中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
海洋工程波浪力学
中国海洋大学工程学院海洋工程系
王树青
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
目录
{第一章液体表面波基本方程
{第二章小振幅波（线性波）理论
{第三章有限振幅波（非线性波）理论
{第四章小尺度结构上的波浪力
{第五章大尺度结构上的波浪力
{第六章随机波浪和随机波浪力
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第二章小振幅波（线性波）理论
{2.1常深度小振幅简单波动
z2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
z2.1.2二维小振幅推进波的速度势
z2.1.3二维小振幅推进波的一些特性
{2.2常深度小振幅简单波动的迭加
z2.2.1驻波
z2.2.2波群
{2.3倾斜海底上波浪的传播
z2.3.1波浪的浅水效应
z2.3.2波浪的折射
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2.1常深度小振幅简单波动
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
特点：
1.水面呈现简谐形式的起伏；
2.水质点以固定的圆频率作简谐振动；
3.波形以一定的速度c向前传播
4.波浪中线与静水面重合
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
?假定
（1）无粘不可压均匀流体；
（2）有势运动；
（3）重力是唯一外力；
（4）自由表面压强为大气压；
（5）海底为水平的固体边界；
（6）振幅或波高对波长为无限小（流体质点运动速度较
小）——Airy波理论；
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
?边界条件的线性化
1.自由表面的运动边界条件
ηηη
?η?ηη?
===
?
?
?
?
+
?
?
?
?
+
?
?
=
?
?
zzz
yyxxtz
η=η=
?
??
?
η?
+
?
η?
=
?
??
zz
xxtz
小量
tz
z
?
η?
=
?
??
η=
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
?边界条件的线性化
2.自由表面的动力边界条件
0=η+
?
??
η=
g
t
z
小量
0)(
2
1
=η+?????+
?
??
η=η=
g
t
zz
η=
?
??
?=η
z
tg
1
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
?边界条件的线性化
运动边界条件动力边界条件
η=
?
??
?=η
z
tg
1
=
0
1
=
?
??
?
z
tg
tz
z
?
η?
=
?
??
η=0=
?
??
=
z
z
L+
?
??
?
?
η+
?
??
=
?
??
==η=00
)(
zzz
zzzz
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
L+
?
??
?
?
η+
?
??
=
?
??
==η=00
)(
zzz
tztt
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
?边界条件的线性化
运动边界条件动力边界条件
0=
?
??
=
?
η?
z
zt
0
1
=
?
??
?=η
z
tg
0)
1
(
0
2
2
=
?
?
+
?
?
=z
tgz
??
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.1二维小振幅推进波的基本方程
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
0
2
2
2
2
2
=
?
??
+
?
??
=??
zx
0=
?
??
=
?=?=dzdzz
z
u
0
1
=
?
??
?=η
z
tg
0)
1
(
0
2
2
=
?
?
+
?
?
=z
tgz
??
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一波面方程的假定
)cos(tkxaω?=η
其中a为振幅，a＝H/2;kx-ωt=θ为波浪的相位。
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
a
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
d
z
x
c
η=acos(kx-ωt)
Lxx±
η=η
])(cos[)cos(tLxkatkxaω?+=ω?
π=2kL
L
k
π
=
2
L
波数
一波面方程的假定
（1）当x增减一个波长L，波面η不变；
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
Ttt±
η=η
)](cos[)cos(Ttkxatkxa+ω?=ω?
π=ω2T
T
π
=ω
2
d
z
t
c
η=acos(kx-ωt)
T
圆频率
一波面方程的假定
（2）当t增减一个周期T，同一点的波面高度η不变；
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
一波面方程的假定
kT
L
c
ω
==
（3）波形的传播速度c—波速；
说明；
（a）ωt前面的采用负号（正号）代表波浪沿正（负）向传播；
（b）正、余弦形式不影响波形
d
z
t
c
η=acos(kx-ωt)
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二推进波的速度势
)sin()(tkxzAω?=?
0
2
2
2
2
2
=
?
??
+
?
??
=??
zx
0)()(
2
=?
′′
zAkzA
kzkz
eAeAzA
?
+=
21
)(
)sin()(
21
tkxeAeA
kzkz
ω?+=?
?
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二推进波的速度势
)sin()(
21
tkxeAeA
kzkz
ω?+=?
?
