可以求出另外一个。因此，平面势流流速场的求解就转化为对流函数或势函数的求解，具体来讲就转化为对拉普拉斯方程的求解。求出流速场之后，应用伯诺利方程可求得压强场。
关于拉普拉斯方程的求解方法，在水力学和流体力学中常用的求解方法有：流网法、势流叠加法、复变函数法、数值解法。其中势流叠加法和复变函数法多用于解决简单边界时的势流问题，数值解法能适应复杂边界条件，具有速度快精度高的优点。工程实际中也常采用绘制流网的方法来简捷地掌握流场中的流动情况，并求出流速场和压强场的近似解。
一、流网的概念
恒定平面势流中存在一对共轭调和函数、。把势函数值相等的点连成一线即得等势线，不同值的等势线构成了一个等势线族。把流函数值相等的点连成一线即得流线，不同值的流线构成了流线族。由于等势线与流线的正交关系，这两组曲线就组成了一个网，这个网称为流网。简单地讲，流线族和等势线族组成的网称为流网。
由于流函数和势函数都满足拉普拉斯方程，即、都是拉普拉斯方程的解。对于一个既定的边界条件，解是唯一的。因此也就相应地确定着一个唯一形式的流网，即流网具有唯一性。
二、流网的性质
利用组成流网的流函数与流速势函数的性质，可以求解流场内任何一点的流速和压强。
三、利用流网求流速分布和压强分布
。对同一流管任意选取的两个过水断面而言，必然有。当已知流网时，量取、，由已知的流速可求出流速。逐个网格计算可得到整个流速场的流速分布情况，流线愈密，流速愈大。
当已知流速分布后，便可求出压强分布。因为平面势流研究理想液体，故无水头损失。任一点处，所以任一点处的压强可表示为
式中，可按同一基准面由网格量取，流速可由连续方程求出。逐网格计算可求出整个流动平面上的压强分布。必须注意，这样求得的流速和压强是网格内的平均值，只有当网格趋于无穷小时，才是一个点的值。同样的原因，网格不可能画得太密，只要满足工程需要即可。
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