（1）海底边界条件
0=
?
??
=
?=?=dzdzz
z
u
kd
eAA
2
12
=
)sin()(ch2
1
tkxdzkeA
kd
ω?+=?
?
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二推进波的速度势
)sin()(ch2
1
tkxdzkeA
kd
ω?+=?
?
（2）自由表面运动边界条件
kd
gae
A
kd
ch2
1
ω
=
0
1
=
?
??
?=η
z
tg
)sin(
ch
)(ch
tkx
kd
dzkga
ω
ω
??
+
=
)sin(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgH
ω?
+
ω
=?
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.2二维小振幅推进波的速度势
二推进波的速度势
?特例：水深为无限的情况
)sin(
ch
)(ch
tkx
kd
dzkga
ω?
+
ω
=?
kz
e
)sin(tkxe
ga
kz
ω?
ω
=?
)sin(
2
tkxe
gH
kz
ω?
ω
=?
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
)sin(
ch
)(ch
tkx
kd
dzkga
ω?
+
ω
=?
0
2
2
)
1
(
=
?
??
+
?
??
z
tgz
kdgkth
2
=ω
弥散关系
一波速和波长（弥散关系）
kd
k
g
k
cth=
ω
=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
深水：d/L>0.5,thkd=1浅水：d/L<0.05,thkd=kd有限深度水深
一波速和波长（弥散关系）
gk=ω
2
kdgkth
2
=ω
kd
gT
cth
2π
=
π
=
2
0
gT
c
gdc=
kd
gT
Lth
2
2
π
=
π
=
2
2
0
gT
L
gdTL=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
一波速和波长（弥散关系）
说明：
1.弥散关系表达了波浪运动中角频率、波
数k、水深d之间存在一定的关系；
2.弥散现象：不同波长（或周期）的波
以不同的速度进行传播最后导致波的分
散现象；
3.同时表明：波浪的传播与水深有关，水
深变化，波长（波速）也随之变化；
kdgkth
2
=ω
kd
gT
cth
2π
=
kd
gT
Lth
2
2
π
=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
)sin(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgH
ω?
+
ω
=?
二水质点的运动速度和加速度
)cos(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgHk
x
u
x
ω?
+
ω
=
?
??
=
)sin(
ch
)(sh
2
tkx
kd
dzkgHk
z
u
z
ω?
+
ω
=
?
??
=
)cos(
sh
)(ch
tkx
kd
dzk
T
H
u
x
ω?
+π
=
)sin(
Sh
)(sh
tkx
kd
dzk
T
H
u
z
ω?
+π
=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
二水质点的运动速度和加速度
)sin(
2
tkxe
gH
kz
ω?
ω
=??特例：水深为无限的情况
)cos(
2
tkxe
H
u
kz
x
ω
ω
?=
0
z/d
－1
u
x
,u
z
)sin(
2
tkxe
H
u
kz
z
ω
ω
?=
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)cos(
sh
)(ch
tkx
kd
dzk
T
H
u
x
ω?
+π
=)sin(
sh
)(sh
tkx
kd
dzk
T
H
u
z
ω
π
?
+
=
)cos(tkxaω?=η
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
)sin(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgH
ω?
+
ω
=?
二水质点的运动速度和加速度
)sin(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgHk
t
u
a
x
x
ω?
+
=
?
?
=
)sin(
sh
)(ch2
2
2
tkx
kd
dzk
T
H
ω?
+π
=
)cos(
ch
)(sh
2
tkx
kd
dzkgHk
t
u
a
z
z
ω?
+
?=
?
?
=
)cos(
sh
)(sh2
2
2
tkx
kd
dzk
T
H
ω?
+π
?=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
x
z
SWL
),(
00
zx
ξ
η
),(ηξ
（3）在运动瞬间，位于x=x
0
+ξ，z=z
0
+η;
0
0
zz
xx
x
x
u
dt
d
=
=
?
??
==
ξ
0
0
zz
xx
z
z
u
dt
d
=
=
?
??
==
η
三水质点的运动轨迹
（1）某水质点静止时位于(x
0
z
0
)
（2）在波浪中以速度dξ/dt、dη/dt运动；
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
三水质点的运动轨迹
)sin(
sh
)(ch
2
0
0
tkx
kd
dzkH
ω?
+
?=ξ
)cos(
sh
)(sh
2
0
0
tkx
kd
dzkH
ω?
+
=η
)sin(
sh
)(ch
2
0
0
00
tkx
kd
dzkH
xxxω?
+
?=ξ+=
)cos(
sh
)(sh
2
0
0
00
tkx
kd
dzkH
zzzω?
+
+=η+=
)sin(
00
tkxxω?α?=
)cos(
00
tkxzω?β+=
x
z
SWL
),(
00
zx
ξ
η
),(ηξ
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
三水质点的运动轨迹
)sin(
00
tkxxxω?α?=)cos(
00
tkxzzω?β+=
1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
β
?
+
α
?zzxx
kd
dzkH
sh
)(ch
2
0
+
=α
kd
dzkH
sh
)(sh
2
0
+
=β
x
z
SWL
),(
00
zx
ξ
η
),(ηξ
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
β
?
+
α
?zzxx
kd
dzkH
sh
)(ch
2
0
+
=α
kd
dzkH
sh
)(sh
2
0
+
=β
三水质点的运动轨迹
（1）水面处：z0=0
kd
H
cth
2
=α
2
H
=β
（2）水底处：z0=-d
kd
H
sh2
=α
0=β
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
β
?
+
α
?zzxx
kd
dzkH
sh
)(ch
2
0
+
=α
kd
dzkH
sh
)(sh
2
0
+
=β
22
0
2
0
)
2
()()(
0
kz
e
H
zzxx=?+?
三水质点的运动轨迹
0
2
kz
e
H
=β=α
2
H
r=
535
1
2
H
r=
23
1
2
H
r=
?特例：无限水深
（1）水面处：z
0
=0
（2）z
0
=－L
（3）z
0
=－L/2
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
浅水
d
三水质点的运动轨迹
中等水深
L/20
深水
d>L/2
1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
β
?
+
α
?zzxx
22
0
2
0
)()(rzzxx=?+?
0
2
kz
e
H
r=
kd
dzkH
sh
)(ch
2
0
+
=α
kd
dzkH
sh
)(sh
2
0
+
=β
kd
H
2
=α
d
dzH
2
)(+
=β
轨道为椭圆，长轴不变，
短轴随水深逐渐减小，底
部为零，波面处为振幅ａ
a、β随d的增加而减小，即椭圆
越小越扁，在ｚ
0
=－d时，β＝
０，水质点沿底部作水平往复运
动
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轨道为椭圆，长轴不
变，短轴随水深逐渐
减小，底部为零，波
面处为振幅ａ
a、β随d的增加而减
小，即椭圆越小越扁，
在ｚ
0
=－d时，β＝０，
水质点沿底部作水平往
复运动
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中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
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)sin(
00
tkxxxω?α?=
)cos(
00
tkxzzω?β+=)cos(tkxaω?=η
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Whenwaveenergypassesthroughwater,the
watermovesinacircularmotion.Energyis
passingfromlefttorightinthisanimation,but
thewateritselfstaysinthesamegeneral
location.
OrbitalMotioninDeepWater
es1604_waves_in_motion[1].swf
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
t
zp
?
?
??=
?
ργ
)sin(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkgH
ω?
+
ω
=?
)sin(
2
tkxe
gH
kz
ω?
ω
=?
四波压强
?有限水深（浅水）情况下
)cos(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkH
zpω
γ
γ?
+
+?=
)cos(
2
tkxe
H
zp
kz
ω
γ
γ?+?=
净波压强
?深水情况下
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
)cos(
ch
)(ch
2
tkx
kd
dzkH
zpω
γ
γ?
+
+?=
η
γkd
dzk
z
p
ch
)(ch+
+?=
η
γ
p
kz
p
+?=
四波压强
讨论：
1.公式只适于z<0的区域，
因为当z>0时（静水面以上）
据小振幅波的近似，即自由面条
件中用ｚ＝０代替了ｚ＝η。
kd
dzk
k
p
ch
)(ch+
=
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
η
γ
p
kz
p
+?=
kd
dzk
k
p
ch
)(ch+
=
四波压强
2.当z<0时，k
p
<1；
3.当z＝0时，k
p
＝1，p/γ=η；
d
kd
p
+=
cosh
η
γ
kd
k
p
ch
1
=4.当z＝-d时
?波峰时，底部压力小于静水压力
?波谷时，底部压力大于静水压力
d
p
+=η
γ
底部静水压力
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
五波能量
?动能KineticEnergy/unitwidth
A
B
C
D
S
dx
dz
dxdz
zx
E
s
k
∫∫
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
=
22
2
1??
ρ
LgHLgaE
k
22
16
1
4
1
ρρ==
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第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
五波能量
?势能PotentialEnergy/unitwidth
∫∫
=
L
p
gzdzdxE
00
η
ρ
LgHLgaE
p
22
16
1
4
1
ρρ==
η
dx
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
五波能量
LgHLgaE
22
8
1
2
1
ρρ==
?总能
?沿波浪传播方向单位长度内能量
22
8
1
2
1
gHgaEρρ==
A
B
C
D
S
dx
dz
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
六波能流
?单位时间内跨过铅直断面的波能量为波能流；
?
?
?
?
?
?
+=
kdsh
kd
cgaF
2
2
1
4
1
2
ρ
∫∫
?
=
T
d
x
dzdtpu
T
F
0
0
1
?
?
?
?
?
?
+==
kdsh
kd
c
E
F
C
E
2
2
1
2
1
A
B
C
D
S
dx
dz
E
cgaF
2
4
1
ρ=
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
说明：
1.波浪的总能量为动能与势能之和，动能与势能相等。
2.波能与波幅的平方成正比，与水深无关。
3.波能的传播速度就是群速度。
4.上面公示表示的为沿波峰方向单位宽度内的能量
22
8
1
2
1
gHgaEρρ==
?
?
?
?
?
?
+==
kdsh
kd
c
E
F
C
E
2
2
1
2
1
E
cgaF
2
4
1
ρ=BcgaF
E
2
4
1
ρ=
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.1常深度小振幅简单波动
{2.1.3二维小振幅推进波的特性
BcgaF
E
2
4
1
ρ=
?
?
?
?
?
?
+=
kdsh
kd
cC
E
2
2
1
2
1
Ex)Howmuchpowercanbeextracted
whenH=2m,B=1km,T=9s
(a)d=2m:shallow
(b)d=deep
smgdcC
E
/4.5===
MWBcgaF
E
27
4
1
2
==ρ
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论
{2.2常深度小振幅简单波动的叠加
x
y
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.1驻波(standingwave)
驻波的产生：
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.1驻波(standingwave)
)cos(
1
tkxaωη?=)cos(
2
tkxaωη+?=
tkxaωηηηsinsin2
21
=+=
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.1驻波(standingwave)
tkxaωηsinsin2=
1.波节：kx=0、π、2π,sinkx=0,波面η＝0
2.波腹：kx=π/2、3π/2,sinkx=±1,波面随t周期性升降；
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.1驻波(standingwave)
驻波水质点运动轨迹：
)(tg
)(ch
)(sh
00
0
0
0
xxkx
dzk
dzk
zz?
?
?
?
?
?
?
+
+
=?
（1）水质点运动轨迹：在平衡位置附近沿着某方向做直线运动
（2）波节处：水平方向；
波腹处：垂直方向；
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.1驻波(standingwave)
Afirstorderseiche.
Theundisturbedsealevelisindicatedbythebrokenyellowline.Three
waterparticlesareshownasanindicationofwatermovementinthe
seiche.
Notethenodeinthecenterandthatwaterunderthenodemovesonly
horizontally,whilewateratbothendsofthebasinmovesvertically.
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.2波群(wavegroup)
波群：不同频率的简谐波叠加，复合波中波列的振幅随位
置时大时小变化，显现为一团一团地振动，称之为波群或
波包。
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第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.2波群(wavegroup)
模拟：波群可以用两个波向相同，波幅相同，波长和周期
相近的余弦波的迭加来模拟；
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.2波群
?两个频率相近、振幅相等的同向传播的简谐波叠加。
)cos(
1
tkxaωη?=
)cos(
2
txkaωη
′
?
′
=
其中：为小量
ωωω
′
?=?
′
?=?,kkk
)
22
cos()
22
cos(2
21
tx
kk
tx
kk
a
ωωωω
ηηη
′
+
?
′
+
′
?
?
′
?
=+=
)cos()
22
cos(2tkxtx
k
aω
ω
η?
?
?
?
=
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.2波群
)cos()
22
cos(2tkxtx
k
aω
ω
η?
?
?
?
=
)cos(tkxaωη?
′
=
)
22
cos(2tx
k
aa
ω?
?
?
=
′
振幅为a''作缓慢变化的余弦波a''为波包线方程
c
k
c
ω
=
?波群速度（波包线移动的速度）c
g
：
dk
d
k
c
g
ωω
=
?
?
=
c
g
?合成波的波速c：
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第二章小振幅波（线性波）理论2.2常深度小振幅简单波动的叠加
{2.2.2波群
dk
d
k
c
g
ωω
=
?
?
=
kdgkth
2
=ω
?波群速度c
g
：
?
?
?
?
?
?
+=
kd
kdc
c
g
2sh
2
1
2
c
c
g
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3倾斜海底上波浪的传播
波浪一般所影响的水深相当于波长的一半，当水深小于波浪一般所影响的水深相当于波长的一半，当水深小于1/2波长时，波长波长时，波长
开始变短，波高变大，并最终出现翻卷，形成破浪。开始变短，波高变大，并最终出现翻卷，形成破浪。
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{2.3倾斜海底上波浪的传播
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.1波浪的浅水效应
?浅水效应（shoaling）
?问题：已知深水的波浪参数（H0,T0,L0,C0），如
何求浅水区水深d处的波浪参数？
c
d(x)
z
x
c
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第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.1波浪的浅水效应
一波峰（波数）守恒原理
1.定义：在单位时间内跨过这两个铅直断面的波峰个数是守恒的
，不会有新的波峰产生，已出现的波峰也不会消失，称为波峰守
恒原理。
z
x
c
xx+dx
dx
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第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.1波浪的浅水效应
一波峰（波数）守恒原理
z
x
c
xx+dx
dx
?单位时间内沿传播方向跨过铅直断面的波峰数：
π
ω
2
?沿传播方向单位长度内的波峰数：
π2
k
dxdt
x
dxdt
x?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
ω
π
π
ω
2
1
2
?dt时间内两铅直断面内增加的波峰数：
dxdt
x
k
dtdx
t
k
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
π
π
2
1
2
xt
k
?
?
=
?
?ω
0
ωω=
2.推导结论
?dt时间内净进入两铅直断面的波峰数：
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第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.1波浪的浅水效应
二波速、波长和波高的变化
假设：
（1）波浪传播过程中，波周期不变，等于深水波周期
（2）忽略能量损失，波能量不变
（3）海底坡度平缓
2
00
2
thωω===gkkdgk
0
00
00
/
/
2tanh
2
tanh
LL
Ld
d
Lk
k
L
L
c
c
π
π
====
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.1波浪的浅水效应
二波速、波长和波高的变化
22
1
2
2
1
22
1
0
2
0
2
c
ga
kdsh
kdc
gaρρ=
?
?
?
?
?
?
+
5.0
0
00
2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
===
kdsh
kd
c
c
a
a
H
H
Ks
5.0
2
0
2sinh2
cosh2
?
?
?
?
?
?
?
?
+
==
kdkd
kd
H
H
Ks
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.2波浪的折射
2
2
1
1
sinsinαα
dtcdtc
BA==
′
一波向
等深线
c
1
c
2
1
α
2
α
A
A
′
B
′
B
c
1
dt
c
2
dt
1
2
1
2
sin
sin
α
α
=
c
c
1
2
1
2
cos
cos
α
α
=
b
b
b
1
b
2
00
sin
sin
α
α
=
c
c
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.2波浪的折射
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.2波浪的折射
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
第二章小振幅波（线性波）理论2.3倾斜海底上波浪的传播
{2.3.2波浪的折射
二波高的变化
等深线
c
1
c
2
1
α
2
α
A
A
′
B
′
B
0
0
2
0
2
22
1
2
2
1
22
1
b
c
gab
kdsh
kdc
gaρρ=
?
?
?
?
?
?
+
5.0
2
5.0
0
0
2sinh2
cosh2
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
=
kdkd
kd
b
b
H
H
5.0
2
0
2
0
2
5.0
0
5.0
0
tanhsin1
cos
cos
cos
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
=
kdb
b
K
r
α
α
α
α
sr
KK
H
H
=
0
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆30次，求波长
Ｌ，圆频率σ，波数ｋ，以及波形传播速度c。
解:此时船的航速为零，单纯由波浪引起的摇摆，
则周期为T=60/30=2s；
?圆频率:ω=2π/T=3.14rad/s;
?波长:L=gT
2
/2π=6.26m;
?波数:k=2π/L=1.006;
?波速:c=L/T=3.12m/s;
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]已知水深ｈ＝10ｍ，自由面上有一沿ｘ轴正向传播的平面
小振幅波，波长Ｌ=３０ｍ。求：
１）波幅ａ=０.1m时的自由面形状
２）波的传播速度；
３）波幅ａ=0.1m时在水平面以下0.5ｍ处流体质点的运动轨
迹；
４）水平面以下1ｍ，2ｍ处流体的平均压力；
５）波系的群速度。
解:(1)自由水面形状为
)cos(tkxaωη?=
209.0
30
22
≈==
ππ
L
k
381.1)10209.0tanh(209.08.9tanh=×××==khgkω
)381.1209.0cos(1.0tx?×=η
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]已知水深ｈ＝10ｍ，自由面上有一沿ｘ轴正向传播的平面
小振幅波，波长Ｌ=３０ｍ。求：
１）波幅ａ=０.1m时的自由面形状
２）波的传播速度；
３）波幅ａ=0.1m时在水平面以下0.5ｍ处流体质点的运动轨
迹；
４）水平面以下1ｍ，2ｍ处流体的平均压力；
５）波系的群速度。
解:(2)波的传播速度
608.6
209.0
381.1
≈==
k
c
ω
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]已知水深ｈ＝10ｍ，自由面上有一沿ｘ轴正向传播的平面
小振幅波，波长Ｌ=３０ｍ。求：
１）波幅ａ=０.1m时的自由面形状
２）波的传播速度；
３）波幅ａ=0.1m时在水平面以下0.5ｍ处流体质点的运动轨
迹；
４）水平面以下1ｍ，2ｍ处流体的平均压力；
５）波系的群速度。
1
)()(
2
2
0
2
2
0
=
?
+
?
βα
zzxx
kh
hzka
sinh
)(cosh
0
+
=α
kh
hza
sinh
)sinh(
0
+
=β
00869.0
2
=a
00806.0
2
=β
解:(3)流体质点的运动轨迹
取z
0
=0.5m，a=0.1m，
h=10m，k=0.209
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]已知水深ｈ＝10ｍ，自由面上有一沿ｘ轴正向传播的平面
小振幅波，波长Ｌ=３０ｍ。求：
１）波幅ａ=０.1m时的自由面形状
２）波的传播速度；
３）波幅ａ=0.1m时在水平面以下0.5ｍ处流体质点的运动轨
迹；
４）水平面以下1ｍ，2ｍ处流体的平均压力；
５）波系的群速度。
η
γ
p
kz
p
+?=
解:(4)平均压力
zpγ?=
在一个周期内η的均值为零，故有：
γ=
1
p
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]已知水深ｈ＝10ｍ，自由面上有一沿ｘ轴正向传播的平面
小振幅波，波长Ｌ=３０ｍ。求：
１）波幅ａ=０.1m时的自由面形状
２）波的传播速度；
３）波幅ａ=0.1m时在水平面以下0.5ｍ处流体质点的运动轨
迹；
４）水平面以下1ｍ，2ｍ处流体的平均压力；
５）波系的群速度。
解:(5)群速度
272.3)
2sinh
2
1(
2
1
≈+=
kh
kh
CC
g
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]Shoaling:neglectreflection(unitwidth)
156,2()
oo
LmHmDep==
Given:
Required:
FindL,Hath=3m
Power?TotalEnergyin1hr
2
10
2
1
15.6/7.8/
2
o
o
ogo
gT
LTs
L
CmsCCms
T
π
=→=
==→==
2
1
39()
2
ogo
PowergABCkwdeepρ==
AccumulatedEnergyin1hr=
39000(J/s)x3600(s)=140MJ
中国海洋大学海洋工程波浪力学王树青
[例]Shoaling:neglectreflection(unitwidth)
156,2()
oo
LmHmDep==
Given:
Required:
FindL,Hath=3m
Power?TotalEnergyin1hr
AssumeShallow
5.42/
54.2
g
CCghms
LCTm
===
==
(checkh/L=0.055)accurate53.6m
C=5.36m/s
n=0.96
A=1.24m
(24%increase)
|
|
